The discrete dynamic system on a double circulant with different functions at the vertices.pdf Работа посвящена анализу функционирования дискретной модели генной сети. Характерной особенностью организации генных сетей является способность к саморегулированию через регуляторные контуры с положительными и отрицательными обратными связями. Процесс перераспределения концентраций веществ в регулятор-ном контуре может быть описан дискретной моделью, а строение регуляторных контуров может быть сформулировано в терминах ориентированных графов. В данной работе моделью является граф-носитель, состоящий из двух циркулянтов Gn,k [1-3] противоположной ориентации, соответствующие вершины которых попарно сопряжены. Вершины графа-носителя имеют веса x0, x1,... , xn-1, y0, y1,... , yn-1 из конечного поля F2, где x соответствуют вершинам первого циркулянта, а у — вершинам второго. Набор w = (x0,... , xn-1 ,у0,... ,yn-1) Е F22n назовем состоянием системы. В каждый момент времени состояние системы меняется и динамика его изменения определяется отображением где Mu/t — мультипликативное отображение, действующее на вершинах первого циркулянта, и Add — аддитивное на вершинах второго, принимающие значения из F2 в каждой вершине в зависимости от весов в тех k вершинах, дуги из которых входят в данную вершину. Функциональным графом Gm^a^ называется орграф, вершинами которого являются наборы из F22n, причём дуга из вершины wv идёт в вершину v тогда и только тогда, когда FuncM«M,Add(w) = v. Описаны неподвижные точки для произвольных n и k, а также выведено рекуррентное соотношение и асимптотика числа неподвижных точек. Теорема 1. Число неподвижных точек Sn выражается рекуррентной формулой Sn = Sn-1 + Sra-fc. (1) Для асимптотического поведения Sn справедливо Sn ~ cfcRn, где Cfc — константа, зависящая только от k, а 1 < R < 2 — наибольший по модулю корень характеристического уравнения Ak — Ak-1 — 1 = 0 рекуррентного соотношения (1). Для случая k = 2 доказана Теорема 2. Число висячих вершин функционального графа равно 22n — 3n. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности набора циклу длины не более двух. Теорема 3 (необходимое условие). В графе функционирования для цикла длины не более двух вида (а, в) ^ (y,$) ^ (а, в) выполнены условия y = в, $ = а, где а, e,Y,$ — наборы длины n. Теорема 4 (достаточное условие). Если в наборе x = (x0,..., xn-1,y0,..., yn-1) для всех i = 0, . . . , n — 1 выполняются условия 1) если xi = 0, то y(i-1) mod n = y(i+1) mod n = 0; 2) если yi = 1, то x(i-1) mod n = x(i+1) mod n = 1, и при этом xj = yj для некоторого j, то x принадлежит циклу длины два.

Скачать электронную версию публикации