On some properties of known isometric mappings of the set of bent functions.pdf Булевы функции от одного числа переменных называются аффинно эквивалентными, если они равны с точностью до аффинной замены координат и сдвига на аффинную функцию от того же числа переменных. Скалярное произведение x ■ y двух векn торов x = (x1,x2,... ,xn) G Fn, y = (y1,y2,... ,yn) G Fn равно ф x^. Преобразованиi=1 ем Уолша -Адамара булевой функции f от n переменных называется целочисленная функция Wf : Fn ^ Z, заданная равенством Wf(y) = (-1)f(x)®^y. Булева функция f от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если |Wf (y)| = 2n/2 для каждого y G Fn [1]. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (x) = (-1)f(x)2n/2 для каждого x G Fn [2]. Дуальная функция является бент-функцией и определяется однозначно. Расстояние Хэмминга dist(f, g) между булевыми функциями f, g от n переменных - число двоичных векторов длины n, на которых эти функции принимают различные значения. Отображение ^ множества всех булевых функций от n переменных в себя называется изометричным, если оно сохраняет расстояние Хэмминга между булевыми функциями, т.е. dist(^(f),^(g)) = dist(f,g), где f, g - произвольные булевы функции от n переменных. Известно, что отображение, определённое на множестве бент-функций и сопоставляющее каждой бент-функции дуальную к ней, сохраняет расстояние Хэмминга [3]. В [4] доказано, что единственным изометричным отображением множества всех булевых функций в себя, сохраняющим множество бент-функций на месте, является композиция аффинного преобразования координат и аффинный сдвиг. В данной работе получены некоторые свойства известных отображений, оставляющих множество бент-функций на месте и сохраняющих расстояние Хэмминга. Утверждение 1. Отображение, определённое на множестве бент-функций от чётного числа переменных n, действующее по правилу f(x) ^ fx), не может быть расширено до изометричного отображения множества всех булевых функций от n переменных. Утверждение 2. Пусть n ^ 6 - чётное число, тогда каждая бент-функция от n переменных аффинно эквивалентна своей дуальной бент-функции. Утверждение 3. При каждом чётном n ^ 6 существуют различные бент-функ-ции от n переменных, не совпадающие со своими дуальными функциями и их отрицаниями, которые не могут быть получены друг из друга с помощью отображения, представляющего собой композицию аффинного преобразования координат, аффинного сдвига и постановки в соответствие дуальной бент-функции.

Скачать электронную версию публикации