Properties of the group generated by translation groups of the vector space and the residue ring.pdf Аддитивная группа Z+n кольца вычетов Z2n и аддитивная группа V+ n-мерного векторного пространства Vn над полем GF(2), а также порождённая ими группа Gn = (Vn+, Z+n) являются подгруппами силовской 2-подгруппы Pn Е Syl2 (S2n), описываемой операцией сплетения Pn = P2 I Pn _ i. Все эти группы имеют общие системы импримитивности W(i'n) = | W0(i'n),... , W^-l |, где Wt(i,n) = {j Е {0,... , 2n - 1} : j = t (mod 2i)} , i = 1,..., n - 1, t = 0,... , 2i - 1. Заметим, что в криптографии группа Gn возникает в блочных шифрсистемах, использующих в качестве наложения ключа сложения в кольце вычетов и в векторном пространстве, например IDEA, ARX. В связи с наличием общих систем импримитивности у групп Z+n, V+ операции сложения + , ф в кольце вычетов Z2n и в векторном пространстве Vn соответственно оказались достаточно близки. Приведём подстановочное строение подгрупп группы Gn, из описания которого, в частности, следует известный порядок группы Gn, полученный ранее в [1]. Теорема 1. Пусть n ^ 2. Тогда: 1) если ^ -естественный гомоморфизм импримитивной группы Gn в группу, действующую на множестве блоков импримитивности {{0, 2n-1},... , {2n-1 - 1, 2n - 1}}, то Im^l = Gn_i и Ker^n-i = ({ (r> 2n-1 + r) ■ (2П-2 + r' 2П-1 + 2n-2 + 0 : r = 0,..., 2n-2 - 1} 2n-2 - 1 П (2n-2 + t, 2n-1 + 2n-2 + t)); Ker^n_"i) 22n-2 + 1 |G | = 22n-i+n-i t=0 1 2) справедливы равенства Пусть ur,n =(r, 2n 1 + r) ■ (2n 2 + r, 2n 1 + 2n 2 + r) -произведение транспозиций для r G {0,.'.., 2n-2 - 1}. Опишем нормальные подгруппы группы Gn. Для n ^ 2 положим / 2"-2-j \ = ( П Ur+2j t( mod 2"-2),n ■ r G {0, . . . , 2j - l} ),j = 0, . . . , П - 2. t=0 Заметим, что R0) = Z(Gn), (en) < R0) < Rn1) < ... < Rnn-2) < Ker^n-1), | Rj | = 22j, j = 0,..., n - 2, где Z(Gn) -центр группы Gn; en - единичный элемент группы Gn. Утверждение 1. Пусть n ^ 2. Тогда: 1) Rnm) < Gn для произвольного m G {0,... , n - 2}; 2) группа Rn1) является единственной нормальной подгруппой группы Gn, удовлетворяющей одновременно условиям |Rn1)| = 4, Z(Gn) < Rn1) < Кег^-Г*; 3) группа Rnn 2) является максимальной нормальной подгруппой группы Gn в Ker^nG-1). Как следствие теоремы 1 описаны некоторые модулярные представления группы Gn над полем GF(2). Доказано, что примитивная группа, подгруппой которой является Gn, совпадает с группой S(Z2n). Поэтому представляют интерес только импримитивные группы, содержащие Gn и её подгруппы. В частности, для характеризации импримитивных подгрупп группы Gn рассмотрены полная аффинная группа AGL1 (Z2n) над Z2n и группа LTn нижнетреугольных (n х n)-матриц над полем GF(2). Доказаны включения LTn < Gn, GL1 (Z2n) < Gn для n ^ 2. Рассмотрено также обратное преобразование sn над кольцом Z2n, являющееся аналогом преобразования x ^ x-1 над полем GF(2n), и доказана справедливость включения sn G Pn для n ^ 2.

Скачать электронную версию публикации