Quasi-Functional Relations in Logic and Other Fields of Knowledge.pdf Введение Классическая наука в основном исследовала причинно-следственные отношения между явлениями, которые подчиняются принципу детерминизма: определенное явление при определенных условиях вызывает определенное следствие. Эти отношения выразимы посредством функций. Под функцией можно понимать операцию, применяя которую к определенному объекту из области определения функции, получаем определенный объект из области значений функции. В природе, социуме, познании существуют отношения другого типа. Они подчиняются принципу квазидетерминизма: какое-то из нескольких явлений при каком-то из нескольких условий вызывает какое-то из нескольких следствий. Эти отношения выразимы посредством квазифункций. Будем понимать под квазифункцией операцию, применяя которую к какому-то объекту из подмножества области определения (теперь уже) квазифункции, получаем какой-то объект из подмножества области значений квазифункции. Поскольку подмножества областей определений и значений квазифункции могут состоять из одного объекта, то частным случаем квазифункции является функция. Частным случаем квазифункции является также полная неопределенность (хаотичность), если подмножества, из которых выбираются объекты, совпадают с областями определений и значений квазифункции. Поскольку функция может быть вероятностной, многозначной и т.д., то и квазифункция может быть такой же. А. Квазифункциональные отношения в логике При обзоре исследований по применению принципа квазифункциональности в логике будем исходить из следующего понимания логики. Логика - наука о мышлении, т.е. мышление - объект науки логики. Поскольку мышление изучается рядом наук, нужно выделить предмет науки логики. Предметом логики являются особые структуры мыслей и процессов мышления, называемые логическими структурами или логическими формами. Элементарными мыслями по виду их логических форм являются мысли, выражаемые в языке без использования логических терминов. Предметы здесь выделяются на основе зрительных образов или интуитивных представлений. Неэлементарные мысли выражаются в языке с использованием логических терминов. Очевидно, что умозаключения не являются элементарными мыслями. Логические термины могут быть эмпирическими и теоретическими, т.е., как и во многих других науках, в логике выделяются уровни исследования -эмпирический и теоретический. Теоретическое знание - модель эмпирического. Модель эмпирического объекта познания упрощает моделируемый объект для облегчения познания и, как правило, искажает его. Например, материальная импликация соответствует условной связи и отношению логического следования, когда при истинности антецедента и ложности консеквента принимает значение «ложь», но не соответствует в остальных случаях определения. Однако материальная импликация упрощает проверку умозаключений. При обзоре будем различать эмпирические и теоретические уровни исследования. Кроме того, в качестве методологического средства будет использоваться выделение исследований по (собственно) логике и по «как-бы-логике». «Как-бы-логика» (“as-if-logic”) образуется путем реконструкции собственно логики и, по крайней мере в период ее создания, имеет лишь гипотетическое отношение к логическим формам мыслей и процессов мышления [1]. 0. Квази-истинностно-функциональная логика Решера В 1962 г. Н. Решер (Nicholas Rescher) опубликовал статью «Квази-истинностно-функциональные системы пропозициональной логики» [2]. Он обсуждает определение материальной импликации в классической логике. Считает, что случаи определения, когда антецедент и консеквент импликации принимают значение «истина», а также когда антецедент истинный, а консеквент ложный, сомнений не вызывают. В остальных двух случаях значение импликации не определено. Импликация либо истинна, либо ложна. Он отмечает, что неопределенность - это не особое значение. Решер формулирует логическую систему Q, в которой остальные логические связки (отрицание, конъюнкция и дизъюнкция) определяются обычным образом. Он отмечает возможность считать выделенными значениями формул не только истину, но и неопределенность. Тогда теоремами являются только те формулы, которые при любом наборе значений переменных принимают значение «истина» или указанную неопределенность. Такие формулы называются квазитавтологиями. Решер отмечает, что идея применения квази-истинностной функцональности в логике у него возникла в 1960 г. [2. Р. 10]. В этом же году, пишет Решер, выражение «квази-истинностно-функциональнальное» употребил Мей Аддед (Added May) [3]. Также это выражение до Решера употреблял Л. Годдард (L. Goddard) [Ibid.]. Последний дал кввазифункциональное определение модальности «возможно». Если A истинно, то ОА тоже истинно. Если A ложно, то ОА либо истинно, либо ложно. (О - знак возможности.) Если посмотреть на исследование Решера с точки зрения эмпирического и теоретического уровней знания, то можно заметить, что случай в определении материальной импликации в классической логике высказываний, когда антецедент и консеквент имеют значение «истина», тоже не соответствует эмпирической условной связке «если..., то...». В этом случае квазифункциональной импликации тоже можно приписать неопределенность. Дальнейшее развитие эти идеи получили в других работах Решера [4]. Он вводит новые значения: «необходимая истина», «случайная истина», «необходимая ложь», «случайная ложь» (“necessarily true”, “contingently true”, “necessarily false”, “contingently false” соответственно). 1. Алетические модальности Алетические модальности, т.е. выражения «необходимо», «случайно» и «возможно», могут быть онтологическими и логическими. Логическая система, которая построена в 1969 г., позже была названа Smin, выражает логические свойства тех и других [5]. В ней логические термины классической логики определяются обычным образом. При значении t (истина) формулы A формула □A принимает либо значение t, либо значении f (ложь), а при значении f формулы A формула □A принимает значение f. (□ -знак необходимости.) Формула ◊A при значении t формулы A имеет значение t, а при значении f формулы A - либо значение t, либо значение f. Выделенное значение - t. К исчислению классической логики высказываний добавляются две схемы аксиом: □A^A, A^OA. Доказана адекватность семантики исчислению обобщенным методом Хенкина, а позже обобщенным методом Кальмара. Замечание. Работая в области модальной логики, автор данной статьи не был знаком с исследованиями Решера и его предшественников. С одной стороны, это является недостатком, а с другой стороны, это позволило выделить собственно модальный аспект проблемы, оставив неизменными логические термины классической логики высказываний. Кроме того, позволило отойти от стремления представить неопределенность в качестве отдельного значения, что во многих случаях, несмотря на заявления об обратном, наблюдается в работах предшественников. В публикации 1973 г. [6] представлен квазифункциональный подход к пониманию онтологических и логических модальностей. Введены значения tn, tc, fi, fc для онтологических модальностей (соответственно понимаются «истинно и необходимо», «истинно и случайно», «ложно и невозможно», «ложно и случайно») и tN, tC, fI, fC для логических модальностей (понимаются аналогично, только модальности логические). Квазифункциональность заключается, в частности, в следующем: если высказывание истинно, то выражаемая им ситуация необходима или случайна (онтологически или логически), если же оно ложно, то ситуация невозможна или случайна (тоже онтологически или логически). 1.1. Онтологические модальности При построении логики онтологических алетических модальностей [6-20] использованы указанные выше значения высказываний tn, tc, fi, fc. При определении модальных операторов возникал вопрос, что если высказывание A имеет значение tn, т.е. ситуация, выражаемая этим высказыванием, имеет место и она детерминирована какими-либо обстоятельствами, то, например, сами эти обстоятельства детерминированы какими-либо другими обстоятельствами или не детерминированы. Может быть и то, и другое, и третье. То есть если эти другие обстоятельства детерминируют (однозначно обусловливают) это обстоятельство, то формула □A примет значение tn. Если не детерминируют, то примет значение tc. Допустима третья возможность -«то ли детерминируют, то ли нет», что может зависеть от каких-то условий. В последнем случае формула □A принимает то ли значение tn, то ли значение tc. Пишется tn/tc. Аналогично происходит рассуждение при приписывании значений формуле ◊A. В конечном счете получаются девять возможных вариантов приписывания значений итерированным (повторяющимся) модальностям. Эти варианты обозначены буквами a, b, c, d, e, f, g, h, i. Вариант a A tn tc fi г □A tn/tc fi/fc fi/fc I’T ◊a tn/tc tn/tc fi/fc tn/tc Кроме этого, возникает неопределенность при приписывании значений другим логическим терминам. Пусть значения подформул A и B формулы A&B есть fc. Каким может быть значение всей формулы? Примеры. Первый. Петров в этом семестре изучает геологию и логику. Пусть то и другое неверно. Однако то и другое возможно. Поэтому значение приведенного высказывания fc. Второй. Петров в настоящий момент времени находится в Москве и в Одессе. То и другое неверно, но то и другое возможно. Однако невозможно одновременно находиться в Москве и Одессе. То есть значение высказывания fi. В зависимости от типов моделирования высказываний возникают три способа определения логических связок. Эти способы определения отмечаются знаками +, - и отсутствием этих знаков. Каждое из определения модальных терминов порождает три логические системы. Например, на основе варианта a определения логических терминов образованы три логические системы: Sa+, Sa-, Sa. Язык первой из этих систем кроме модальных терминов □ и ◊ содержит знаки отрицания и материальной импликации. Определения A tn tc fi Г -A f fc tn tc A tn tc fi Г tn tc f Г tn tc f tn tc fi B tn tn tn tn tc tc tc tc f f f f fc fc A=>B tn tn tn tn tc tn/tc tn tn /tc fi tn tc г tn tn /tc Все системы, заданные семантически, формализованы. Оказалось, что ни одна из этих систем не совпадает с ранее построенными логическими системами. Нерешенными остаются следующие проблемы: - существуют ли конечные характеристические матрицы для квазиматричных логик онтологических модальностей; - можно ли построить семантики возможных миров (реляционные или окрестностные) для квазиматричных логик; - что представляет собой логика, полученная выделением общих для всех этих систем схем аксиом и правил вывода. 1.2. Логические модальности Квазифунциональная семантика ограниченных множеств описаний состояний [7-9]. Пусть формула содержит две пропозициональные переменные - r и s. Интерпретируем эти переменные в качестве обозначающих истинные и ложные высказывания. Затем интерпретируем истинные в качестве логически истинных и логически случайных, а ложные - в качестве обозначающих логически ложные и логически случайные (логически недетерминированные) высказывания, в том числе одно из них в качестве логически истинного, второе в качестве логически случайного и т.д. В конечном счете интерпретируем каждое высказывание в качестве логически истинного, логически ложного и логически недетерминированного. Интерпретации элементарной формулы “a” будем обозначать формулами -O-a (значение T - логическая истина)), -Oa (значение F - логическая ложь), Oa&O-a (значение C - логическая случайность). (О - теперь знак логической возможности.) Пусть R есть множество таких формул. Для формулы, содержащей указанные переменные, возможны следующие интерпретации переменных: 1. ({ r- sy {{r, s}}); 2. ({ r, < {{r, 3. ({--О-r, Os, O,sJ; {{r, s}, {r, -s}}); 4. ({-Or, -O-s}; {{-r, s}}); 5. ({-Or, -Os}; {{-r, -s}}); 6. ({-Or, Os, O-s}; {{-r, s}, {-r, -s}}); 7. ({Or, O-r, -O-s}; {{r, s}, {-r, s}}); 8. ({Or, O-r, -Oq}; {{r, -q}, {-r, -q}}); 9. ({Or, O-r, Os, O-s}; {{r, s}, {r, -s}, {-r, s},{-r, -s}}). Если формула содержит n переменных, то число таких интерпретаций равно 3n. Например, пусть переменные r и s принимают значения T и I соответственно. Тогда R есть множество {-O-r, -Os}. Если два или более элементарных высказываний интерпретируются в качестве логически недетерминированных, то конъюнкция этих высказываний (некоторые из этих высказываний могут быть взяты с отрицаниями), в свою очередь, интерпретируется в качестве логически возможного высказывания или логически невозможного (логически ложного) высказывания. Ограничение R расширяется до R'. Полученное таким образом множество называется ограниченным множеством описаний состояний (ОМОС) и обозначается W'. Если элементарные высказывания a1, ... , an интерпретируются как логически недетерминированные, то факт интерпретации конъюнкции ai&...&an (ak есть переменная с отрицанием или без отрицания) в качестве логически невозможного высказывания обозначается так: -0(ai&...&an), а факт интерпретации в качестве логически возможного: 0(ai&...&an). Например, приведенное выше девятое ограниченное множество описаний состояний преобразуется в следующие множества: 1. ({Or, 0-it, Os, -iOs, O(r&s), 0(r&-is), 0(-it&s), 0(-it&-is)}; {(r&s), (r&-is), (-it&s), (-it&-is)}; 2. ({ 0r, 0- r, 0s, 0- s, -0(r&s), 0(r&- s), 0(- r&s), 0(- r&- s)}; }; {{r, - s}, { - r, s},{ - r, - s}}). 3. ({ 0r, 0- r, 0s, 0- s, -0(r&s), 0(r&- s), 0(- r&s), -0(- r&- s)}; {(r&- s), (-r&s)}; 4. ({ 0r, 0- r, 0s, 0- s, 0(r&s), 0(r&- s), 0(- r&s), -0(- r&- s)}; {(r&s), (r&- s), (- r&s); 5. ({ 0r, 0- r, 0s, 0- s, 0(r&s), -0(r&- s, 0(- r&s), 0(- r&- s)};{{r, q}, { - r, q}, { - r, - q}}); 6. ({ 0r, 0- r, 0q, 0- q, 0(r&q), -0(r&- q), -0(- r&q), 0(- r&- q)}; {{r, q}, { - r, - q}}); 7. ({ 0r, 0- r, 0q, 0- q, 0(r&q), 0(r&- q), -0(- r&q), 0(- r&- q)};{{r, q}, {r, - q}, { - r, - q}}). Формулам приписываются значения в описаниях состояний, входящих в ОМОСы. Элементарное высказывание является истинным в описании состояния, если и только если оно входит в это описание состояния не со знаком отрицания. Формула A&B является истинной в описании состояния, если и только если в этом описании состояния истинны формулы A и B, и т.д. для других немодальных логических терминов. Формула □ A является истинной в описании состояния ОМОСа (далее - омоса), если и только если формула A является истинной в каждом описании состояния этого омоса. Формула 0A (0 - оператор логической возможности, вводится посредством определения OA =df - □-A) является истинной в описании состояния омоса, если и только если формула A является истинной в некотором описании состояния омоса. Формула является выполнимой в омосе, если и только если она истинна в некотором описании состояния этого омоса. Формула является общезначимой в омосе, если и только если она истинна в каждом описании состояния этого омоса. Формула является выполнимой, если и только если она выполнима в некотором омосе. Формула является общезначимой, если и только если она общезначима в каждом омосе. Общезначимыми являются те и только те формулы, которые доказуемы в исчислении S5. Теперь ясен смысл модельных структур реляционной семантики для этого исчисления. Модельная структура - это одна из интерпретаций пропозициональных переменных, входящих в формулу (формулы), посредством приписывания указанных выше значений, а также интерпретация конъюнкции пропозициональных переменных, проинтерпретированных в качестве логически случайных (перед некоторыми из пропозициональных переменных может стоять знак отрицания) в качестве логически возможного или логически невозможного высказывания. Метатеоремы. Метатеорема 1. Каждая теорема исчисления S5 Льюиса является общезначимой формулой. Метатеорема 2. Каждая общезначимая формула доказуема в S5. Для доказательства метатеоремы 2 доказывается следующая лемма: Лемма. Пусть D - формула, - ОМОС, ai,...,an - все различные переменные, вхоДящие в D, bi,...,bn - истинностные значения этих переменных (значения из множества {t, f}) в описании состояния a, A,a есть а,, если bi есть t; A,a есть -.а,, если b, есть f. Пусть Da есть D, если D принимает значение t в a, и есть , если D принимает значение f в a. Тогда R', Aia,..., Ana Da. Квазифункциональные семантики ограниченных множеств описаний состояний Архиереева [21-24] Семантика для системы S4 Льюиса. При построении семантики данного типа для S4 исходной остается идея последовательной интерпретации переменных формулы в терминах {N,C,I} и дополнительного истолкования конъюнкций двух и более «случайных» переменных как возможных (случайных) или невозможных. Однако поскольку в модельной структуре для S4 уже не «каждый мир достижим из каждого», указанные интерпретации осуществляются относительно каждого отдельного о.с. для формулы. Кроме того, поскольку значимыми в S4 являются итерированные модальности, допустимы и итерированные метаистолкования переменных в терминах {N,C,I}. Получаемые в результате таких истолкований конечные множества о.с. и их множества различной степени содержит для некоторой переменной pi истолкование NCpi , то элементами W2" будут только такие множества о.с. W1", в каждом из которых pi по крайней мере однажды меняет значение. Если же в ОГ2' содержится интерпретация CCpi, то в W2" она будет представлена тройкой множеств о.с., соответствующей истолкованию NCpiv Npi v Ipi . Например, множество порождает два ОГОСа < ОГ2';а ;W2"> второй степени: ; Сказанное о способе порождения конструкций : Сп0+Сп1+Сп2+Сп3+.+ +Cnn=2n; : Cn0x30+Cn1x31+Cn2x32+^+Cnkx3k+^.+ Cnnx3n=4n Степень ОГОСа Число «случайных» переменных в ОГ Число элементов в W Тип элементов W 0< k : Cn0xR0+ Cn1xR1+ Cn2xR2+.+CnkxRk+.. +CnnxRn=(R+1)n Однако, как нетрудно убедиться, конструкции степени >3 не несут никакой новой информации о допустимых значениях переменных и их конъюнктивных сочетаниях. Таким образом, тот факт, что в S4 отсутствуют собственные итерированные модальности степени >3, оказывается естественным следствием самого способа построения данной семантики [2]. Семантика Архиереева для системы INT Гейтинга [22]. Семантика для интуиционистской системы Int может быть построена в указанных терминах на основе известного перевода формул языка системы Int в модальную систему S4, предложенного в 1948 г. Дж. Маккинси и А. Тарским. Пусть у - функция перевода. Тогда, в зависимости от степени сложности интуиционистской формулы, ее перевод в S4 будет выглядеть следующим образом: 1) ж(р) = □₽, где р - пропозициональная переменная; 2) у(-А) = □-у(А), где А - произвольная формула; 3) \\|/(А/\\В) = \\|/(А)л\\|/(В); 4) y(AvB) = y(A)v у(В); 5) у(А^В) = □(у(А)^у(в)). «Произвольная формула А языка интуиционистской логики доказуема в исчислении Гейтинга тогда и только тогда, когда ее перевод ^(А) доказуем в модальной системе S4». При данном переводе, таким образом, все формулы системы Int, включая элементарные, рассматриваются как модальные. Отрицание и импликация системы Int рассматриваются как модальные понятия второй степени [Там же]. Поскольку перевод формул Int в S4, предложенный Маккинси и Тарским, толкует как модальные все формулы, включая элементарные, значения им приписываются не в отдельных о.с., а в их множествах. Как и в семантике для S4, различаются 3 группы значений: 1) пара классических («слабых») значений {t, f}, которые приписываются элементарным формулам в отдельных о.с.; для обозначения классического значения f будем использовать символ метаязыка 1 («фактическое» или «слабое» отрицание); для обозначения «сильной» («интуиционистской») ложности будем использовать символ объектного языка ~. Интуиционистская («сильная») ложность, как и интуиционистская истинность, подчиняется принципу монотонности (сохранности): если высказывание оценено в некотором мире как истинное или ложное в сильном смысле, то оно сохраняет свое значение во всех мирах, достижимых из данного. Слабая («фактическая») ложность не подчиняется принципу сохранности. Однако оба типа ложности выполняют требование обратной сохранности: высказывание, оцененное как ложное в любом из указанных смыслов, не могло быть ранее истинным; 2) тройка «интуиционистских» (мета)значений {T, R , F} («достоверно истинно», «опровержимо - refutable», «достоверно ложно»). F -«интуиционистская ложность», соответствующая операции ~, «сильный напарник» T, подчиняющийся, как и T, принципу монотонности, R -«опровержимость», «слабая ложность» - аналог «фактического» отрицания, для которого выполняется только принцип обратной и не выполняется принцип прямой сохранности. Выделенным значением является Т; 3) тройка метаистолкований допустимых значений переменных в терминах {N, C, I}; в силу принципа монотонности переменная, входящая в исходное о.с. без символа 1, может иметь только метазначение N. В результате всех последовательных метаистолкований допустимых значений переменных и их сочетаний в терминах {N, C, I} относительно каждого о.с. для формулы получаем множество конструкций вида В| W2 = ToV Wi( WieW2O( |А | wi =Tо |В | wi =T); | А >В | W2 = Ro3Wi( Wie W2A( | А | Wi =T A В Wi =R)); | А >В | w3=Fo | - (А >В) | W3 =ToVW2(W2e W30 ( | А >В | W2 = R)). Формула B выполнима в Int, е.т.е. В принимает значение Т в некотором Wn (n>1). Формула B общезначима в Int, е.т.е. В принимает значение Т в каждом Wn (n > 1) (подробнее см. в [22]). Задача. Представить в одной системе логические и онтологические модальности. 2. Исследования школы логиков Израиля (Арнон Аврон и соавторы) В XXI в. квазифункциональная логика стала активно разрабатываться Арноном Авроном и его соавторами под названием «недетерминистская логика» [25, 26]. В [25] отмечается, что принципом классической и многозначной логик является принцип истинностной функциональности, согласно которому значение сложной формулы однозначно определяется значениями ее подформул. В действительности же существует неопределенность, неполнота информации. По этой причине предлагается ввести в логику недетерминированные матрицы (^матрицы) путем обобщения обычных матриц. В недерминированных матрицах значение сложной формулы выбирается из некоторого непустого «набора вариантов». В качестве примера приводится случай, когда не известен смысл дизъюнкции. Если каждому члену дизъюнкции приписано значение t, то значение всей формулы не определено, т.е. есть t или f. Обозначение: {t, f}. Неопределенность может быть обусловлена вычислениями, результаты которых определены не полностью (недетерминированные вычисления), а также устройствами для сбора и обработки информации (автоматы). В последнем случае пусть есть источник информации и процессор. Возможны четыре ситуации. Первая. Источник передает процессору следующую информацию: высказывание истинно, но нет информации о том, что оно ложно. Вторая. Высказывание ложно, но нет информации о том, что оно истинно. Третья. Высказывание как истинно, так и ложно. Пусть источник состоит из двух составляющих. По одной составляющей пришло сообщение «истина», а по другой - «ложь. В первом и во втором случаях пришло сообщение только от одной составляющей. Четвертая. Никаких сообщений не поступило, т.е. информация отсутствует. Таким образом, неопределенность может быть обусловлена неоднозначностью значений сложных высказываний, а также значений простых высказываний. Сама неопределенность может быть представлена двумя способами: статистическим и динамическим. В первом случае описывается относительная частота признаков, а во втором - собственно недетерминированность. На основе этих соображений строятся недетерминистские матрицы. Недетерминистская матрица - это упорядоченное множество, в котором есть множество элементов матрицы (множество возможных значений формул), множество выделенных значений, а также множество недетерминистских функций. N-местная функция сопоставляет каждой n-ке значений из множества элементов матрицы какое-то подмножество из множества элементов матрицы, кроме пустого подмножества. Сопоставление динамическое (не статистическое), т.е. формула принимает какое-то значение из этого подмножества. Замечу, что в общем случае можно допустить в качестве значения квазифункции пустое множество, а в качестве области, к которой применяется n - местная квазифункция, каждое подмножество n-ок значений, кроме пустого множества. 3. Исследования школы логиков Бразилии (Кониглио и соавторы) Бразильские логики внесли значительный вклад в разработку квазифункциональной логики. Результаты исследований представлены в [2729] и некоторых других публикациях. В качестве примера приведем логические системы, изложенные в статье Кониглио (Coniglio) и Голзио (Golzio) [28]. За основу берутся упомянутая выше логическая система Sa+ и система T Кёрнса (Kearns) [29, 30]. На содержательном уровне дизъюнкция (а V в) понимается как (-а^0), где - знак материальной импликации, по определению обычным образом вводится знак возможности. Система названа Tm и формализована посредством следующих схем аксиом и правила вывода модус поненс. Схемы аксиом: а^(в^а); (а>(в>а))>((а>в)>(а>а)); (-•[’>> •(/)>(( •в>а)>в); □(а>в)>(''а>''в); □(а^в)^0=|_,в^о_,а); - □-(а^в)^(^а^-□-в); □-а^с(а^в); □в^п(а^в); □-(а^в)^^-в); □-(а^в)^^а; □а^а (T); □«.^□--а; □--а^оа. Строятся системы T4m, T45m, TBm путем добавления одной из следующих схем аксиом: па^ппа (4); -□-□а^а (5); -□-□а^а (B). T4m = Tm + {4}. T45m = T4m + {5}. TBm = Tm+{B}. Для этих систем построены квазифункциональные семантики. 4. Деонтическая логика 4.0. Трехзначная Деонтическая логика [7. С. 162-167; 9. С. 102-109; 10. С. 72-82;31] Принцип квазифункциональности был мною сформулирован в конце шестидесятых годов прошлого века при построении логики норм, называемой, чаще всего, деонтической логикой. До этого, как правило, эта логика основывалась на логике высказываний. Операторы «обязательно» и «разрешено» применялись к высказываниям. При применении этих операторов к знакам деяний (знакам действий или бездействий) возникали неопределенности. Например, пусть действия A и B нормативно безразличны, т.е. не запрещены и не обязательны. Однако одновременное выполнение этих действий может быть нормативно безразлично, а может быть запрещено. В этом и в других случаях возникают неопределенности. Символы языка: 1) a, b, c, ai, bi, ci .. - переменные для деяний; 2) •, о, ' - знаки одновременного выполнения двух деяний, одного или другого деяния, воздержания от выполнения деяния соответственно. Читаются «и», «или», «не» («воздержание от.»); 3) О, Р - нормативные операторы «обязательно» и «разрешено»; 4) □-, &, v, о - обычные знаки классической логики высказывваний; 5) скобки. Определения: 1) переменная для деяний есть субформула; 2) если А и В субформулы, то А', (АЪ), (АоВ) - субформулы; 3) ничто иное не есть субформула. Определение формулы: 1) если А - субформула, то ОА, РА - формулы; 2) если В и С - формулы, то -В, (В&С), (BvC), (ВоС) - формулы; 3) ничто иное не есть формула. Определения (АоВ) о б з о о о о б о о/б б з о б з (А^В) о б з о о б з б б з/б з з з з з А А' о з б б з о В таблицах значения «о», «б», и «з» соответственно понимаются так: “обязательно”, “безразлично”, “запрещено”, а наклонная черта означает «либо., либо .». _ А ОА РА о t t б f t з f f Знаки -, &, v, о определяются обычным образом. Семантически заданная логика формализована [9]. 4.1. Пятизначная деонтическая логика Кузнецова [32] Вместо символов О и Р вводятся символы Он, Ом, Рн, Рм (обязательно нормативно, обязательно морально, разрешено нормативно, разрешено морально). Увеличивается число значений знаков деяний: о, о', б, з, з'. Значения о'и з' соответственно читаются: одобряемо, порицаемо. Предшествующие значения являются более сильными, чем последующие. Определения А о о' б з з' А' з з' б о о' |А-В| = min (|А|, |В|), кроме случая, когда А| = |В| = б. В этом случае |А-В| е е{б, з, з'}. |АоВ| = max (|А|, |В|), кроме случая, когда |А| = |В| = б. В этом случае |АоВ| е{б. ” А ОнА ОмА РнА РмА о t t t t о' f t t t б f f t t з' f f t f з f f f f t - выделенное значение. Остальные логические термины определяются обычным образом. Здесь дополнительными схемами аксиом являются следующие: ОнА^>ОмА, ОнА^РнА, ОмА^РмА, ОнА^>РмА, ОмА^>РнА, ^ОнА' = = РнА, -.ОмА' = РмА, РмА^РнА, ОнА&ОнВ = Он(А-В), ОмА&ОмВ = Ом(А-В), ОнА&РнВ о Рн(А-В), ОнА&ОмВ о Ом(А-В), ОмА&РмВ о Рм(А-В), Рн(А-В) : РнА&РнВ, Рм(А-В) : РмА&РмВ, -.РнА' о РнА, ОнА о Он(АоВ), ОмА о Ом(АоВ), РнАvРнВ = Рн(АоВ), РмАvРмВ = Рм(АоВ), Он(АоВ) о РнАvОнВ, Ом(АоВ) о РмАvОмВ, РнА&РнВ' Рн(А-В)', РмА&РмВ' Рм(А-В)', РнА : Рн(АоВ), РмА', РмВ : РМ(АоВ)'. 4.2. Шестизначная деонтическая логика Аркадсковой [7. С. 212, 213; 33] Представленная выше трехзначная деонтическая логика - это логика юридических норм. Пятизначная логика Кузнецова предназначена для описания отношений по формам не только между нормами права, но и между нормами морали. Однако вне этой логики остаются нормы, в которых встречаются нравственно безразличные деяния. Этот пробел устранен Аркадсковой. В [33] изложена шестизначная логика норм. Вводится новое значение б', которое читается «безразлично морально». Определение А о о' б з з' б' А' з з' б о о' б' Определяются другие нормативные операторы и построено исчисление норм. 4.3. Деонтическая логика Кониглио (Coniglio) и Голзио (Golzio) [28] Логика строится на основе логики высказываний. Деяние, разрешенное или запрещенное, представляется реализованным высказыванием. Например, разрешено Петрову поступать в университет выражается так: Петров поступил в университет, это разрешено. Образовано исчисление норм Dm путем замены аксиомы T (па^ а) на схему аксиом D (па^-п-а) в приведенном выше исчислении Tm. Знак ◊ вводится по определению: ◊а есть по определению -п-а. Знаки □ и ◊ здесь читаются «обязательно, что», «разрешено, что» соответственно. В основе семантики лежат следующие интерпретации выражений: р обязательно и оно совершено (np&p) (& - знак конъюнкции); р обязательно и оно не совершено (пр&-р); p нормативно безразлично и оно выполнено -(пр&п-p)&p; р нормативно безразлично и оно не выполнено -(пр&п-р)&-р. За ограниченностью объема статьи полностью семантика не излагается. 5. Другие исследования по квазиматричной логике В 2016 г. опубликована интересная статья двух авторов - Х. Омори (Hitoshi Omori), Япония, и Д. Скурт (Daniel Skurt), Германия [34]. В статье представлены новые системы недетерминистской логики. Ряд работ по квазифункциональной логике опубликовал ученый из Тувы Х.К. Кадыг-оол. Это статьи [39, 40] и монография [41]. Научная работа по квазифункциональной модальной логике продолжается как в России, так и в других странах [38]. В печати находится несколько статей по этой логике. В Бразилии международным коллективом подготовлено издание, которое намечено на март 2022 г. Принцип квазифункциональности использован при построении паранепротиворечивой логики и логики пропозициональных установок [27, 38]. Можно указать другие публикации по этой логике [33, 34, 35, 39-44]. B. Квазифункциональные отношения в других областях знания 1. Квазифункциональность в математике В области логики работают как философы, так и математики. Философы называют логику, сходную с математикой, символической, а математики называют эту логику математической и считают ее частью математики. Чтобы выделить математическую часть в логике, нужно иметь понятие математики. У меня такого понятия нет, может быть потому, что я считаю себя философом. «Общее определение математики», данное в пятитомной Математической энциклопедии, вряд ли можно считать удовлетворительным: «Математика -наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира» [45. Т. 5. С. 559]. Во-первых, количественные отношения и пространственные формы изучает не только математика, а во-вторых, если под действительным миром понимать «этот свет», а под недействительным - «тот свет», то потребуется обоснование утверждения, что на «том свете» математика не работает. Можно было бы дать индуктивное определение математики: математика -это алгебра, геометрия, математический анализ и т.д. Однако возможно возникновение новых разделов математики. Будем здесь рассматривать возможность применения принципа квазифункциональности в алгебре. Если понимать под алгеброй некоторое множество объектов, множество операций над ними и множество равенств результатов применения этих операций над объектами, то под квазиалгеброй можно понимать результат замены операций квазиоперациями (квазифункциями), а равенства - другими отношениями. Например, алгебра деяний - это множество деяний, квазиоперации «•», «П»,«’» и отношения, являющиеся не только равенствами. Так, равенство ЛПВ = ВПЛ не имеет места, так как выполнение деяния A, а затем B не одно и то же, что и выполнение B, а потом A. Можно ввести понятие квазиалгебры. Это множество объектов, множество квазиопераций над объектами, а также множество отношений между результатами применения квазиопераций. Отношения - не только равенства. Например, в приведенной выше трехзначной логике это множество отношений между высказываниями по формам - совместимость по необходимости, по невозможности и т.д. Представляется возможным каждую алгебру расширить до квазиалгебры. На основе принципа квазифункциональности можно обобщить неевклидовы и евклидовы геометрии. Для этого потребуется изменить понятия плоскости прямой и т.д. Плоскость может меняться от евклидовой до римановой через плоскость Евклида. Прямая может изменяться. Например, пусть поверхность ограничена столбами, которые не могут перемещаться, а расстояния между столбами - прямые, которые могут изгибаться до определенных пределов. Точно площадь одной фигуры не всегда можно вычислить, а площадь множества фигур может быть вычислима. 2. Квазифункциональность в биологии В биологии есть явление, которое называется дрейфом генов. Оно заключается в следующем: небольшая часть большой популяции живых существ оказывается в изоляции, например в результате природного явления. Можно описать возможные изменения генофонда популяции на основе принципа квазидетерминизма [46]. На основе принципа квазидетерминизма можно объяснить функционирование нервных сетей [9. С. 117-118]. Представим нейрон в качестве устройства, имеющего вход и выход и находящегося в определенном состоянии. То есть делаем это по аналогии с квазиавтоматом. Пусть на вход поступает какой-то из двух сигналов, а на выходе возникает какая-то из двух реакций. Пусть имеются два нейрона, на выход которых поступает один и тот же сигнал c. Тогда на вход системы нейронов, состоящей из двух новых нейронов, поступит либо сигнал c, либо сигнал i, если предположить, что эти два последние нейрона описаны формулой, соответствующей конъюнкции. Таким образом, поведение нейронов может быть не определено, или определено лишь частично, а поведение нейронной сети может быть определено полностью, может быть определ

Скачать электронную версию публикации