Fitch’s paradox in light of hybrid logic.pdf Введение Парадокс Фитча1 показывает, что понятие познаваемости столь же проблематично, как понятие знания. Наиболее естественная логическая репрезентация понятия познаваемости - модальность OK в бимодальной логике, включающей алетическую модальность «возможно» и эпистемическую модальность «известно». При такой репрезентации познаваемость пропозиции p выражается формулой OKp. Мы сталкиваемся с парадоксом Фитча, если принимаем данную формализацию познаваемости, а также: 1) принцип познаваемости, согласно которому все факты познаваемы: p ^ OKp для любого р; 2) принцип фактивности знания, согласно которому все известное имеет место: Kp ^ p; 3) принцип дистрибутивности знания относительно конъюнкции, согласно которому знание конъюнкции влечет знание каждого конъюнкта: K(p&q) ^ (Kp & Kq). Парадокс возникает следующим образом: допустив, что существует неизвестный факт p, мы тем самым получаем комплексный факт p&~Kp. Применив к последнему принцип познаваемости, получаем OK(p&~Kp), из чего по принципу дистрибутивности следует O(Kp&K~Kp) и далее, по принципу фактивности - O(Kp&~Kp). Последняя формула утверждает возможность противоречия, но в любой стандартной модальной логике любая формула формы ~O(p&~p), выражающая невозможность противоречия, является теоремой. Таким образом, парадокс состоит в том, что интуитивно очевидное допущение существования неизвестных фактов, вместе с принципом познаваемости (в указанной формализации) и рядом интуитивно очевидных принципов, приводит к противоречию. В литературе представлены весьма разнообразные реакции на парадокс Фитча2. В частности, некоторые авторы считают, что он показывает существование непознаваемых фактов, т.е. некорректность принципа познаваемости. Другие принимают принцип познаваемости, но пытаются найти для него альтернативную логическую репрезентацию, которая должна предотвращать 1 Фитч представил этот парадокс в [1] со ссылкой на анонимного рецензента его статьи. Как установил Салерно [2], рецензентом был А. Черч, поэтому иногда этот парадокс называется парадоксом Черча-Фитча. 2 См. обзор подходов к устранению парадокса Фитча в [3]. 40 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic парадокс Фитча; М. Фара называл данную стратегию реинтерпретативист-ской [4]. Данное исследование выполнено в рамках реинтерпретативистской стратегии. При этом я считаю, что следует различать два вида познаваемости -познаваемость de re и познаваемость de dicto, и что это различие логически релевантно, т.е. эти два вида познаваемости должны иметь разные логические репрезентации. Цель статьи - предложить логику, позволяющую репрезентировать познаваемость de re, не допуская парадокса Фитча1. При этом я опираюсь на ряд идей относительно познаваемости de re, высказанных Д. Эджингтон [8, 9], Дженкинсом [10], Кванвигом [11, 12] и Рюккертом [13]2. Логика, которую я предлагаю для репрезентации познаваемости de re, представляет собой модификацию гибридной логики Кокурека, разработанной для репрезентации кросс-мировой предикации [14]; предлагаемую модификацию этой логики я буду называть HLK (гибридная логика познаваемости). В первом разделе статьи описаны язык и семантика HLK; во втором разделе показаны ее выразительные возможности; в третьем представлена репрезентация познаваемости de re в HLK и показано, что данная репрезентация 1) отвечает интуитивному смыслу понятия познаваемости de re; 2) предотвращает парадокс Фитча. Язык и семантика HLK Вокабуляр HLK содержит вокабуляр стандартной бимодальной логики, включающей алетическую и эпистемическую модальность, а также некоторые символы, специфические для гибридной логики. В вокабуляр стандартной бимодальной логики включим следующие категории символов: бесконечное счетное множество индивидных переменных (x, у, ...), бесконечное счетное множество n-местных предикатов для любого натурального n > 0 (P, Q, ...), логические союзы ~ и &, оператор возможности 0, эпистеми-ческий оператор K, квантор 3, скобки. (Другие операторы могут быть добавлены посредством соответствующих определений.) Символы языка HLK, характерные для гибридной логики, таковы: - бесконечное счетное множество переменных для возможных миров (s, t, ...); - сентенциональные операторы js. и @s, где s - переменная для возможных миров; - оператор, ассоциирующий индивидные константы с переменными для возможных миров; будем записывать результат применения данного опера- ~ 3 тора к индивидной константе а и переменной для возможных миров s как as . Синтаксис и семантика HLK задаются следующими дефинициями: Терм. Термы HLK - это индивидные переменные, индивидные константы и выражения формы «as», где а - объектная константа, а s - переменная для возможных миров. Формула определяется рекурсивно следующим образом: 1 В [5] я предложил логическую репрезентацию познаваемости de dicto; некоторые идеи, лежащие в основе этой репрезентации, представлены в [6] и [7]. 2 Пункты моего согласия и несогласия с концепцией Эджингтон представлены в [7]; аналогичные пункты относительно концепций Дженкинса, Кванвига и Рюккерта изложены в [5]. Поэтому здесь я не даю детального анализа их концепций. 3 Все перечисленные множества символов попарно не пересекаются. 41 Борисов Е.В. Парадокс Фитча в свете гибридной логики P(tl, ..., tn) | ~ф | Ф&Ф | Оф | Кф | |я.ф | @*ф | (Зх)ф, где P - n-местный предикат (п - натуральное число и n > 0), t1, ..., tn - термы, i х - индивидная переменная, s - переменная для возможных миров . Модель HLK. Модель HLK - это упорядоченная пятерка М = , где G - это непустое множество (множество возможных миров); R - отношение алетической достижимости; E - эпистемическое отношение достижимости (R и E суть бинарные отношения на G; E рефлексивно); D - доменная функция, назначающая каждому возможному миру непустое множество (домен); I - интерпретация констант и предикатов. I определяется следующим образом: пусть D(M) - это объединение доменов всех возможных миров; тогда I отображает индивидные константы и возможные миры на элементы D(M), а n-местные предикаты и возможные миры - на подмножества D(M)n. Оценка переменных в модели. Оценка переменных в модели - это функция, отображающая множество объектных переменных на D(M), а множество переменных для возможных миров - на G. Вариант оценки переменных. Пусть g - оценка переменных в модели , х - индивидная переменная, s - переменная для возможных миров, е £ D, w £ G. Тогда g[e/x] - это х-вариант g, отображающий х на е. Аналогично для g[w/s]. Денотация в модели. Пусть М = - модель, w - возможный мир в M, а g - оценка переменных в М. Тогда денотат терма t в М для w при g обозначается как Ig(t, w) и определяется следующим образом: 1) если t - индивидная переменная, то Ig(t, w) = g(t); 2) если t - индивидная константа, то Ig(t, w) = I(t, w); 3) если t = as, то Ig(t, w) = I(t, g(s)). Истина в модели. Пусть М = - модель, w - возможный мир в M, а g - оценка переменных в М. Тогда истинность относительно М, w и g определяется следующими положениями: М, w, g - P(ti, ..., tn) е.т.е. (если и только если) < Ig(t1, w), ..., Ig(tn, w)> I(P, w); М, w, g - ~ф е.т.е. неверно, что М, w, g - ф; М, w, g - ф&ф е.т.е. М, w, g - ф и М, w, g М, w, g - Оф е.т.е. М, u, g - ф для некоторого и, такого что wRu; М, w, g - Кф е.т.е. М, и, g - ф для каждого и, такого что wEu; М, w, g - |5.ф е.т.е. М, w, g[w/s] - ф; М, w, g - @хф е.т.е. М g(sX g - ф; М, w, g - (Зх)ф е.т.е. М, и, g[e/x] - ф для некоторого е £ D(w). Выразительные возможности HLK Операторы гибридной логики js. и @s, а также гибридные термы формы as вместе с соответствующими пунктами определений денотации и истины значительно расширяют выразительные возможности HLK (как и любой иной гибридной логики) в сравнении со стандартной модальной логикой. Приведу один из наиболее ярких примеров, показывающих выразительные возможности HLK. Рассмотрим предложение: 1 Для простоты я определил HLK как логику без равенства, но она может быть естественным образом расширена до логики с равенством. 42 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic (1) Могло бы быть так, что все, кто в действительности богаты, были бы счастливы. Интуитивные истинностные условия (1) в терминах семантики возможных миров таковы: существует возможный мир и, достижимый из действительного мира1 w, такой что каждый, кто в w богат, в и счастлив. Эти условия невозможно выразить средствами стандартной модальной логики, т.е. (1) не имеет в такой логике адекватной формализации. В частности, неадекватны варианты формализации (1), которые первыми приходят в голову - формулы (2) и (3): (2) 0(Ѵх)(богат(х) ^ счастлив(х)). (3) (Ѵх)(богат(х) ^ 0 счастлив(х)). (2) истинна, е.т.е. в некотором возможном мире и, достижимом из действительного мира w, счастлив каждый, кто богат в и. (3) истинна, е.т.е. для каждого индивида х, богатого в w, существует возможный мир и, в котором х счастлив. Нетрудно видеть, что истинностные условия обеих формул отличаются от указанных выше истинностных условий (1). (1) является одним из наиболее обсуждаемых примеров, показывающих ограниченность выразительных возможностей стандартной модальной логики первого порядка в сравнении с выразительными возможностями естественного языка. Гибридная логика в значительной мере преодолевает эту ограниченность. В частности, она позволяет репрезентировать (1) формулой (4): (4) |5.0|?.@^(Ѵх)(богат(х) ^ @*счастлив(х)). В самом деле, оценим (4) относительно М, w и g: М, w, g - |5.0|?.@^(Ѵх)(богат(х) ^ @*счастлив(х)) е.т.е.; М, w, g[w/s] |[- 0|?.@ХѴх)(богат(х) ^ @*счастлив(х)) е.т.е.; (3u : wRu)2 М, u, g[w/s] - |?.@^(Ѵх)(богат(х) ^ @£частлив(х)) е.т.е.; (3u : wRu) М, и, g[w/s][u/t] | - @^(Ѵх)(богат(х) ^ @ісчастлив(х)) е.т.е.; (3u : wRu) М, w, g[w/s][u/t] - (Ѵх)(богат(х) ^ @^частлив(х)) е.т.е.; (3u : wRu) (Ѵе £ D(w)) М, w, g[w/s][u/?][e/х] - (богат(х) ^ @

Скачать электронную версию публикации