An improved estimate for the convergence rate in the multidimensional central limit theorem.pdf В [1] рассматривается оценка скорости нормальной аппроксимации суммы локальn но зависимых случайных векторов W = Е Xi, Xi Е Rd. Предполагается, что слагаi=1 емые ограничены так, что |Xi| ^ B, i = 1,...,n, где через | • | обозначается сумма абсолютных значений координат вектора (или элементов матрицы), B — некоторая константа. Под локальной зависимостью подразумевается существование декомпозиций W = Ui + Vi, W = R + Тг, i = 1,...,n, (1) таких, что U ^ A1, |Ri| ^ A2, i = 1,... , n, для некоторых констант A1 ^ A2. В качестве меры аппроксимации нормальным распределением рассматривается величина A = sup |P(W Е A) - P(Z Е A)|, AeA где Z — случайный вектор, имеющий d-мерное стандартное нормальное распределение; A — класс всех измеримых выпуклых подмножеств Rd. n Теорема 1 [1]. Пусть W = Е Xi представляется в виде декомпозиций (1), I — i=1 единичная матрица размера d х d над полем R, I E(XiU/) i=1 Х1 = £ E|E(Xi|Vi)|, Х2 = Е E|E(XiUiT) - E(XiU/ |Ti)|, Хз i=1 i=1 Тогда существует константа c, зависящая от размерности векторов d, такая, что A ^ c [aA2 + naA^B (| ln A2B| + ln n) + Х1 + (| ln A1 B| + lnn) (Х2 + Хз)] , где a ^ Оценка величины A в теореме 1 приводится в условиях фиксированной размерности векторов d = const Е N и роста числа слагаемых n ^ то. В данном случае явный вид зависимости величины c от размерности d не имеет значения. Рассматривается задача оценки величины A при условии одновременного роста размерности векторов и числа слагаемых d, n ^ то. Предлагается подход, который основан на уточнении явного вида зависимости величины A от размерности d. Теорема 2. В условиях теоремы 1 A ^ 3(2n)d/2aA2 + d(2n)d/2naA1A2B (ln |17(2n)d/2A1A2B| + ln n) + 2dx1+ +d(d +1) (ln |17(2n)d/2A1A2B| +ln n) (Х2 + Хз), a ^ V2d.

Скачать электронную версию публикации