The inverse of differentiable permutations over groups.pdf Пусть задана группа G с нормальным рядом G = H0 > H1 > ... > Hn = e. Через Ф обозначим множество функций, отображающих G в себя, которые действуют на факторах /Hfc+1 (k е {0,... , n - 1}) как эндоморфизмы. Определение 1. Функция f : G - G называется дифференцируемой в точке а е G относительно нормального ряда G = H0 > H1 > ... > Hn = e, если существует функция -0/,а е Ф, такая, что для любого члена нормального ряда Яд и любого элемента h е Яд выполняется равенство f(а + h) = f(а) + fa(h) (mod H.+1). Функция называется дифференцируемой, если она дифференцируема в каждой точке группы G. Функция -0/,а называется производной функции f в точке а. В качестве примеров дифференцируемых функций можно привести следующие: полиномиальные функции над примарным кольцом вычетов Zpn, где в качестве G выступает (Zpn, +), = pkZpn, -0/,a = f'^) и -0/,a(h) = h*f'^); полиномиальные вектор-функции, т. е. системы из m полиномов от m переменных с коэффициентами из Zpn, где G = (Z^n, +), совпадает с матрицей частных производных, вычисленных в точке а; k Л £i полиномы над разрешимой группой вида u(x) = gix£1 g2x£2 ... x£l с ^«(h) = hi=1 в случае центрального ряда. Следующая теорема обобщает критерий биективности из [1] на случай дифференцируемой функции. Теорема 1. Пусть u : G ^ G - дифференцируемая относительно нормального ряда G = H0 > Hi > ... > Hn = e функция. Тогда u биективна на G, если и только если выполняются следующие два условия: 1) u биективна по модулю H1; 2) для всех x е G производная является автоморфизмом на всех факторах ряда. Естественно называть дифференцируемую биективную функцию дифференцируемой перестановкой. Будем говорить, что v - обратная (по модулю Hk) к u дифференцируемая перестановка, если для всех x е G выполняется v(u(x)) = x (v(u(x)) = x (mod Hk)). В работе решается задача нахождения обратной дифференцируемой перестановки к заданной. Нормальный ряд в группе G задаёт структуру, аналогичную последо- 2n вательности модулей p, p2,... ,p' в случае примарного кольца, что даёт возможность применять схожие с [2] методы обращения перестановок. Основная идея заключается в сведении задачи обращения над всей группой к обращению над «маленькой» фактор-группой с последующим подъёмом решения. Это удаётся сделать, если группа G разрешима и известно промежуточное решение по модулю некоторой подгруппы из нормального ряда. Теорема 2. Пусть u - перестановка элементов разрешимой группы G, дифференцируемая относительно нормального ряда G = H0 > Hi > ... > Hn = e, - обратная перестановка к u по модулю H. Тогда обратной к u по модулю Hfc+i является перестановка ( где (x) -обратный к "0«,vk(x) автоморфизм в Aut(Hk/Hfc+i). Если дополнительно "0«,vk(ic) и -взаимно обратные автоморфизмы фактора H/Hfc+i, то vfc+i (x) = vfc(x) - vfc(u(vfc(x))) + vfc(x). Возможно также обращение дифференцируемой перестановки, если известно обращение другой дифференцируемой перестановки, отличающейся от заданной на определённую добавку. Теорема 3. Пусть u и v - взаимно обратные по модулю H дифференцируемые перестановки и для всех x е G дифференцируемая функция u0 удовлетворяет следующим условиям: 1) uo (x) е Hfc-i; : Hfc-i ^ Hfc. Тогда обратной к u*(x) = u(x) + u0(x) по модулю Hk является перестановка v*(x) = = v(x) - ^v,x(uo(v(x))). vfc+i(x) = vfc(x) - (x)(-x + u(vfc(x))^ В качестве примера рассмотрим G = T3(Z7) с разрешимым рядом G = T3(Z7) > > UT3(Z7) > UT32(Z7) > UT33(Z7) = e, где UT3(Z7) - подгруппа, состоящая из унитре-угольных матриц с (i - 1) нулевыми диагоналями над главной. '2 4 А /12 5\ /1 6 4 1 Введём функцию u(x) = x. Сначала обра 0 0 0 0 0 0 x x тим u(x) в первом факторе T3(Z7)/UT4(Z7) ~ Z? 0 Z? 0 Z7: 400 v1(x)= 10 5 0 | x, v1 006 '3 0 4 0 2 6 .0 0 4, 3 6 2 025 004 362 0 2 5 1 ( mod UT3(Z7)). 004 Так как производная - тождественный автоморфизм, по теореме 2 получаем 1 V2(x) = V1(x)(x u(v1(x))) , V3 = V2(x)(x u(v2 (x))) 362 0 2 5 1 (mod UT32(Z7)), 0 4и 362 0 2 5 004 V2 u vn u 362 025 004 36 02 00 362 025 004 6 5 4 Умножим справа u(x) на добавку u0(x), удовлетворяющую условиям 1 и 2 теоремы 3: 106 u0(x) = x-1 | 0 1 0 | x, u*(x) = u(x)u0(x). .0 0 1, Построенная ранее v3(x) не обращает u*(x): v3 u '3 6 5 0 2 5 0 0 4 362 025 004 Построим обратную к u*(x) функцию: v*(x) = V3(x)(^vs,x(u0(v3(x)))) 1 = v3(x)(u0(v3(x))) 1, 3 6 2 3 6 2 0 2 5 ||| = | 0 2 5 0 0 4 0 0 4 Таким образом, задача обращения дифференцируемой перестановки над разрешимой группой сводится к обращению над фактор-группой с последующим подъёмом решения. Если известна обратная перестановка по модулю Яд, то можно строить другие пары взаимно обратных перестановок по модулю Яд, используя теорему 3.

Скачать электронную версию публикации