The Cayley graph of a subgroup of the Burnside group B₀(2, 5).pdf Одним из важных инструментов для определения строения группы является изучение её роста относительно фиксированного порождающего множества. Пусть G = (X). Шаром Ks радиуса s группы G будем называть множество всех её элементов, которые могут быть представлены в виде групповых слов в алфавите X длиною, не превышающей s. Для каждого целого неотрицательного s можно определить функцию роста группы F(s), которая равна числу элементов группы G относительно X, представимых в виде несократимых групповых слов длиною s. Таким образом, F(0) = |Ко| = 1, F(s) = |Ks| - |Ks-1| при s e N. Как правило, функцию роста конечной группы представляют в виде таблицы, в которую записывают ненулевые значения F(s). Отметим, что при вычислении функции роста группы мы параллельно выясняем характеристики соответствующего графа Кэли, например такие, как диаметр и средний диаметр [1]. Пусть F (s0) > 0, но F (s0 + 1) = 0, тогда s0 является диаметром графа Кэли группы G в алфавите порождающих X, который будем обозначать Dx(G). _1 so Соответственно средний диаметр DX (G) равен --■ s ■ F(s). |G| s=0 К сожалению, вычисление функции роста большой конечной группы является хотя и разрешимой, но весьма сложной проблемой. Это связано с тем, что в общем случае задача по определению минимального слова элемента группы, как показали С. Ивен и О. Голдрейх [2], является NP-трудной. Таким образом, в наихудшем случае количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения указанной задачи, представляет собой экспоненциальную функцию от | X| . Отметим, что подобные задачи естественным образом возникают в теории кодирования и криптографии. Сюда можно отнести задачу эффективного восстановления вершин в графе, например в графе Хэмминга, который является графом Кэли. Многие вопросы в рамках этой задачи остаются открытыми [3]. Пусть B(2, 5) = (а1,а2) -свободная двупорождённая бернсайдова группа периода 5. На сегодняшний день неизвестно, конечна или бесконечна данная группа. Далее, пусть B0(2, 5) = (а1,а2) -максимальная конечная группа, порядок которой равен 534 [4]. Если B(2, 5) конечна, то B0(2, 5) = B(2, 5). Вычислить функцию роста B0(2,5) относительно минимального порождающего множества в настоящее время едва ли возможно, поскольку количество её элементов очень велико: 534 = 582076609134674072265625 w 5 ■ 1023. Отметим, что на сегодняшний день при помощи компьютерных вычислений удалось получить функции роста фактор-групп группы B0(2, 5), порядок которых не превышает 517 [5]. Рассмотрим отображение ^ следующего вида: {« ^ «2, 12 Й2 ^ «1. Нетрудно увидеть [6], что ^ является инволютивным автоморфизмом в группах B(2, 5) и B0(2, 5). Пусть CB(2,5)(^) и CBo(2,5)(^) -централизаторы автоморфизма ^ в B(2, 5) и B0(2, 5) соответственно. Согласно теореме В. П. Шункова [7], если Cb(2,5)(^) окажется конечной группой, то группа B(2, 5) также будет конечна. Другими словами, если CB(2,5)(

Скачать электронную версию публикации