On an interesting connection between traditional syllogistics and imaginary logic.pdf Лейбниц и интенсиональная семантика силлогистики Лукасевича Силлогистика со времен ее основателя - Аристотеля, интерпретировалась, как правило, в экстенсиональном ключе. Категорические высказывания при данном подходе рассматриваются как выражающие отношения между объемами общих терминов (т.е. между объемами соответствующих понятий). Напомним, что понятие - это мысль, которая путем указания на некоторый признак выделяет и обобщает в класс предметы, этим признаком обладающие. Объем понятия - класс предметов, выделяемых (из универсума) и обобщаемых в этом понятии. В современной символической логике экстенсиональный подход к интерпретации атрибутивных суждений, а соответственно, и силлогистических теорий является наиболее развитым: экстенсиональные семантики построены для многих систем силлогистики, сформулированы адекватные переводы этих систем в язык логики предикатов (теории, которая в последнее время активно используется для формализации и изучения силлогистических теорий). В истории логики имеется альтернативный подход к интерпретации категорических суждений. Он заключается в трактовке субъекта и предиката высказывания как понятийных конструкций, но уже с точки зрения содержательных характеристик. В современном учении о понятии содержанием понятия называют признак, посредством которого выделяются и обобщаются предметы в понятии (данный признак может быть простым или сложным). В традиционной логике под содержанием понятия обычно понималась совокупность признаков - положительных (указывающих на наличие свойств) и отрицательных (указывающих на их отсутствие). Напомним, что между объемами и содержаниями понятий (если у них один универсум) действует закон обратного отношения: если одно понятие шире другого по объему, то оно беднее по содержанию и наоборот. 49 Легейдо М.М., Конькова А.В. Об интересной связи между традиционной силлогистикой При интенсиональном подходе силлогистические константы рассматриваются как знаки отношений между понятиями по содержанию. Идея такой интерпретации категорических высказываний принадлежит Г. Лейбницу, который прямо противопоставил свою «содержательную» трактовку «объемной». Рассмотрим две работы Лейбница, где он развивает свой подход. Первая из них - «Элементы исчисления» [2. Т. 3. С. 514-523]. В ней он пишет: «Схоластики говорят иначе, имея в виду не понятия, а примеры, являющиеся объектами общих понятий. Поэтому они говорят, что [понятие] металла шире [понятия] золота, ибо оно содержит больше видов, чем золото; и, если бы мы захотели перечислить все золотые предметы, с одной стороны, и металлические предметы - с другой, последних, конечно же, оказалось бы больше, к тому же первые содержались бы во вторых, как часть в целом. Но я предпочитаю ориентироваться на общие понятия, т.е. идеи и их комбинации, потому что они не зависят от существования индивидуальных предметов. Поэтому я утверждаю, что [понятие] золота больше [понятия] металла, ибо для понятия золота необходимо большее число компонентов, чем для [понятия] металла, и сложнее произвести золото, чем какой-нибудь другой металл» [2. Т. 3. С. 518]. Вторая работа, к которой мы обратимся, - «Новые опыты о человеческом разумении» [2. Т. 2. С. 47-546]. Здесь Лейбниц предлагает программу трактовки силлогистики как интенсиональной теории: «Действительно, говоря: „Всякий человек есть животное“, я хочу этим сказать, что все люди находятся в числе всех животных, но одновременно я имею в виду, что идея животного включена в идею человека. Животное содержит больше индивидов, чем человек, но человек содержит больше идей или больше формальных определений. Животное содержит больше экземпляров, человек - больше степеней реальности; у первого - больший объем, у второго - большее содержание. Поэтому мы вправе сказать, что все учение о силлогизме можно доказать на основании учения de continente et contento (о содержащем и содержимом), которое отлично от учения о целом и части, так как целое всегда больше части...» [2. Т. 2. С. 501-502] Существует несколько способов адекватной формальной экспликации идей Лейбница, например представленная далее семантика, построенная В.И. Маркиным [3]. Системой, для которой адекватен лейбницевский подход к трактовке категорических высказываний, является С4 (силлогистика Лукасевича). Напомним ее постулаты. Схемами аксиом являются: A0: Схемы аксиом классического исчисления высказываний (КИВ); A1: (MaP a SaM) з SaP; A2: (MaP a MiS) з SiP; A3: SaP; A4: MiS. Единственное правило вывода - modus ponens. Интенсиональная семантика для этой системы задается следующим образом (см.: [8]): Рассматривается множество литералов £, которые репрезентируют признаки: 50 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic £ = {p\\, ~P\\,p2, ~p2, • ••}. Признаки могут быть положительные (pi) и отрицательные (~Pi). Лейбниц трактует понятие интенсионально, т.е. как совокупность признаков. Он не упоминает, что эта совокупность является непустой, так как этот факт кажется ему очевидным. Понятие - это произвольное непустое подмножество £. Для построения семантики для С4 используются лишь непротиворечивые понятия. Непустое непротиворечивое понятие - такое понятие а с £, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) а Ф 0; 2) не существует такого pi, что pi е а и ~pi е а. Пусть Э£ есть множество всех непротиворечивых понятий. На этом множестве задается операция #, которая сопоставляет каждому понятию а про- # тивоположное ему понятие а : (pi е а о ~pi е а) и (~p,- е а# о pi е а). Вводится интерпретационная функция п, которая сопоставляет каждому общему термину некоторое непустое непротиворечивое понятие (трактуемое интенсионально). Условия истинности элементарных формул языка позитивной силлогистики при интерпретации п задаются следующим образом: Определение 1. I SaP П = 1 о п(Р) с n(S); I SiP Іп = 1 о п(Р)# n n(S) = 0. Условия истинности сложных формул обычные. Данная семантика адекватно эксплицирует подход, предложенный Г. Лейбницем. Трактовка Лейбницем высказываний типа а полностью соответствует сформулированной семантике. Он пишет: «Таким образом, отсюда мы можем знать, является ли истинным некое общеутвердительное предложение. Ведь в нем понятие субъекта, взятое абсолютно и неопределенно и вообще рассматриваемое само по себе в целом, всегда содержит понятие предиката. Например, „Всякое золото есть металл“, т.е. понятие металла содержится в понятии золота, рассматриваемом само по себе, так что все, что принимается за золото, тем самым принимается за металл» [2. Т. 3. С. 520]. Относительно интерпретации частноутвердительных высказываний Лейбниц пишет: «Однако в частноутвердительном предложении нет необходимости, чтобы предикат присутствовал в субъекте, рассматриваемом сам по себе и абсолютно, т.е. чтобы понятие субъекта само по себе содержало понятие предиката, но достаточно предикату содержаться в каком-то виде субъекта, т.е. чтобы понятие какого-то вида субъекта содержало понятие предиката, хотя бы и не было выражено, каков именно этот вид» [2. Т. 3. С. 521]. Вид, по Лейбницу, - более широкое по содержанию понятие: «Что касается понятий, или составляющих терминов, то они различаются как часть и целое, так что понятие рода является частью, а понятие вида - целым» [2. Т. 3. С. 517]. «Таким образом, поскольку для частноутвердительного предложения не требуется ничего другого, кроме того, чтобы вид субъекта содержал предикат, отсюда [следует, что] субъект относится к предикату либо как вид к роду, либо как вид к чему-то совпадающему... либо как род к виду, т.е. понятие субъекта 51 Легейдо М.М., Конькова А.В. Об интересной связи между традиционной силлогистикой может выступать по отношению к понятию предиката либо как целое к части, либо как целое к совпадающему с ним целому» [2. Т. 3. С. 520-521]. Что же касается требования непротиворечивости понятий, то в работе «Элементы исчисления» [2. Т. 3. С. 514-522], где сформулирована интенсиональная семантика, не упоминаются отрицательные признаки. Однако в другой работе - «Исследование универсального исчисления» [2. Т. 3. С. 533537], Лейбниц рассматривает понятия, которые содержат отрицательные признаки, и даже предлагает некоторый аналог операции #. Он пишет: «Если же в свою очередь будет отрицаться этот термин - „ученый не-умный, несправедливый‘, очевидно получится „справедливый, умный не-ученый“» [2. Т. 3. С. 537]. Видим, что, как и в случае с операцией #, положительные признаки заменяются на отрицательные, а отрицательные - на положительные. Помимо представленного выше способа формализации интенсиональных идей Лейбница, существуют и другие, например, работа немецкого математика К. Гласхофа (р. 1947) «Интенсиональная семантика Лейбница для аристотелевской логики» [4] и работа голландского философа Роберта Ван Руйи 2014 г. «Лейбницианская интенсиональная семантика для силлогистических рассуждений» [5]. Н.А. Васильев: воображаемая логика и интенсиональная семантика для силлогистики В свете рассмотрения развития идей интенсионального подхода в логике будет несправедливо обойти стороной выдающегося русского логика Николая Александровича Васильева. Он был известен не только в отечественных научных кругах, но и за рубежом. В 1924 г. доклад Васильева «Воображаемая логика» был зачитан на пятом международном философском конгрессе в Италии и опубликован в его материалах. Будучи специалистом высочайшего класса, Васильев смог не просто проанализировать состояние развития философии и логики того времени, но и создал собственную логическую теорию, заложившую идейный фундамент для развития неклассических логик. В то время в логике происходила научная революция: на смену традиционной пришла математическая, символическая логика. Но параллельно с этим в рамках «новой» логики осуществлялась ревизия фундаментальных логических принципов (двузначности, экстенсиональности и др.), и возникали разные неклассические логические теории. Одной из них была воображаемая неаристотелева логика Н.А. Васильева. Русский логик не только изучил сложившиеся течения в логике, но и подверг критической оценке многие работы современников. Ученый обращает свой взор на диалектическую логику Гегеля, индуктивную логику Дж. Милля, критику аристотелевской логики Х. Зигвар-том. Кроме того, время создания Васильевым собственной теории совпадает с периодом разработки математической логики такими известными учеными, как Дж. Буль, П.С. Порецкий, Г. Фреге, Б. Рассел [7. С. 79, 107]. Воображаемая логика также возникла благодаря использованию идей современной математики, в особенности неэвклидовых геометрий. В своей работе Васильев шел по стопам Н.И. Лобачевского и его воображаемой геометрии. Идейное сходство в построении этих двух научных теорий отмечал не только сам логик, но и видные ученые того времени В.Н. Ивановский, Д.Н. Зейлигер [7. С. 177]. 52 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic Васильев видел возможность построения не одной-единственной системы, а множества воображаемых логик, отличных от аристотелевской. Воображаемая логика - это принцип построения новой логики, и этот принцип следует рассматривать как инструмент в изучении оснований логики. Тут стоит сделать акцент на разделении ученым логики на два типа: наша «земная» (эмпирическая) логика и металогика. Логические законы нашего мира зависят непосредственно от опыта, и мы вполне можем себе представить другие миры, с другой реальностью, а следовательно, и с другими эмпирическими законами логики. Так мы можем, добавляя или отбрасывая некоторые из таких законов, конструировать множество логик: «Логика в таком виде, в каком мы привыкли ее употреблять, полна эмпирических элементов; это есть логика в условиях опыта; она приспособлена к эмпирии» [7. С. 89]. Но есть особые принципы и операции, имеющие абсолютную значимость для любой логики и для любого логического мышления - это те принципы, которые остаются после устранения всего, что эмпирично, и которые Васильев называет металогикой. Металогика возможна лишь одна, она является чисто теоретической наукой, в нее входит только форма без содержания, и поэтому она беднее эмпирических логик по содержанию: «Металогика, пригодная для познания всякого мира, одна не может познать ни одного... металогика - для соприкосновения с реальностью, с тварностью, нуждается в посреднике, в Логосе, в материальной логике» [7. С. 116] Принципы, на которых базируется воображаемая логика, следует рассматривать как инструмент для более глубокого изучения оснований логики: «Для решения вопросов о законах мышления следует использовать метод построения воображаемой логики. Этот метод позволяет разобрать сложную и запутанную ткань „логического“, где все нити связаны, переплетаются, перекрещиваются и запутывают друг друга. Этот метод позволяет разобрать разные слои „логического“ и проследить наиболее важные пути - основу ткани - и их взаимоотношения» [7. С. 92]. Васильев понимал, что эта идея вызовет множество возражений, но не сомневался, и оказался прав, что неаристотелева логика имеет огромное логическое, гносеологическое, а значит, философское значение: «Главное преимущество метода воображаемой логики заключается в том, что таким путем законы и формулы нашей логики обобщаются, и мы можем получить логические законы в самом общем виде. Last not least (последнее, но не менее важное) и гносеологическое, а значит, вообще и философское значение самого факта воображаемой логики, самого различия рационального и эмпирического в логике...» [7. С. 93]. Предложенная Васильевым логика представляет собой силлогистику особого типа, где помимо утвердительных и отрицательных высказываний появляются высказывания третьего типа - противоречивые (индифферентные), которые содержат связку «есть и не есть». Васильев подробно формулирует в виде дедуктивной системы основной вариант предлагаемой им логики, выделяет новые законы и новые корректные модусы силлогизмов. Наконец, Васильев высказывает идею интенсиональной интерпретации суждений воображаемой логики всех трех качеств. Именно данная альтернативная версия воображаемой логики интересует нас в этой работе. Здесь субъекты и предикаты атрибутивных суждений рассматриваются, как и в упомянутых выше работах Лейбница, не как знаки множеств (объемов поня-53 Легейдо М.М., Конькова А.В. Об интересной связи между традиционной силлогистикой тий), а как знаки содержаний понятий, при этом сами суждения фиксируют информацию об отношении между содержаниями двух понятий. Васильев, как и Лейбниц, трактует содержание понятия традиционно - как множество признаков, причем признаки могут быть и положительными и отрицательными. Он предлагает следующую интенсиональную интерпретацию общих суждений трех различных качеств: в утвердительном суждении все признаки предиката утверждаются в субъекте; в отрицательном суждении каждый признак предиката отрицается в субъекте (эти суждения, по Васильеву, содержат абсолютное, сильное отрицание). Третий тип общих суждений - суждения со слабым отрицанием, им как раз соответствуют суждения со связкой «есть и не есть». В них некоторые признаки предиката утверждаются в субъекте, а некоторые отрицаются: «Так, отрицая, что Колумб был первым европейцем, приплывшим в Америку, мы не отрицаем, что он был европейцем и что он приплыл в Америку» [7. С. 87]. В данном варианте воображаемой логики оказываются корректными очень необычные и нетривиальные силлогизмы, когда из двух отрицательных (абсолютно) посылок следует утвердительное заключение, а также силлогизмы первой фигуры с меньшей отрицательной посылкой. Васильев приводит пример подобного силлогизма: A есть P S есть non-A S есть non-P При этом формула «S есть non-A», например, должна читаться так: А абсолютно отрицается относительно S [6. С. 88], и, действительно, в большей посылке говорится, что все признаки в составе P содержатся и в A, а меньшая посылка сообщает, что каждый признак в составе A отрицается в S. Отсюда вытекает, что каждый признак в составе P отрицается в S. В.И. Маркиным и Д.В. Зайцевым [8] была предложена адекватная формализация идей Васильева для данного варианта «воображаемой логики» на базе классической логики высказываний. Язык содержит три силлогистические константы для общих высказываний: Ai для утвердительных, A2 для (абсолютно) отрицательных и Л3 для слабо отрицательных (т.е. индифферентных). Кроме того, дополнительно вводятся три константы - I\\, I2 и I3 - для частных высказываний трех соответствующих качеств (сам Васильев при формулировке альтернативной версии воображаемой логики, в отличие от основной ее версии, частные суждения не рассматривает). Далее в этом языке строится аксиоматическое исчисление IL2. Схемы аксиомы данной системы представлены в [8] и [9], здесь же приведем лишь необходимые для нашей работы: IL2.0: Аксиомы КИВ; IL2.1: (AMP л ASM) з AiSP; IL2.2: (Л iMP л Л 2SM) з A2SP; IL2.3: (a2MP л Л1SM) з A2SP; IL2.4: AMP л A2SM) з AiSP; IL2.5: (AMP л IXSM) з IiSP; IL2.9: AiSS; IL2.12: IiSP з IiPS; IL2.14: AiSP з IiSP. Единственным правилом вывода является modus ponens. 54 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic Интенсиональная семантика для этой системы использует те же самые конструкции, что и описанная выше семантика для силлогистики C4. Интерпретирующая функция п сопоставляет каждому общему термину понятие, трактуемое интенсионально. Под понятием понимается подмножество множества {p1, ~p1,p2, ~p2, • • •}. Каждое понятие удовлетворяет двум условиям: (1) оно не является пустым; (2) оно не может содержать в себе двух противоречащих признаков. Вводится операция #, обладающая всеми указанными выше свойствами, она сопоставляет каждому понятию противоположное ему. В [8] и [9] задаются следующие условия истинности атомарных формул шести типов при интерпретации п: Определение 2. UiSP Іп = 1 о п(Р) с n(S); I A2SP 1п = 1 о п(Р)# с n(S); I A2SP |п = 1 о п(Р) П n(S) = 0 и п(Р)# П n(S) = 0; I ZiSP Іп = 1 о п(Р)# П n(S); I ^РІ = 1 о п(Р) П п(S); I ^Р Іп = 1 о п(Р) \\ п(S) = 0 и п(Р)# \\ п(^ = 0. Условия истинности сложных формул и понятие общезначимой формулы обычные. Доказана непротиворечивость и полнота исчисления IL2 относительно данной семантики [8]. Формальная связь между C4 и IL2 Можно заметить, что для некоторых типов суждений условия истинности в интенсиональных семантиках систем C4 и IL2 совпадают. Было выдвинуто предположение, что более богатая система IL2 является консервативным расширением системы C4. В данном разделе статьи попытаемся обосновать этот тезис. Изменим способ записи (алфавит) для исчисления C4: будем использовать вместо константы а константу A1, а вместо константы i - константу I1. При новой форме записи исчисление C4 будет выглядеть следующим образом (обозначим его C4*): A*0: Аксиомы КИВ; A*1: (AM-Р л A1SM) з AМ; A*2: ^МР л IMS) з ІМ; A*3: AiSS; A*4: IiSS. Единственное правило вывода - modus ponens. Отметим, что новое исчисление C4* обладает всеми теми же метатеоретическими свойствами, которыми обладает и исчисление C4. В таком случае изменится и форма записи условий значимости атомарных формул (из определения 1): Определение 3. I AiSF Іп = 1 о п(Р) с п(5); 55 Легейдо М.М., Конькова А.В. Об интересной связи между традиционной силлогистикой IiSP In = 1 о n(P)# n n(S). Теорема 1. Любая теорема исчисления C4* доказуема в исчислении IL2. Для доказательства метатеоремы достаточно будет показать, что все аксиомы исчисления C4* доказуемы в IL2. Доказательство ведется индукцией по построению формулы. А*0: аксиомы классического исчисления высказываний являются аксиомами исчисления IL2, а потому доказуемы в нем; A*1: (AMP л AiSM) з AiSP) аксиома IL2.1 исчисления IL2; A*2: ((AiMP л IMS) з IiSP) 1. (AiMP л IiSM) з IiSP IL2.5 2. IiSM з IiMS IL2.12 3. (AiMP л IiMS) з IiSP 1,2; по законам логики высказывании (ЛВ) A3: AiSS; аксиома IL2.9 исчисления IL2; A4: IiSS 1. AiSS з IiSS IL2.14 2. AiSS IL2.9 3. IiSS 1,2; ЛВ Правило modus ponens имеется в обоих исчислениях. Теорема 1 доказана. Эта теорема эквивалентна утверждению о том, что исчисление IL2 является расширением исчисления C4* согласно следующему определению В.А. Смирнова [10. С. 57]: «Теория Т2 является расширением теории Ть если и только если всякое предложение, доказуемое в Ть доказуемо и в Т2». Выделим в языке исчисления IL2 подъязык с двумя силлогистическими константами: Ai и Ii. Теорема 2. Для любой формулы подъязыка верно, что она общезначима в IL2 тогда и только тогда, когда она общезначима в C4*. Для доказательства этой теоремы будем использовать следующую лемму: Лемма. Для всякой формулы А и для всякой модели верно, что |Л|L = i I * Iе4* 1 тогда и только тогда, когда Л = i. I ІП Доказательство ведется возвратной индукцией по числу пропозициональных связок в составе А: 1. А имеет вид A iSP: I 177 2 ііе4* |Ai5P|п = i (по опр. 2) о n(P) c n(S) о |Ai5P|п = i (по опр. 3). 2. Случай, когда формула Л имеет вид IiSP, доказывается аналогично. Далее рассматриваем случаи, когда Л - сложная формула. Используем индуктивное допущение: для любой формулы B с меньшим, чем у A, числом пропозициональных связок верно, что B = i о B = i. Условия истинности пропозициональных связок у IL2 и C4* совпадают, а значит, доказательство данного пункта тривиально. Теорема 2 доказана. 56 Онтология, эпистемология, логика / Ontology, epistemology, logic Теорема 3. Исчисление IL2 является консервативным расширением исчисления C4*. Для доказательства данной метатеоремы воспользуемся определением, сформулированным В.А. Смирновым [10. С. 57]: Т2 есть консервативное расширение Ті тогда и только тогда, когда Т2 есть расширение Т1, и для всякого предложения А, сформулированного в терминах теории Т1, если А доказуемо в Т2, то оно доказуемо в Т1. Доказательство: первое утверждение в определяющей части - тот факт, что система IL2 является расширением системы C4* - уже доказано (Теорема 1). Второе утверждение, а именно тот факт, что для всякого предложения А, сформулированного в терминах теории C4*, если А доказуемо в IL2, то оно доказуемо в C4*, вытекает из следующих утверждений: 1. Результат В.И. Маркина и Д.В. Зайцева [8] о семантической непротиворечивости исчисления IL2. 2. Теорема 2, которая говорит о том, что любая формула языка C4* общезначима в IL2 тогда и только тогда, когда она общезначима в C4*. 3. Результат [11. С. 90] о семантической полноте исчисления C4*. Теорема 3 доказана. Полученный результат позволяет рассматривать идеи Васильева как развитие и расширение интенсионального подхода через построение более богатой теории с оцениванием не только стандартных силлогистических высказываний, но и высказываний особого типа - с двумя видами отрицаний. Прослеживается преемственность от Лейбница к Васильеву, хотя точных свидетельств о том, что Васильев был знаком с указанными работами Лейбница, нет. Ни в одной из увидевших свет работ Васильева и опубликованных работ о нем нет никаких упоминаний интенсионального подхода Лейбница. Исходя из этого факта и учитывая, что данные работы Лейбница были переведены на английский и русский языки только во второй половине XX в., Васильев, скорее всего, не был знаком с ними. Появление идей такого рода интерпретации силлогистических высказываний в столь разное время независимо друг от друга, несомненно, говорит в пользу интенсионального подхода как одного из перспективных направлений в силлогистических исследованиях.

Скачать электронную версию публикации