A conditions for uniqueness reresentation of p-Logic function into disjunctive product of functions.pdf Пусть n 1, Vn = Zpn рассматривается как векторное пространство над полем Zp, Fn = {f : Vn Zp} - множество функций от n переменных. Пусть 1 С k С n. Говорят, что переменные xk+i,... ,xn функции f(x1,... ,xn) являются несущественными, если найдётся функция h(x1, . . . , xk), такая, что f = h. Нетрудно видеть, что переменная xn является несущественной для функции f, если и только если f(x + en) = f(x) при en = (0, . . . , 0, 1). Пусть (Hn)f-группа инерции функции f в группе сдвигов Hn, т. е. множество таких сдвигов x 6 Hn, что выполнено сравнение f(x + a) = f(x), x 6 Vn. x+a Условие тривиальности группы инерции (Hn)f равносильно тому, что у всех функций, полученных из f всевозможными линейными заменами переменных, все переменные будут существенными. Назовём носителем функции f : Vn Zp множество векторов, на которых она принимает ненулевые значения: f-1 (*) = {a 6 Vn : f (a) = 0}. Если носитель функции содержится в некотором многообразии размерности k, то это позволяет сводить задачу исследования функции от n переменных к задаче исследования функции от n - k переменных. Лемма 1. Пусть функция f : Vn Zp не является константой. Если носитель f-1 (*) функции f содержится в многообразии L + a С Vn, 1 С dimL С n - 1, то существует линейное преобразование A пространства Vn, функция h : Zp~k Zp и элементы a1 . . . , ak 6 Zp, k = n - dim L, такие, что функцию f(xA) можно представить в виде f(xA) = Ja 1 (x1).. . Ja k (xk)h(xk+1, . . . , xn), где Ja (xi ) = xi = a, xi = a. Лемма 2. Пусть разложение функции f по первой переменной имеет вид p-1 . . , xn ) . (1) f(x1, x2, . . . , xn) = Ja1(x1)fa1(x2, . a1=0 Тогда: 1) если f (x1, x2,... , xn) = Jai (x1)fai (x2, ...,xn), то множество f-1 (*) содержится в гиперплоскости, задаваемой уравнением (x, e1) = a1; 2) если в разложении (1) имеется не менее двух ненулевых слагаемых, то множество f-1(*) содержится в гиперплоскости в том и только в том случае, когда все множества fa-1(*), 0 C a1 C p - 1, одновременно содержатся в одной гиперплоскости. Будем говорить, что функция f G Fn линейно разложима в бесповторное произведение, если при некотором линейном преобразовании A пространства Vn и 1 C k < n найдутся функции f1 и f2, для которых выполнено сравнение f(xA) = f1(x1, . . . , xk)f2(xk+1, . . . , xn). С данным разложением связаны разложения вида f = h1h2, где hi = cifi; ci G Zp, i = 1, 2, и выполнено условие c1c2 = 1. Теорема 1. Если функция f = f(x1, . . . , xn) имеет тривиальную группу инерции (Hn)f , её носитель не содержится ни в какой гиперплоскости и она линейно разложима в бесповторное произведение, то для этой функции найдётся линейное разложение в бесповторное произведение линейно неразложимых (в бесповторное произведение) сомножителей, однозначно определённое в том смысле, что любое другое такое разложение соответствует тому же самому разложению пространства в прямую сумму подпространств, а соответствующие функции линейно эквивалентны с точностью до константного сомножителя. Заметим, что для случая p = 2 разложение двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неразложимых сомножителей изучено в работе автора [1]. В настоящей работе применяется аналогичный метод доказательства. В качестве следствия получаем описание группы инерции таких функций в полной аффинной группе. Следствие 1. Если в условиях теоремы функция f представлена в виде произведения линейно неразложимых в бесповторное произведение функций f = f1 • . . . • fm , причём множество функций {f1, . . . , fm} разбивается на t классов аффинной эквивалентности с точностью до константного сомножителя: f,..., f} С Fni,..., {fvi,..., fvq} С Fnt, то для группы инерции бесповторного произведения этих функций справедлив изоморфизм AGL (n,p\\f1.....fm = [AGL (n1,P)fM1 ]Sr x ••• X [AGL (nt,p)fv1 ] Sq. Здесь через Gf обозначена группа инерции функции f в группе G; [G]Sr - операция экспоненцирования группы G с помощью симметрической группы Sr степени r. Аналогичное описание справедливо для полной линейной группы GL (n. p).

Скачать электронную версию публикации