Criterion for checking the hypothesis about the existence of embeddings into a binary markov chain.pdf В [1] рассматриваются условия, при которых возможно гарантированно обнаружить факт наличия независимых вкраплений в простой конечной неразложимой и ацикличной цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей в рамках следующей модели: к каждому элементу исходной последовательности применяется случайное преобразование. При этом преобразования получены по схеме серий и являются независимыми. В данной работе получено дополнительное (по сравнению с [1]) условие на взаимное асимптотическое соотношение длины отрезка исходной последовательности и объёма вкраплений, позволяющее гарантировать состоятельность статистического критерия выявления факта наличия вкраплений. Пусть X = {Xo,Xi,...} -простая конечная неразложимая и ацикличная цепь Маркова с двумя состояниями 0, 1 и фиксированной положительной матрицей переходных вероятностей П = (na,b)2x2, a,b G {0,1}. Стационарное распределение цепи обозначим через п = (п0,п1), п0,п1 G (0,1). В процедуре внесения вкраплений используются две последовательности - Z = {Z0, Z1,...} и 6 = {60, ...}, Zi, 6i G {0,1}, i ^ 0, которые являются реализациями испытаний в схеме Бернулли. При этом P{Zi = a} = pa, Pa = na, a G {0,1}, и P{6i = 0} = т, i ^ 0, pa, т G [0,1]. В результате внесения вкраплений образуется последовательность Y = {Y0,Y1,...}: Yi = XiI{6i = 1} + ZiI{6i = 0}, i ^ 0, где через I{A} обозначается индикатор события A. При этом предполагается, что последовательности X, Z и 6 являются независимыми. Постановка задачи заключается в следующем. Наблюдается отрезок двоичной последовательности (Y0,... ,Yn-1) длины n. Относительно способа образования данного отрезка выдвигаются две сложные гипотезы H0 : т = 0 и H1 : т> 0 об отсутствии и наличии вкраплений в цепь Маркова X соответственно. При обеих гипотезах будем предполагать, что матрица П, стационарное распределение п цепи Маркова X, а также величины pa, a G {0,1}, и т неизвестны. Рассмотрим схему серий, в которой т = т(n) ^ 0 при n ^ го. Задача заключается в построении состоятельного критерия различия гипотез H0 и H1. В [1] для выявления факта наличия вкраплений в цепь Маркова рассматривается статистика S = ^ (vabc - vabvbc/vb) (1) a,b,ce{ 0,1} vabvbc/vb где a,b,c Е {0,1}, n- 3 Vbc =(n - 2) -1 £ I{Yi = a, Yi+1 = b, Yi+2 = c}, i=0 n-2 n-1 Vab = (n - 1) -11 £ I{Yi = a, Yi+i = b}, Va = n-1 £ I{Y = a}, i=0 i=0 при этом в [1] рассматривается не двоичный, а произвольный конечный алфавит состояний цепи Маркова. Рассмотрим критерий проверки гипотезы H0 против H1, основанный на статистике (1): J ^ если S < tx2,l - a, принимается гипотеза 2 (2) { нъ если S ^ ^2,1-a где а = р|S ^ tx2,1-aIH0^ - вероятность ошибки первого рода; tx2,a - квантиль уровня а распределения х-квадрат с двумя степенями свободы. Теорема 1. Пусть в модели вкраплений pa = па, a Е {0,1}, и среди элементов матрицы переходных вероятностей П есть хотя бы один, отличный от 1/2. Тогда при выполнении условий т ^ 0, n ^ го, (3) у/Пт ^ го, n ^ го, (4) критерий (2) проверки гипотезы H0 против альтернативы H1 является состоятельным. Замечание 1. При отсутствии вкраплений (т = 0) и при наличии вкраплений во всех позициях последовательности X (т = 1) гипотезы H0 и H1 неразличимы, поскольку в обоих случаях Y является простой однородной цепью Маркова (с глубиной зависимости 1 и 0 соответственно). Критерий будет состоятельным, когда вкраплений «не слишком много», что гарантируется условием (3), но в то же время когда число вкраплений превосходит по порядку квадратный корень из длины наблюдаемого отрезка последовательности X (условие (4)).

Скачать электронную версию публикации