On reducing the order of linear recurrence equations with constant coefficients.pdf Задача понижения порядка линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами поставлена в работе [1] в общем виде. Там же приведено решение на примере чисел Фибоначчи. В общем виде эта задача ставится [2, 3] для однородного уравнения N-го порядка fn+N + aN-1 fn+N-1 + ... + a0 fn = 0 (1) относительно неизвестной последовательности fn с известными постоянными коэффициентами а0,... ,a,N-i как задача нахождения такой зависимости F, возможно нелинейной, что для любого решения f существует такая постоянная C, для которой выполняется тождество F (fn,...,fn+N-l) = C (2) для любого целого неотрицательного n [2, 3]. Эта задача аналогична проблеме поиска промежуточного интеграла для дифференциального уравнения второго порядка [4]. В [5, 6] изучены некоторые частные случаи. Пусть имеется однородное соотношение m-й степени (3) F(fn, . . . , fn+N-1) = amfn+1 + am-1fn+1 fn + am-2fn+1 fn + ... + a1fn+1fn + a0 fn C. При N = 2 при помощи корней А1, А2, А1 = А2, характеристического уравнения для (1) находим последовательно fn = C1An + C2An = u + v, fn+1 = C1An+1 + C2An+1 = A1U + A2V, где C1, C2 - константы и введены обозначения u = C1An, v = C2An. В случае полиномиального соотношения (2), (3) при deg F = m в однородном слуm чае находим F(fn, fn+1) = Е usvm-sAs, где постоянные коэффициенты A равны As = Е ak Е (k. )(m A1Ak-j fc=0 3=o\^\s - 3) (считаем биномиальные коэффициенты ( P ) =0 при q < 0 или q > p). W При n = 0,1, 2,... имеем mm F(fn, fn+1) ^(C1An)s(C2An)m-sAs ^(CSC2m-sAs)AnsAn(m-s) = C = const. (4) s=0 s=0 Если Ci = C2 = 0, то C = 0 и равенство (4) справедливо для любого n. Если C1 = 0 = C2, то C = 0 и (4) сводится к равенству CmAmAmn = C = const, из которого следует, что либо Am = 0 (и тогда C = 0), либо Am = 0 и (Am)n = 1, т. е. Am = 1. Аналогично, если C1 = 0 = C2, то при Am = 0 имеем (Am)n = 1, т. е. Am = 1. Если Ci = 0 = C2, то F(fn+i, fn+2) - F(fn,fn+1) = 0, и если As = 0 не для всех s Е {0,1,... , m}, то, рассматривая эти последовательные соотношения как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (CSCm-sAs), приходим к равенству нулю определителя матрицы этой системы, т. е. матрицы с элементами ain+1)sA2n+1)(m-s) - AnsAn(m-s) = (A1Am-s - 1)AnsAn(m-s) для последовательных значений n, составленной из столбцов для значений s, соответствующих неравенствам As = 0. Запишем равенство As = 0 для всех s = 0, 1,... , m как систему линейных однородных уравнений относительно a0,a1,...,am и вычислим определитель этой системы. Оказывается, он равен произведению (^ - 1)s и A1, где s,t Е N, ^ = A2/A1. Следовательно, определитель может быть (при A1 = 0) равным нулю только при ^ = 1, т. е. при A1 = A2. Таким образом, доказана Теорема 1. Если корни характеристического уравнения линейного рекуррентного соотношения второго порядка с постоянными коэффициентами различны, то это соотношение допускает нетривиальное однородное соотношение первого порядка тогда и только тогда, когда произведение некоторых целых степеней этих корней равно единице.

Скачать электронную версию публикации