Classes of polynomial and variative coordinate polynomial functions over galois ring.pdf Кольцом Галуа называется конечное коммутативное локальное кольцо R = = GR(qm,pm), нильрадикал J(R) которого имеет вид pR, где p = char R и R = = R/J(R) = GF(q) —поле вычетов данного кольца [1]. При этом char R = pm, |R| = qm и m = ind J(R), m G N, — индекс нильпотентности нильрадикала J(R). Подмножество B = [bo = 0,... , bq-1} С R называется координатным множеством кольца R, если его элементы образуют полную систему вычетов по нильрадикалу J(R). В таком случае любой элемент a G R однозначно представляется в виде a = a(o) + p ■ a(1) + ••• + pm-1 ■ a(m-1), a(i) G B, i = 0,...,m - 1, называемом разложением элемента a в координатном множестве B. Функции Yf: R ^ B, определяемые по правилу Yf(a) = a(i), i = 0,...,m - 1, называются координатными функциями в координатном множестве B, а элементы a(i) = Yf(a) — координатами элемента a в координатном множестве B. Обозначим через Pr(n) класс всех полиномиальных функций от n переменных над кольцом Галуа R = GR(qm,pm). Следующее определение и результаты обобщают полученные ранее в [2] для случая примарного кольца вычетов Z2m. Определение 1. Функцию f (x): Rn ^ R, R = GR(qm,pm), m > 1, назовём ВКП-функцией в координатном множестве B, если для любого i G [0,... , m- 1} существует полиномиальная функция pi(x) G PR(n), такая, что Yf(f (a)) = Yf (pi(a)) при всех a G Rn. При этом многочлен pi(x), i = 0,... , m - 1, будем называть i-м координатным многочленом функции f (x). Класс всех ВКП-функций от n переменных над кольцом R в координатном множестве B обозначим через CPд(п). Следующая теорема устанавливает соотношение между введённым классом и классом полиномиальных функций над тем же кольцом. Теорема 1. Справедливы утверждения: 1) если R = GR(q2,p2), то Рд(п) = CPR(n); 2) если R = GR(qm,pm), m ^ 3, то Рд(п) С CPR(n). (df df \ df Пусть f (x) G R[x]. Обозначим grad f (x) = ( ——(x),..., —— (x) I, где —— (x) — фор- \ dx 1 дxn J dxi мальная частная производная многочлена f (x) по переменной xi, i = 1,..., n. Приведём достаточное условие того, что при m ^ 3 ВКП-функция не имеет полиномиального представления над R. Теорема 2. Пусть f (x) G CPR(n), m ^ 3 и для координатных многочленов pi(x), pj(x), i, j G [1,..., m - 1}, i = j, существует a G Bn, такое, что grad pi(a) ф grad pj (a) (mod J (R)). Тогда f (x) G Рд(п). Теорема 3. Справедлива следующая оценка мощности класса CPR(n) : |CPf (n)| ^ q^n+(m- 1)n^qn+qn^(qn(m —1)-1)/(qn -1), при этом если m = 2, то в неравенстве достигается равенство. Класс ВКП-функций во многом обобщает класс полиномиальных функций. В частности, можно показать, что системы уравнений, левые части которых являются такими функциями, могут быть решены методом покоординатной линеаризации, предложенным в работе [3] для полиномиальных функций над кольцом Галуа — Эйзенштейна.

Скачать электронную версию публикации