Cluster semantics for some modal and intuitionistic systems.pdf В [1] была опубликована большая обзорная статья известного отечественного ученого-логика Ю.В. Ивлева «Квазифункциональные отношения в логике и других областях знания», в которой, помимо прочего, кратко излагались принципы построения оригинальной теории логических модальностей -семантики так называемых ограниченных множеств описаний состояний для известной модальной системы Льюиса S5. Настоящее исследование посвящено более детальному рассмотрению содержательных оснований семантик данного типа, описанию технических особенностей их построения и изложению ряда актуальных результатов исследований в этой области. На сегодняшний день наиболее распространенным инструментом содержательной интерпретации систем модальной логики является так называемая семантика возможных миров (реляционная и окрестностная). Предложенная как «техническая» экспликация классических лейбницевских представлений о необходимо истинном как имеющем место во всех возможных мирах и о случайно истинном как имеющем место только в некоторых из них, данная семантика была развита в хорошо известных работах С. Кангера, Я. Хинтикки, А. Прайора. С. Крипке и др. Центральными понятиями (с незначительными терминологическими вариациями) при построении семантик данного типа являются понятия возможного мира, модельной структуры, отношения достижимости между мирами. В современной логико-философской литературе эти понятия стали настолько распространенными, что обычно используются как нечто само собой разумеющееся. Между тем, на наш взгляд, как содержательная оправданность, так и формальная корректность определений указанных терминов вызывает определенные сомнения. К примеру, в ставшей хрестоматийной работе С. Крипке «Семантический анализ модальной логики 1» отношение достижимости и условия истинности формул с модальными операторами возможности и необходимости определяются следующим образом: «... „HiRH2“ читается как „Н2 возможен относительно Иі“, „возможен в Ні“ или „зависит от Н1“; это значит, что каждое высказывание, истинное в И2, возможно в Hi. мы оцениваем формулу А как необходимую в мире Н1, если она является истинной в каждом мире, возможном относительно Н1 А возможно в мире Hi т.т.т., когда существует мир И2, возможный относительно Hi, в котором А истинно» (здесь и далее в цитатах курсив мой. - Н.А.) [2. С. 258]. Итак, «... „H1RH2“ значит, что каждое высказывание, истинное в И2, возможно в И1 А возможно в мире И1 т.т.т., когда существует мир Н2, возможный относительно Н1, в котором А истинно». Нетрудно увидеть, что в приведенной конструкции истинность высказывания в мире Н2 определяется с использованием понятия возможности этого 21 Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем высказывания в Нь а понятие возможности того же высказывания в мире Hi, в свою очередь, определяется с использованием понятия истинности высказывания в «достижимом» из Н1 мире Н2 (при условии существования такого мира). По сути, при построении семантик возможных миров понятие «отношение достижимости» неявно (и, как нам кажется, некорректно) используется в качестве аналога некоторой эмпирической процедуры, позволяющей установить определенные «дополнительные» связи между возможными мирами, не описанные явным образом в аксиомах логической системы. По этому поводу известный отечественный философ-логик Е.А. Сидоренко отмечал: «...надо освободиться от иллюзии, что семантика возможных миров (как и вообще любая семантика) способна сама по себе предоставить нам некоторую новую информацию о связи событий (и говорящих об этих событиях высказываниях) помимо той, которую мы уже вложили заранее при описании и определении возможных миров. Скажем, два события мы считаем связанными между собой на том основании, что во всех возможных (или во всех достижимых) мирах одно невозможно без другого. Но на каком основании миры, в которых дело обстоит иным образом, оказались для нас невозможными, или недостижимыми, или какими-то там еще? Очевидно, только потому, что определенные предпосылки относительно и миров, и высказываний того или иного вида уже приняты» [3. С. 268]. Изначально дополнительные ограничения, налагаемые на отношения достижимости в различных модальных системах (рефлексивность, транзитивность, связность и проч.), подбирались с учетом специфики аксиом данных систем. В дальнейшем «размножение» модальных систем зачастую стало осуществляться за счет обратной процедуры - рассмотрения различных (иногда достаточно экзотических и «произвольных») ограничений на отношение достижимости и подбора соответствующих аксиом. Получаемые в результате формальные системы можно было назвать логическими лишь условно, поскольку смысл используемых в них модальных операторов оказывался совершенно неясным. Согласно мнению выдающегося отечественного ученого-логика Е.К. Войшвилло, «законы и правила логической системы могут быть оправданы, а сама система может найти обоснованные применения вне логики только в случае, когда выяснен смысл высказываний ее языка» [4. С. 76]. Описывая семантики рассматриваемого типа для модальных систем Льюиса, Е.К. Войшвилло отмечал: «Семантика возможных миров для модальных систем в какой-то степени проясняет смысл модальных высказываний. Так, становится ясным, что содержащиеся в этих высказываниях утверждения относятся не только к некоторому (действительному, актуальному) миру, но и к множеству достижимых из него миров, составляющих определенную его окрестность. Однако до сих пор остается неясным, почему, например, действительный мир, как и его окрестность, относится всегда к некоторой модельной структуре и что представляет собой последняя в онтологическом плане или с точки зрения гносеологии. Неясно также и то, что представляют собой возможные миры и отношения достижимости между мирами, чем обусловлено различие достижимости в различных системах.» [4. С. 76]. 22 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic «Мир в естественно трактовать как множество фактов, относящихся к индивидам некоторого непустого множества с определенными на нем свойствами и отношениями В языке это множество фактов представляет обычное классическое карнаповское описание состояния (о.с.). описания мира в можно представить как Г^а, где а есть классическое о.с., а Г -множество. законов и, возможно. некоторых их следствий нефактического характера в языках рассматриваемых систем. Существенно, что Г ограничивает множество возможных различных фактических состояний мира. Так, при наличии закона Ѵх(А(х) ^ В(х)) исключаются о.с. а, в которых имеются А(а1) и одновременно 1В(а1) для любых индивидов а1. Если М есть множество всех возможных классических о.с., то Г выделяет из него подмножество МГ (которое не является пустым в силу непротиворечивости Г). Это последнее представляет собой модельную структуру S5, если учесть, что отношение достижимости R имеет место для любых аі, а_, е Мг» [4. С. 76]. В результате «суждение ПА истинно в некотором мире в не потому, что А истинно во всех возможных мирах, достижимых из в, а наоборот, последнее имеет место потому, что необходимость ситуации А детерминирована в самом в» [4. С. 80]. Традиционно считается, что система Льюиса S5 наиболее адекватно выражает смысл логических алетических модальностей, т.е., таких модальных понятий, характеристики которых зависят только от логических форм высказываний, к которым они применяются. (Утверждение о логической истинности некоторого высказывания будет естественным образом истинным, если только логическая форма этого высказывания выражается общезначимой формулой; утверждение о логической возможности некоторой формулы будет истинным, если эта формула не тождественно-ложна и т.д.) Еще Р. Карнап, характеризуя особенности системы S5, отмечал, что произвольное высказывание p в этой системе может с «модальной точки зрения» оцениваться как необходимое, невозможное или случайное (логически недетерминированное) [5. С. 260]. Исходя из вышесказанного, в качестве набора законов Г, выделяющего из исходного множества М описаний состояний (о.с.) для формулы собственное подмножество МГ - аналог модельной структуры S5 - естественно понимать некоторое ограничение допустимых истинностных значений пропозициональных переменных (предикатных констант) соответствующей формулы (множества формул). Именно эта идея и была впервые высказана Ю.В. Ивлевым, предложившим общую стратегию построения семантик для модальных систем, не требующую использования понятий «возможный мир», «модельная структура», «отношение достижимости» между мирами. Для простоты изложения ограничимся далее описанием пропозиционального фрагмента системы S5. При рассматриваемом подходе к построению семантики для системы S5 каждая пропозициональная переменная p1, входящая в некоторую формулу, последовательно интерпретируется в терминах {N, I, C} (логически необходимо, невозможно, случайно соответственно), т.е. как обозначающая логически истинное, логически ложное, логически случайное (недетерминирован-23 Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем ное) высказывание. В первом случае из исходного множества о.с. W для формулы исключаются все описания состояний, содержащие - pi, во втором -все о.с., содержащие pi, в третьем случае итоговое ограниченное множество описаний состояний W' (далее - кластер) должно содержать последовательность о.с. с числом элементов >2, в которой pi, по крайней мере, однажды меняет значение. Если, далее, в качестве логически недетерминированных рассматриваются две и более переменных, каждая их конъюнкция дополнительно рассматривается как логически случайное или логически невозможное высказывание, поскольку конъюнкция логически недетерминированных высказываний может оказаться логически невозможной («25.09.2036 астероид Апофис столкнется с Землей» и «25.09.2036 астероид Апофис не столкнется с Землей»). Получающиеся в итоге конструкции (в терминологии Ю.В. Ивлева - ОМОСы, ограниченные множества описаний состояний), где Г - истолкование допустимых значений переменных формулы, а W' - итоговое множество о.с. для нее, оказываются аналогами модельных структур системы S5. В качестве возможного мира рассматривается классическое о.с. aeW'. Все о.с., принадлежащие некоторому кластеру W' (объединенные общим истолкованием Г), связаны отношением «достижимости». Опишем данную семантику более строго. Будем иметь в виду следующую формулировку S5. Пусть язык системы содержит исходные символы 1, з, □ (отрицание, импликация, оператор логической необходимости соответственно). Понятие формулы и другие логические связки определяются обычным образом. Операторы логической возможности и случайности определяются, соответственно, как 0A = ІПІА и ѴА = ОАл ОІА. Набранные жирным шрифтом связки 0,^,1 V, 3, е, л, ѵ, у, з {N, I, C} -символы метаязыка, используемые для записи утверждений о выражениях объектного языка системы S5. Аксиомами и правилами вывода S5 являются все аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а также три дополнительные модальные аксиомы и правило Гёделя: А1. П(А з B) з (QA з ОБ); A2. QA з A; A3. CA з DOA; RG І-А; |-ПА. Формулам без модальных операторов стандартным образом приписываются значения в отдельных о.с. Модальные операторы □, ◊ рассматриваются как кванторы V, 3, пробегающие по о.с. - элементам кластеров W'. Соответственно, значения формулам с модальными операторами приписываются в множествах о.с. W'. Истолкования допустимых значений переменных формулы в терминах {N, I, C} также осуществляются относительно множеств W'. В результате в семантике рассматриваемого типа различают три вида оценок. 1) двухзначные истинностно-функциональные оценки формул классической логики: | p |a = t О р е a; | p |a = f О р ; 3) . 10. . 11. . 12. . 13. . (Отметим, что дополнительные истолкования конъюнкций «случайных» переменных не должны противоречить исходной интерпретации этих переменных в качестве логически недетерминированных. Скажем, истолкование {Cp, Cq, I{pAq}, I{pA~|q}, C{"|pAq}, C{"|pA~|q}} окажется с этой точки зрения «самопротиворечивым», а поэтому недопустимым, поскольку порождаемый 26 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic им кластер {{Ip, q}, {]p,"lq}} будет в действительности выполнять условия Ip, Cq. Каждая логически недетерминированная переменная в соответствующем кластере должна, по крайней мере, однажды менять значение.) Допустим, формула □ (p з q) з (Dp з Dq) опровержима в некотором из приведенных кластеров. Следовательно, формула □ (p з q) истинна в соответствующем W', а формула □ p з Dq - ложна, т.е. Va(a е W' ^ Ip з q |а = t), Va(a е W' ^ I р |а = t), но при этом 3a(a е W'a I q |a = f). Нетрудно показать, что ни один непротиворечивый кластер не может выполнить все эти три условия. Допустим, Va(a е W'^ I p3q |a = t), Va(a е W' ^ I р Ia= t). Чтобы в этом случае истинность p з q выполнялась в каждом a е W', формула q также должна быть истинной в каждом a е W', что противоречит условию 3a(a е W'aI qIa = f). Допустим, Va(a е W' ^ Ip з q Ia = t), 3a(a е W'a I q Ia = f). Поскольку q опровержима, а p з q при этом истинна в каждом a е W', р также должна быть опровержима (по крайней мере) в некотором a е W' (формула Dp должна быть ложной в W'), что противоречит условию Va(a е W' ^ I р Ia = t). Пусть, наконец, Va(a е W' ^ I р Ia = t), 3a(a е W'a I q Ia= f). Ложной при этом оказывается как формула Dp з Dq, так и формула D(p з q). Последнее противоречит условию Va(a е W'^ Ip з q I a = t). Следовательно, формула □ (p з q) з (Dp з Dq) истинна в каждом из приведенных кластеров (общезначима в S5). При достаточно большом числе переменных в формуле общее количество кластеров для нее (число 3n) удобно представлять в виде линейной арифметической функции: СО /-чП I гл 1 /-чП - 1 I гл 2 /-чП - 2 I I гл П - 1 /-ч1 . гл П /-ч0 ">П n х 2 + Cn х 2 + Cn x 2 + ... + Cn x 2+ Cn х 2= 3, где Cn (0 < i < n) есть биномиальный коэффициент. Слагаемое Cn0 х 2n обозначает число кластеров, в которых все переменные формулы интерпретируются как детерминированные (необходимые или невозможные); каждый такой кластер содержит 20, т.е. ровно один элемент (о.с.). Слагаемое Cn1 х 2n - 1 обозначает число кластеров, в которых какая-либо одна переменная формулы интерпретируется как логически случайная; каждый такой кластер содержит 21 , т.е. два о.с. Соответственно, слагаемое Cnk х 2n - k (n > k > 0) обозначает число кластеров, в каждом из которых k переменных интерпретируются как недетерминированные; каждый такой клаk стер есть 2 - элементное множество о.с. Несколько менее тривиальной задачей является организация отдельного пересчета «индетерминистских» кластеров, содержащих две и более интерпретации переменных в качестве случайных и дополнительные истолкования конъюнкций таких переменных. Поскольку в качестве аналогов модельных структур используются все непустые W^ 2W (W = 2n), в случае n = 2 число указанных кластеров можно определить элементарным выражением 2 - 3 (в приведенном выше списке кластеров для формулы с двумя переменными это семь кластеров - с 9-го по 15-й). Однако в случае n > 2 необходимо использовать предложенное ранее представление числа 3n в виде линейной арифметической функции. В качестве иллюстрации рассмотрим случаи n = 3, n = 4, n = 5. 27 Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем При n = 3 арифметическая функция указанного выше вида для числа 3n примет вид С3 х 2 + С3 x 2 + С3 x 2 + С3 x 2 = 3. Слагаемое C30 x 23 обозначает число кластеров, не содержащих истолкований С, слагаемое C31 х 22 - число кластеров, содержащих ровно одно истолкование С, слагаемое C32 х 21 - число кластеров, содержащих два истолкования С. При этом, как следует из примера для n = 2, каждый кластер из группы С3 х 2 будет порождать по семь «производных» кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций двух «случайных» переменных. В результате при n = 3 число различных ограничений на образование конъюнкций трех логически недетерминированных высказываний будет определяться выражением 28 - [С30 х 23 + С31 х 22 + С32 х 21 х 7 + С33 х 20] = 256 - 63 = 193. Соответственно, при n = 4 число индетерминистских кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций четырех логически недетерминированных высказываний, будет определяться выражением 216 - [С40 х 24 + С41 х 23 + С42 х 22 х 7 + С43 х 21 х 193 + С44 х 20] = = 65536 - 1761 = 63775. Для n = 5 нужный нам алгоритм примет вид 216 - [С50 х 25 + С51 х 24 + С52 х 23 х 7 + С53 х 22 х 193 + С54 х 21 х 63775 + + С55 х 20] = 4.294.967.296 - 646.143 = 4.294.321.153. Если, далее, символом N(k) (2 < k < n - 1) обозначить число допустимых ограничений на образование конъюнкций k случайных переменных, то выражение, описывающее их общее число для формулы с произвольным конечным числом переменных n, примет вид 2W - [Сп0х 2n + Сп1 х 2n - 1 + Сп2 х 2n - 2 х N(2) + Сп3 х 2n - 3 х N(3) + ... + + ak х 2n - k х N(k) + ... + СпП - 1 х 21 х N(n - 1) + СпП х 20]. Описанная семантика непротиворечива и полна относительно исчисления S5 Льюиса [6, 7]. Таким образом, смысл модальных операторов системы S5 выражается при помощи конечных множеств о.с., исчерпывающий пересчет которых обеспечивается приведенными арифметическими функциями. Особенно интересным, на наш взгляд, оказывается применение описанного подхода к построению семантик нормальных модальных систем, обладающих «собственными» (несводимыми) итерированными модальностями. К примеру, в семантике данного типа для модальной системы Льюиса S4 факт отсутствия в ней несводимых итерированных модальностей степени выше 3 оказывается естественным следствием самого способа построения семантики. Будем иметь в виду следующую формулировку системы S4. Исходные логические символы объектного языка: -, з, □ - отрицание, импликация, оператор необходимости соответственно (оператор возможности ◊ обычно определяется как -□-). Символы метаязыка, в котором формулируются условия истинности/лож-ности формул системы S4: 1, ^, О, л, ѵ, у, V, 3, е, g (понимаются, соответственно, как классическое отрицание, импликация, эквивалентность, конъюнкция, дизъюнкция, строгая дизъюнкция, кванторы общности и существования, знаки принадлежности/непринадлежности множеству некоторого элемента). 28 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic Аксиомами и правилами вывода S4 являются все аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а также следующие модальные аксиомы и правило Гёделя: А1. D(A з B) з (DA з OB); А2. DA з A; А3. DA з ППЛ; RG. І-А |-ПА. Одной из «технических» особенностей системы S4, нуждающейся в содержательном истолковании, является наличие в ней двенадцати «собственных» (несводимых) итерированных модальностей ненулевой степени: □, □-, O, O-, □◊, □◊-, ◊□, ОШ-, □◊□, □◊□-, ◊□◊, ◊□◊-. При этом в S4 отсутствуют собственные итерированные модальности степени выше 3 (все такие модальности сводимы к модальностям низших степеней). При построении кластерной семантики для S4 исходной остается идея последовательной интерпретации переменных формулы в терминах {N, I, C} и дополнительного истолкования конъюнкций двух и более «случайных» переменных как возможных (случайных) или невозможных. Однако, поскольку в модельной структуре для S4 уже не «каждый мир достижим из каждого» (отношение достижимости рефлексивно и транзитивно, но уже не симметрично), указанные интерпретации осуществляются относительно каждого отдельного о.с. ai («выделенного мира») для формулы). Кроме того, поскольку значимыми в S4 являются итерированные модальности, допустимы и итерированные истолкования переменных в терминах {N, I, C}. Получаемые в результате таких истолкований конечные множества о.с. и их множества различной степени (n > 1) выполняют в кластерной семантике для S4 роль модельных структур семантик возможных миров. Как и в семантике для S5, различаются оценки трех типов: 1) оценки формул к.л.в. в отдельных о.с. (двухзначные истинностнофункциональные или «чисто классические» оценки); 2) оценки формул, находящихся в области действия модальных операторов (двухзначные не-истинностно-функциональные оценки, которые приписываются в множествах о.с.); условия истинности/ложности формул с модальностями первой степени совпадают с аналогичными условиями для S5; при этом «собственные» для S4 итерированные модальности вида ПО, ОШ, ОШО, ПОП рассматриваются как кванторы по множествам и множествам множеств о.с. и значения формулам с данными модальностями приписываются в множествах соответствующей степени: ІПОВІ W2 = t О VWi(Wi е W2 ^lOBlwi = t); I DOB I W2 = = f О 3Wi(Wi е W2 AlOBlwi = f); lODBlw = t О 3Wi( Wi е W2 a|DB|wi = t); I ODB I w = = f о VWi(Wi е W2 ^ I DBI wi = f); |nODB|w3 = t О VW2(W2 е W3 ^ I ODB I W2 = t); |DODB|w3 = f 3W2(W2 е W3 a I ODB I W2 = f); |ODOB|W3 = t О 3W2(W2 е W3 a I DOB I W2 = t); |ODOB|w3 = = f о VW2(W2 е W3 ^ I DOB I W2 = f) (для отрицательных модальностей определения аналогичны); 29 Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем 3) истолкования пропозициональных переменных в терминах {N, I, C} -трехзначные не-истинностно-функциональные оценки, которые также осуществляются относительно множеств о.с.: | p | Wi' = N О Va(a sWi' ^IpL = t); | p | wi' = I О Ѵа(а sWi'^IpL = f); | p | W1' = C О 3a(a s W1' л I p Ia = t) л 3a(a eW1,A I p |a = f). При этом оценки N, I могут повторно истолковываться только как N («логически детерминированные высказывания не меняют своего статуса»), оценка С может повторно истолковываться как N либо С, т.е. для произвольной элементарной формулы pi справедливы утверждения Npi v Ipi ^ NNpi v NIpj; Cpi ^ NCpi v CCpi. При этом если Г2 некоторого содержит для некоторой переменной pi истолкование NCpi, то элементами W'2 будут только такие множества о.с. W'i, в каждом из которых pi, по крайней мере однажды, меняет значение. Если же в Г2 содержится интерпретация CCpi, то в W'2 она будет представлена тройкой множеств о.с., соответствующей истолкованию Cpi v Npi v Ipi: | p | W2' = NC О VWi(Wi s W2 ^Iplwi' = C); | p |w2' = CC О 3Wi(Wi SW2 AIpIwi' = C) A 3Wi(Wi SW2 AIpIwi' = = N) A 3Wi(Wi s W2 AIpIwi' = I). Рассмотрим множество о.с^ для произвольной формулы с двумя переменными: ai = {p, q}, a2 = {pjqh a3 = {~lp, q}, a4 = {lp,lq}. Каждое такое о.с. в кластерной семантике для S4 рассматривается как «действительный» мир некоторой модельной структуры. Для построения кластеров первой степени - множеств о.с. Wi, в которых приписываются значения формулам с модальностями первой степени - каждая переменная, входящая в некоторое ai , интерпретируется как логически детерминированное (имеющее свое значение по необходимости) или логически недетерминированное высказывание. В результате переменная ръ входящая в исходное о.с. без отрицания, может получить истолкования ^і или Cрi, переменная -рі -истолкования ^ или Cрi (переменная, входящая в ai без отрицания, не может интерпретироваться как невозможное высказывание, так как каждый «мир» достижим из самого себя - отношение достижимости рефлексивно в S4; соответственно, переменная -рі не может интерпретироваться как логически необходимое высказывание). В результате, скажем, о.с. ai = {p, q} порождает четыре конструкции : L . 2. . 3. . 4. . (Как и в кластерной семантике для S5, если две и более переменных интерпретируются как логически недетерминированные, все их возможные конъюнкции дополнительно рассматриваются как логически случайные (возможные) или логически невозможные высказывания. Общее число подобных «индетерминистских» кластеров, содержащих дополнительные истолкования конъюнкций двух и более логически случайных переменных, определяется так же, как и в системе S5.) 30 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic Число исходных кластеров по отдельному ai удобно в общем случае представлять в виде арифметической функции Сп0 + Сп1 + Сп2 + + Cnk + ... + Cnn = 2n. Слагаемое Cnk (n > k > 0) - биномиальный коэффициент - обозначает число кластеров, в каждом из которых какие-либо k переменных толкуются как «случайные»; исходное W1' каждого такого кластера есть 2k - элементное множество о.с. По каждому кластеру первой степени описанным выше образом строится множество кластеров второй степени. К примеру, кластер 4 порождает следующие кластеры второй степени: L . 2. . 3. . 4. . Элементами W2' являются множества W1' «предыдущего уровня». Так, первый кластер W2' является одноэлементным. Его единственный элемент -базисное множество W1' исходного кластера первой степени. Второй и третий кластеры содержат по три элемента, четвертый кластер содержит 9 элементов - множеств о.с. W1' с числом элементов «от» 22 «до» 20. Представим четвертый кластер в более «наглядном» графическом виде: :{ССр, CCq};{p,q}; {р,q} {p,lq} Лр, Up. q}(P,lq}} .q}{lp,lq}} .q} {1p,1q} [»7 uP; 8 {{lp,q}} 9 {{lp,lq}} 5 {{p,lq}{]p,]q}} > 6 {{p,q}} Поскольку, как отмечалось выше, для любой переменной рі истолкование ССрі читается как «триплет» Cpi v Npi v Ipi, каждое множество о.с. W^ определенным номером в данном соответствует элементу следующей дизъюнкции (истолкованию допустимых значений р и q) с тем же номером: 1. Cp л Cq v 2. Np л Cq v 3. Ip л Cq v 4. Cp л Nq v 5. Cp л Iq v 6. Np л Nq v 7. Np л Iq v 8. Ip л Nq v 9. Ip л Iq. Число кластеров второй степени по отдельному ai в общем случае определяется выражением Сп0 х 20 + Cn1 х 21 + Сп2 х 22 + ... + Cnk х 2k + ... + nnn + Сп х 2 = 3 . Слагаемое Cnk х 2k (п > k > 0) представляет число конструкций , порожденных кластерами первой степени с k случайными переменными. Если все k переменных получают истолкование СС, то W2' этого 31 Архиереев Н.Л. Кластерная семантика для некоторых модальных и интуиционистских систем будет представлять собой 3-элементное множество множеств о.с. с «размерностью» элементов от 2n до 2k; так, W2' в последнем из вышеприведенных примеров представляет собой 9-элементное множество множеств о.с. При этом «размерность» элементов Wi'eW2' варьируется от 2n до 20. Приведенных определений достаточно, чтобы продемонстрировать опровержимость формулы Ор з ПОр в данной семантике и общезначимость формулы Пр з Шр. Пусть I Ор IW1 = t в некотором . Согласно условиям истинности / ложности формул с модальными операторами, это возможно, если Г1 содержит истолкования Np или Ср. В первом случае I р Ia = t для любого aeW1' и Ор з ПОр истинна в каждом W2', «производном» от такого W1'. Во втором случае примет вид . Одним из кластеров второй степени, допустимым относительно данного W1', будет конструкция . I ПОр IW2 = = t VW1(W1 е W2 ^ ІОр IW1 = t). Очевидно, однако, что в множестве {{1р}} формула Ор ложна, поэтому во включающем его W'2 ложна и ПОр. Таким образом, истинность Ор в некотором W1' не гарантирует истинность ПОр во всех «производных» от него W2' («возможности могут исчезать» - допусти'м переход от Ор к □-р). Пусть I Пр I W1' = t в некотором . Это возможно только при истолковании Np, которое остается неизменным при построении кластеров более высоких степеней, что гарантирует истинность Пр з Шр. При ложности Пр в исходном W1' формула Шр оказывается ложной, что также сохраняет истинность всей импликации. Таким образом, формула Пр з Шр оказывается истинной «по построению» в данной семантике. При построении кластеров более высоких степеней все переменные с интерпретациями N или I сохраняют свои значения. Логически недетерминированные переменные могут интерпретироваться повторно как необходимые или случайные: Cpi ^ NCpi v CCpi. Например, одним из кластеров третьей степени, построенным на основе вышеприведенного кластера с интерпретацией переменных ССр, CCq, будет следующая конструкция : г k > 0). Элементами таких W3' будут объекты «предыдущего уровня», т.е. 3k-элементные множества множеств о.с. (n > k > 0). Сказанное о способе порождения конструкций

Скачать электронную версию публикации