The mirror metaphor and the notion of an extension function.pdf 0. В системе РМ (Principia Mathematica) Уайтхеда и Рассела класс задается через пропозициональную функцию: некоторый определенный класс будет включать элементы (значения переменной х), удовлетворяющие некоторую определенную пропозициональную функцию fx. Пропозициональная функция fx приписывает аргументам некоторое свойство, и, следовательно, в системе PM классы определяются через свойство. А если требуется рассмотреть класс, состоящий из двух индивидов a и b (или любого конечного обозримого количества индивидов), такой класс возможно задать через соответствующую функцию [1]. Понятие класса играет существенную роль в логицистской программе обоснования математики. Задание класса через свойство предполагает особый взгляд на природу математики: Фр. П. Рамсей указывает, что определение класса через свойство исключает из рассмотрения бесконечные неопределимые классы [2. С. 39-40] (разбирая взгляды Рамсея, мы опираемся на работу В.А. Суровцева [3]). Но бесконечные неопределимые классы существенны в математике (опять - при определенном понимании природы математики), и, следовательно, необходимо найти способ включить их в рассмотрение, считает Рамсей. Действительно, определение Рассела предполагает невозможным объединение в единый класс бесконечного числа произвольных элементов, но - только элементов, которые «по-настоящему» обладают некоторым свойством. Задание класса через отличительное свойство называется интенсиональным (в отличие от экстенсионального - когда класс задается перечислением элементов, через объем). Аналогично можно сказать о понятии функции: согласно интенсиональному пониманию функции, функция определяется через формулу. Благодаря формуле (в широком понимании - правилу или алгоритму соотнесения) элементы из области (множества) определения функции соотносятся с элементами из области (множества) значений функции. Например, для функции «х - голубого цвета» множество объектов соотносятся со множеством значений благодаря свойству «быть голубого цвета» и возможности верификации (понятие пропозициональной функции опирается на интенсиональное понимание). Современное определение функции (восходит к Дирихле) основано на произвольном соотнесении элементов множеств: функция есть подмножество A*B для области определения А и области значений B -притом для любого x из множества А существует единственный у из множества B (х, у принадлежат подмножеству A*B). Таким образом, функция соотносит элементы одного множества с элементами другого множества произвольно, вне формулы, алгоритма или правила. Вполне поэтому можно согласиться с Витгенштейном, что «теория множеств началась с понятия функции у Дирихле» [4. С. 102]. Раз Рамсей настаивает на экстенсиональном характере математики, для Рамсея в рамках логицизма должна существовать возможность говорить о бесконечных классах экстенсионально, т.е. через соотнесение объемов (например, теория множеств «основана» на произвольном соотнесении элементов или объемов множеств вне интенсионального определения). Рамсей попытался экстенсионализировать теорию Рассела. В рамках такого проекта Рамсей вводит понятие экстенсиональной функции (далее нас преимущественно будет интересовать определение экстенсиональной функции и критика понятия экстенсиональной функции Витгенштейном). 1. Для Фр. Рамсея определение PM для знака тождества не сообразуется с математической практикой (как и интенсиональный подход к понятию функции [2. С. 39-51]). Проект Рамсея по исправлению недостатков программы логицизма связан с особым пониманием математических псевдопропозиций как тавтологий (как показал Мэрион [5], часто такой взгляд был основан на неверном прочтении положений из ЛФТ [6] Витгенштейна). Понятие экстенсиональной функции предоставляет возможность выражать математические тавтологии средствами логики. Экстенсиональная пропозициональная функция (экстенсиональная функция описывается в четвертом разделе работы Рамсея под названием «Основания математики») проистекает «из соответствия, осуществимого или неосуществимого, которое к каждому индивиду присоединяет особую пропозицию. Индивид является аргументом функции, пропозиция - значением функции» [2. С. 75 и далее]. Рамсей приводит и пример такой функции: Так, ф(Сократ) может быть: Королева Англии умерла. ф(Платон) - Эйнштейн великий человек. Экстенсиональная функция произвольно сопоставляет индивидам случайные пропозиции и не является предикативной (не приписывает, не преди-цирует индивидам никакого свойства). Для Витгенштейна экстенсиональная пропозициональная функция представляется нонсенсом по двум аргументам. Первое возражение Витгенштейна связано с определением x=y (в системе PM - эт. пропозициональная функция наряду с другими пропозициональными функциями) через экстенсиональные функции. Второе возражение основано на метафоре зеркала. 2. В PM определение знака тождества восходит к принципу тождества неразличимых Лейбница: x=y. =def: (ф): ф!х. з. ф!у (PM 13.01): когда каждая предикативная функция, удовлетворяющая х, удовлетворяет также и у, х и у называются тождественными. Аргументы Витгенштейна против такого определения можно сформулировать таким образом: I. Знак тождества не может ничего говорить об отношении объектов. Действительно, сказать о двух объектах «объекты тождественны» бессмысленно, а сказать о самотождестве одного объекта - значит, вообще ничего не сказать (ЛФТ 5.5303). Поэтому очевидно, что равенство не является отношением между объектами: например, предложение «(х): fx. з. х=а» говорит только, что а удовлетворяет f, а не что только вещи, имеющие определенное отношение к а, удовлетворяют f (ЛФТ 5.5301). II. Знак тождества в определении из PM не приводит к тавтологии (логической необходимости) и поэтому оказывается ненужным в правильной логической нотации. Нет противоречия в представлении о существовании двух действительно различных (нетождественных) объектов при единовременном совпадении элементарных свойств данных объектов. Объекты будут удовлетворять определению тождества и не будут тождественными (ЛФТ 5.5302). Устранение знака тождества из системы Рассела приводит к ряду серьезных последствий для логицистской программы обоснования математики. Например, мы не можем включить в рассмотрение конечные классы, задаваемые с помощью знака равенства (мы уже исключили из рассмотрения неопределимые бесконечные классы), и остаемся только с классами, определимыми через предикативные функции. Становится невозможным определить класс с двумя или одним элементом (невозможным становится и определение числа). Рамсей, принимая критику Витгенштейна, не может из-за экстенсионалистской установки допустить такие последствия устранения знака тождества. Рамсей поэтому переопределяет тождество через экстенсиональные функции. Действительно, (фе). фех = феу означает, что для любой экстенсиональной функции пропозиция, соотнесённая с х, эквивалентна пропозиции, соотнесенной с у. Когда х=у, мы получим тавтологию, ведь выражение оказывается произведением значений (тавтологий) вида p=p, q=q, r=r, а если х^у, тогда некоторая экстенсиональная функция некоторую пропозицию p припишет некоторому х, а пропозицию ~p - некоторому у, и, значит, получается противоречие p=~p (и все логическое произведение обращается в противоречие). Таким образом, Рамсей предлагает заменить определение тождества Рассела из PM на структурно подобное определение тождества через экстенсиональные функции. Для Витгенштейна нет такой «вещи», как экстенсионально заданные -вне правила или алгоритма - бесконечные множества (подобные множества фигурирует в определении экстенсиональной функции как область определения функции и область значения функции: множество индивидов и множество случайных пропозиций соответственно). И экстенсиональные функции Витгенштейн отрицает потому, что для Витгенштейна не существует функции вне правила соотнесения элементов одного множества с элементами другого множества. Витгенштейн относительно экстенсиональных функций независимо воспроизводит возражение Кронекера к определению функции Дирихле (подробнее об этом: [5. С. 9]). Суть возражения: в отсутствие правила соотнесения экстенсиональную функцию можно задать только через некоторую «идеальную» таблицу. Возражение встречается и у Витгенштейна в The Big Typescript [7. C. 370-390] в разделе «Основания математики» (весь раздел целиком был включен составителями в «Философскую грамматику» [8. С. 289-320]). Действительно, утверждает Витгенштейн, пропозициональную экстенсиональную функцию возможно задать только через таблицу определенного вида: fa = def p fb = def q fc = def r Подобная таблица конечна или же в некотором неясном смысле «идеальна». И хотя возможно заменить символы fa, fb, fc некоторыми известными пропозициями p, q, r и сказать, что таблица определяет функцию, значит «либо ничего не сказать, либо сказать то же самое, что говорят три определения» [9. С. 316]. Ничего не говорит Витгенштейну и определение тождества через экстенсиональные функции. Определение (фе). фех = феу оказывается чем-то вроде набора из двух утверждений: I. (фе). фех = фех: каждая пропозиция эквивалентна себе. II. (фе). фех = феу: каждая пропозиция эквивалентна каждой пропозиции. В первом случаем мы можем записать х=х = def тавтология (и далее возможно определить тавтологию через множество {a=a, b=b, c=c} самотождественных объектов), a x=y = def противоречие. Как и в случае с таблицей, для Витгенштейна нет в таком случае никакого определения или задания тождества. Вернее, даны определения лишь только для двух знаков: х=х и x=y. Кроме того, Витгенштейн замечает, что математические уравнения имеют «x=y» форму. Правильное (correct) уравнение формы x=y должно быть тавтологией, а ошибочное уравнение такой же формы - противоречием, потому что правильное уравнение всегда можно привести к форме х=х (в отличие от неправильного). Но отсюда не следует, что уравнение формы x=y - будучи действительно тавтологией - должно иметь форму х=х или фактически при -водиться к таковой. Перейдем к другому возражению Витгенштейна (с использованием метафоры зеркала). 3. Витгенштейн пишет ([8. С. 315] цитата встречается и в «Философских заметках» [9. С. 143]): Теория тождества Рамсея содержит ошибку, которую совершил бы любой, кто сказал бы, что возможно использовать картинку с тем же успехом, что и зеркало, пусть даже для единственного положения. Когда такое утверждаем, мы игнорируем, что для зеркала существенно как раз именно то, что из него можно вывести положение тела перед ним, тогда как в случае с картинкой необходимо знать [заранее], что положения, продублированные перед вами, могут объяснить картинку как зеркальный образ. В рамках теории тождества Рамсея экстенсиональные функции, как и определение знака тождества, основываются на произвольном (внешнем) соотнесении элементов. Определение: х=у = def (фе). фех = феу (Витгенштейн для удобства обозначает (фе). фех = = феУ через Q(x, y)) как бы рисует нам одну картинку при x=y (в нотации Витгенштейна будет x=x) и другую при x^y (в нотации Витгенштейна: x=y). По такой картинке мы не можем сказать ничего о том, имеет ли место равенство/неравенство (в действительности) или же нет. По тексту письма Витгенштейна Рамсею (см. в [4. С. 189-190]) легко восстанавливается полное значение метафоры зеркала. Аргумент Витгенштейн таков: рассмотрим случай, когда Q(x, y) - противоречие (и, стало быть, есть некоторые два нетождественных объекта a и b). Тогда некоторая функция f (якобы в таком случае существующая) будет приписывать некоторому индивиду a пропозицию p, а индивиду b - пропозицию ~p (Витгенштейн называет такую функцию критической fk). Но давайте, далее, предположим, что значение a и b одно и то же (ведь высказать такой тезис не бессмысленно, в противном случае было бы бессмысленным и утверждение о том, что два объекта - различны (что a и b имеют разные значения), потому что отрицание бессмыслицы дает бессмыслицу, а рассматриваемые тезисы как раз противоположны), a=b. Тогда заменим в критической функции fk b на a и получим: fk(a): p и fk(a): ~p. Критическая функция стала бессмысленной, как и, следовательно, Q(x, y) (потому что не отражает противоречия). Рассмотрим иной случай: пусть c=d (си d имеют одно значение), но предположим, что небессмысленно, c^d. Но поскольку Q(x, y) в случае равенства c=d обратилось в тавтологию, критическая функция, которая могла бы сработать для обратного предположения, отсутствует. Здесь, хотя и возможно предположить, что значения си d нетождественны, Q(x, y) все равно остается тавтологией (останется нарисованной картинкой, не является отображением). Любое предположение (x=y или x^y) позволяет нам нарисовать картинку (Q(x, y) или ~Q(x, y)) соответственно). В предположении тождества объектов картинка как бы застывает и не есть «действительное» отображение тождества через тавтологию. У Витгенштейна отображение понимается всегда как внутреннее отношение между образом и отображаемым, тогда как при Q(x, y) тавтология соотносится с тождеством внешним способом (мы знаем, что в данном конкретном случае картинка Q(x, y) может быть интерпретирована как отображение тождества). Кажется, Рамсей понял возражение Витгенштейна (из упомянутого выше письма) не совсем точно и - вне очевидного для Витгенштейна различия между зеркальным отображением и картинкой. В известных ответных замечаниях можно наблюдать некоторое недоумение Рамсея. Рамсею представляется, что возражение Витгенштейна направлено против тезиса, что функция Q(x, y) способна говорить нечто о тождестве или нетождестве некоторых объектов (чего Рамсей, конечно, никогда не утверждал) (Фогелин, например, считает: Витгенштейн действительно неправильно понял цель Рамсея и недоумение Рамсея поэтому справедливо [10]). Но Витгенштейн утверждает бессмысленность функции Q(x, y) потому, что такая функция не заменяет (знака) тождества, а просто подставляет картинку тавтологии вместо знака тождества там, где мы предположили реальное тождество. Такое предположение (или «внешнее» знание) оказывается решающим. Действительно, можно заменить утверждение (3 х): fx. x^a: существует такой х, что выполняет функцию f и нетождествен ана (3 х): fx. ~Q(x, а). Если вдруг действительно существует такой х, что выполняет функцию f и нетождествен а, функция Q(x, а) становится противоречием, но мы пишем сразу ~Q(x, а) (что можно прочесть как: неверно, что «имеется» тавтология), будто уверены, что действительно есть такой х, что выполняет f и нетождествен а. Получается, что замена (формально правомерная) не просто переписывает исходное утверждение, но переписывает в предположении, что исходное утверждение истинно (будто заранее известно, что x^a) (см. также ЛФТ 5.5352). Добавление предположения об истинности исходного утверждения к исходному утверждению и позволяет из Q(x, y) сделать замену-картинку ~Q(x, а). Или можно взять и другой пример из Рамсея [2. С. 37]. Рамсей рассматривает выражение: 3 (m, n). х(фх) е m. у x) е n. m2 = n3 + 2: ф и у - простые предикативные функции и определяют каждая некоторый класс (известно число элементов каждого класса: n и m). m2 = n3 + 2 была бы тавтологией для тех значений m и n, что удовлетворяют уравнению, и противоречием для остальных. Но чтобы заменить математическое уравнение тавтологией (тем самым убрать уравнение из исходного выражения), нужно предположить, что m и n действительно обращают равенство в тавтологию вида x=x. Например, 12 = (-1)3 + 2. Вне такого предположения замена уравнения на некоторую функцию Q сомнительна, ведь такая функция не отображает (в смысле зеркала) m2 = n3 + 2, но дает одну картинку при выполнении равенства и другую в обратном случае. Можно сказать, что главная проблема с функцией Q(x, y) не связана с тем, что она формально заменяет некоторые знаки вида x=y и x^y неправильно (замена возможна) или что Рамсей пытается сказать о тождестве объектов (такое невозможно). Для Витгенштейна Q(x, y) - никакая не функция, а лишь одна картинка в одном случае и другая в другом. [Кроме того, возвращаясь к определению тождества, необходимо ли, чтобы при x^y среди множества экстенсиональных функций нашлась хотя бы одна, приписывающаях пропозицию p, ay -p. Даже при бесконечном множестве экстенсиональных функций все равно возможно, чтобы все приписывали x иу одну пропозицию p (приписывая различные пропозиции иным различным индивидам)]. Еще один пример (и аргумент в поддержку возражения Витгенштейна) связан с попыткой «переписать» аксиому бесконечности так, чтобы устранить эмпирическую проблему количества вещей в мире. Выражение (3 х): х=х представляется Рамсею логической суммой тавтологий для всех значений переменной. Однако если предположить, что в мире нет индивидов (самотождественных объектов), выражение сразу становится бессмысленным (подобное рассуждение применимо к двух, трем и так далее объектам). Как и в случае с заменой знака тождества, из предположения о несуществовании индивида (индивидов) следует, что утверждение о существовании индивидов не имеет смысла. И обратно: из предположения о существовании индивидов (выраженного картинкой тавтологии) следует, что утверждение о несуществовании индивидов не имеет смысла. Витгенштейн скажет, что из бессмыслицы и следует бессмыслица (по теме Рамсей и аксиома бесконечности см. подробнее [3. С. 203-232]. 4. На примере полемики вокруг экстенсиональных пропозициональных функций хорошо просматривается отношение Витгенштейна к программе логицизма (в исходном варианте Рассела и в изводе Рамсея). Безусловно неприемлемым было для Витгенштейна произвольное экстенсиональное задание множества через объем (Витгенштейн отчетливо сознавал, что понятие функции Дирихле было важным в истории появления теории множеств). И теория классов (для удобства не будем различать между классом и множеством) в PM представлялась Витгенштейну излишней: «теория классов в математике совершенно ненужная» (ЛФТ 6.031). Математическая общность (для Витгенштейна) не случайная и не произвольная общность. Витгенштейн путем элиминации знака тождества из правильной логической нотации отвергает понятие эквивалентности, на котором строится определение числа у Фреге и Рассела (по Витгенштейну, любое соответствие должно быть материальным и обозримым (например, чашки и чайные ложки), либо должно основываться на некотором правиле), вообще отвергает теорию классов и теорию множеств и, соответственно, отвергает проект Рамсея по экстенсионализации математики (ведь математика, по Рамсею, должна иметь дело не с предикативными функциями или внутренними отношениями, но с возможными и произвольными отношениями по объему).

Скачать электронную версию публикации