The mathematical intellect in the cognitive investigations.pdf УДК 1:51+ 004.8Л.Б. СултановаМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТЕЛЛЕКТ В КОГНИТИВНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХРассматривается вопрос о роли и значении структур математического интеллекта в когнитивных исследованиях. При этом под математическим интеллектом понимаются такие структуры мышления, посредством деятельности которых осуществляется математическое познание: одними из них являются основания математики.Ключевые слова: когнитивные исследования, математический интеллект, математическое познание, структура мышления.Представляется, чт о существенным недостатком когнитивных исследо-ваний как одного из ведущих современных научных направлений является отсутствие взаимосвязей с выводами философии математики. А между тем философия математики ещё со времён бурного обсуждения программ обос-нования математики и далее результатов их развития, т.е. примерно со вто-рой трети двадцатого столетия, является хорошо разработанной областью эпистемологии и философии науки, где получены такие важнейшие резуль-таты, как, например, теорема К. Гёделя. Её рассматривают не просто как не-кий значительный, но тем не менее частный результат философии математи-ки, но как положение общенаучного характера, которое невозможно игнори-ровать. Поэтому опора современных когнитивных исследований на резуль-таты философии математики представляется не только возможной или жела-тельной, но, на мой взгляд, даже необходимой.Понятно, что искомые взаимосвязи когнитивных исследований и фило-софии математики могут выстраиваться в различных направлениях. Одним из важнейших направлений в этом отношении сегодня являются исследова-ния в области искусственного интеллекта. Очевидно, что эти исследования требуют серьёзной теоретической базы в виде развёрнутой концепции есте-ственного интеллекта. Как известно, такие исследования в XX в. проводи-лись многими учёными и философами, в частности Ж. Пиаже [1]. Но в на-стоящее время, как представляется, уже можно не ограничиваться общим концептуально-философским пониманием естественного интеллекта как особого состояния операционального равновесия мышления, когда добавле-ние новых элементов не нарушает его операциональной целостности [1. С. 56-57]: можно попытаться выявить его структуру, чтобы понять, из каких элементов, в принципе, может складываться естественный интеллект и какие из этих элементов поддаются моделированию и конструированию, а какие -нет. Это важно, поскольку понятно, что и сама человеческая деятельность, и её результаты далеко не во всём объёме и далеко не во всех своих аспектах могут быть подвергнуты рационализации и алгоритмизации и последующе-му моделированию. Сегодня не вызывает сомнений тот факт, что при этомМатематический интеллект в когнитивных исследованиях65всегда будет оставаться некий значимый нерационализируемый остаток, ко-торый при этом будет качественно влиять на искомую рационализацию или алгоритмизацию, или, скажем, на формализацию, что ясно видно из резуль-татов программы формализации математики Д. Гильберта, которые, как из-вестно, ограничены уже упомянутой теоремой К. Гёделя [3].Итак, необходимо выяснить, какие же структурные элементы можно вы-делить в рамках сложнейшего синергийного субстрата, который называют естественным интеллектом. Эта задача, разумеется, существенно превышает формат данной статьи. Однако с точки зрения философии математики пред-ставляется, что прежде всего в структуре естественного интеллекта усматри-ваются фундаментальные элементы интеллекта математического, а также интеллекта логического. Наибольший интерес, на мой взгляд, вызывает ин-теллект математический - вследствие своей сложности и значительности, а также тесной связи с математической интуицией как со специфической функцией мышления.Таким образом, здесь поставлены следующие вопросы: что такое мате-матический интеллект? Каким образом он связан с когнитивными исследо-ваниями? Какую роль в них выполняет?Начнём с важнейших определений. Итак, под математическим интеллек-том здесь следует понимать структуру мышления, посредством функцио-нальной деятельности которой осуществляется математическое познание. Понятно, что структура математического интеллекта представляет собой комплекс взаимосвязанных элементов. Выясним, какие же конкретные эле-менты включает в себя математический интеллект. Этот вопрос представля-ется крайне важным, поскольку за истинность научной теории в значитель-ной мере «отвечает» именно математика, и поэтому именно математический интеллект является основой научного познания. Это означает, что только получив адекватное представление о генезисе и устройстве математического интеллекта, можно составить более или менее реальное представление о том, что же собой представляет естественный интеллект, т.е. интеллект, связан-ный с человеческим мышлением.Понятно, что базовый элемент математического интеллекта - это его ос-нования, которые непременно должны включать в себя базовые, т.е. исход-ные, основания математики. Традиционно к ним причисляют основные по-нятия и аксиомы геометрии, а также числовую ось. Может показаться, что основания математического интеллекта полностью совпадают с основаниями математики, но это не так. Для выяснения вопроса о том, какие же ещё эле-менты должны быть включены в состав оснований математического интел-лекта, необходимо рассмотреть вопрос о формировании оснований матема-тики на индивидуально-личностном уровне, т.е. выяснить, каким образом это происходит в мышлении конкретного субъекта познания.Все концепции, выдвигаемые в современной философии математики по этому вопросу, в целом сводятся к традиционно противостоящим друг другу эмпиризму и априоризму. Как известно, эмпиризм в решении вопроса о при-роде математических оснований стремится так или иначе вывести основания математики из опыта. К эмпиризму фактически сводятся все разновидностиЛ.Б. Султанова 66социокультурной философии математики, которая связывает развитие мате-матики с конкретными социокультурными особенностями той или иной кон-кретной цивилизации [4]. При этом сторонники такого подхода, как правило, руководствуются лозунгом «Сколько культур - столько и математик». Одна-ко не следует забывать о том, что основания математики у всех народов во все времена идентичны, т.е. социокультурно инвариантны, что, как пред-ставляется, позволяет настаивать на априорности таковых, и, по крайней ме-ре, позволяет аргументированно критиковать радикальные варианты эмпи-ризма [5. С. 63-93].Вместе с тем необходимо учитывать, что теоретические основания мате-матики не являются первичными структурами математического интеллекта и формируются на базе уже сложившегося определённого комплекса онто-гносеологических предпосылок мышления субъекта познания - назовём его априорным математическим комплексом [5]. В св ою оче ре дь , априорный математический комплекс конкретного субъекта познания формируется, точнее конституируется, как крупный структурный элемент общего ком-плекса онтогносеологических предпосылок этого субъекта познания. Осно-вой для этого конституирования служат такие онтогносеологические пред-посылки, как представления о пространстве и времени, а также определён-ные интуиции, потенциально присущие мышлению.Следует учесть, что априорные предпосылки математики носят гносеоло-гически двойственный характер вследствие того, что они реально применя-ются субъектом познания не только в рамках математического, но и в рамках метафизического контекста [5. С. 63-93]. Действительно, невозможно рас-сматривать, например, представление о непрерывности исключительно как априорную предпосылку математики, поскольку таковое необходимо субъ-екту познания и в рамках общего метафизического контекста, где представ-ление о непрерывности формируется изначально.Например, для формирования онтогносеологической предпосылки мате-матического понятия числа мышлению необходимы в наличии интуиция сравнения и интуиция количества. Усл ов и ем возможн ости таког о к онсти -туирования является актуализация определённых онтогносеологических предпосылок мышления, в результате которой из них формируется априор-ный математический комплекс. Актуализация при этом понимается как пробуждение функциональности мышления в результате внешнего на него воздействия, порождающего только впечатления. Никакой речи о математи-ке здесь пока ещё не ведётся. После осуществившегося примерно по такой схеме конституирования априорных предпосылок математики в мышлении субъекта познания будут сформированы интуитивные представления о чис-ле, бесконечности, количестве, непрерывности, дискретности, точке, рас-стоянии и т.д. При этом конкретный социокультурный контекст не имеет значения, важны только наличие и адекватность такового. Адекватность в данном случае означает, что все эти представления в социокультурном кон-тексте должны присутствовать, т.е. контекст, в котором у субъекта форми-руются впечатления, должен быть именно социокультурным, т.е. предпола-гать наличие традиции. Но социокультурным инвариантно, что реально име-Математический интеллект в когнитивных исследованиях67ет место, поскольку в различных культурах основания математики идентич-ны - различны только обозначения, например римские и арабские цифры. Это с одной стороны.С другой стороны, очевидно, что актуализация механизмов конституиро-вания любых элементов мышления возможна при условии того, что мышле-ние обладает врождённой, потенциальной способностью к актуализации своих структур под воздействием каких-либо (неважно каких) впечатлений. При этом независимость от опыта предпосылок математики, уже сформиро-ванных в мышлении субъекта, может обеспечиваться только особой специ-фикой указанной актуализации, а именно тем, что таковая осуществляется на нерациональном, т.е. интуитивном уровне. По этой причине априорные ос-нования математики формируются именно как интерсубъективные, т.е. об-щезначимые для всех субъектов познания, и, следовательно, как таковые, представляют собой утверждения, очевидно истинные для всех. Понятно, что только на таких условиях априорные основания могут быть положены в основу математической науки и всего познания в целом. Выполнение этого условия необходимо для математики, поскольку только в этом случае мате-матика может быть общезначимой и, значит, применимой на практике.Таким образом, можно заключить, что основания математического ин-теллекта необходимым образом включают в себя не только базовые тео-ретические основания математики, но и априорный математический ком-плекс, который составляет с ними единое гносеологическое целое, и именно как таковой и функционирует в процессе научного познания, являясь основой естественного интеллекта.Отсюда мы заключаем, что каких бы успехов не достигла математиче-ская наука в теоретическом обосновании своих базовых принципов, субъект математического познания всегда будет интуитивно опираться на априорные предпосылки математики. Более того, представляется, что само теоретиче-ское обоснование базовых принципов и оснований математики было бы не-возможно при отсутствии в мышлении математиков априорных представле-ний, а освоение формально-теоретического контекста в математике вообще возможно только на базе этих априорных предпосылок. Само обучение мате-матике, исключая, разумеется, уровень сложившегося учёного-математика, находится вне рамок формально-теоретического контекста, что практически не оставляет никаких альтернатив признанию априорных предпосылок мате-матики как необходимого условия возможности математического познания на уровне отдельного субъекта или математического сообщества в целом.В ранний, доевклидовский период развития математики, когда никто ещё не задумывался о законах математического мышления и об основаниях ма-тематического знания, аксиоматические утверждения математики на неявно-интуитивном уровне всё равно применялись на практике, поскольку при любом социокультурном контексте развития математической науки какие-то внеопытные основания мышления необходимы в математическом познании независимо от того, осознаваемы они субъектом или нет.Также следует учесть, что априорные предпосылки математики носят гносеологически двойственный характер, и происходит это вследствие того,Л.Б. Султанова 68что они реально применяются субъектом познания не только в рамках мате-матического, но и в рамках метафизического контекста. Действительно, не-возможно рассматривать, например, представление о непрерывности исклю-чительно как априорную предпосылку математики, поскольку представление о непрерывности необходимо субъекту познания и в рамках общего метафи-зического контекста, в кот орых таковое, собственно говоря, и формируется изначально. Это значит, что априорное представление о непрерывности яв-ляется двойственным в том смысле, что рассматривается ка к метафизиче-ская и в то же самое время как математическая предпосылка. Кроме того, согласно историко-математическим исследованиям, в докартезианские вре-мена основания математики выступали как очевидные, но их значение и роль в математическом познании были ещё далеко не осознаны. Роль оснований в математике была ещё не определена должным образом, т.е. была методоло-гически неявной. После того как Р. Декарт обосновал свою концепцию о не-обходимости врождённых идей как безусловных базовых оснований мышле-ния, в том числе и математического, он, по сути, методологически эксплици-ровал основания математики.Точно так же дело обстоит со всеми онтогносеологическими предпосыл-ками математики, которые нельзя «вырвать» из общего метафизического контекста и «включить» только в рамки контекста специфически математи-ческого, поскольку, как это показано выше, специфически математический контекст генетически конституируется из метафизического. Причём это конституирование осуществляется на интуитивном уровне, что фактически приводит к формированию жёстких ментальных связей, не доступных ра-циональной экспликации. Это значит, что невозможно в полном объёме осуществить непротиворечивую экспликацию априорных предпосылок мате-матики в рамках формально-математического контекста. Эта особенность оснований математики также «роднит» их с неявным знанием, которое, как известно, далеко не всегда поддаётся какой-либо рационализации или даже простейшей вербализации. Таким образом, можно заключить, что априорные предпосылки математики имеют не только математический аспект, но и ас-пект метафизический. Необходимо учесть, что эти аспекты невозможно раз-вести посредством экспликативного выделения специфически математиче-ских элементов. Подобная двойственность онтогносеологических предпо-сылок метафизики не характерна для кантовского априоризма, где метафи-зика и математика строго разделены и все «идеальные» и «априорные» кон-струкции как формы мышления строго изолированы друг от друга. Однако на рационально-логическом уровне осознаётся только сам факт этого разли-чия, и только в определённых пределах.В целом представляется, что специальных априорных форм мышления для базовых понятий математики, как это дано у И. Канта, не существует, что таковые имеют место только в метафизике, а все специфически матема-тические структуры мышления конституируются на этой онто-гносеологической базе под влиянием наличия опыта, но независимо от этого опыта, каким бы он ни был. В дальнейшем в результате рассмотренных вы-ше процессов конституирования у субъекта формируются единственно воз-Математический интеллект в когнитивных исследованиях69можные базовые предпосылки математики, имеющие интерсубъективный характер. Это означает, что в процессе математического п ознания интуи-тивное математическое мышл ение, по сути, вынуждено об ращ аться к ме-тафизическим предпосылкам (число, количество, больше, меньше, беско-нечность и т.д.), что, разумеется, создаёт серьёзные сложности как при фор-мально-теоретической экспликации математических утверждений, так и при обосновании математики посредством специальных процедур, что фактиче-ски и происходило при реализации программы математического формализма Д. Гильбертом в начале XX в.В самой математической практике эта двойственность практически не учитывается. Дело в том, что при решении задач или при проведении мате-матических доказательств математики оперируют не формально-теоретическими понятиями, а интуитивными представлениями. Очевидно, что формально-теоретические выкладки возможны только на бумаге. Отсю-да и возникает задача строгого обоснования в математике, т.е. задача экс-пликации интуитивно полученных шагов математического рассуждения. Даже если принять, что математик действует в рамках некоторого неосозна-ваемого алгоритма, идея возможности чего высказывается в современной научной литературе [6. С. 204-344], это ничего не меняет, поскольку факт неосознаваемости, влекущий за собой отсутствие возможности адекватной рационализации, налицо.Сейчас отметим только, что по вышерассмотренным причинам при не-обходимости экспликации онтогносеологических предпосылок математики в рамках формально-теоретического контекста, что происходит, например, в математическом формализме Д. Гильберта или в теоретико-множественной концепции математики Г. Кантора, фактически возникает необходимость в обосновании в рамках формально-математического контекста некоторых идей метафизики, например представления об актуальной бесконечности. Это, как известно, исторически привело к выявлению парадоксов канторов-ской теории множеств, а также к фактической неудаче гильбертовского формализма.Представляется, что процесс формирования оснований математического интеллекта, включающий в себя два рассмотренных ранее этапа, в том или ином виде характерен для каждого субъекта познания. Это значит, что этот процесс в целом носит характер закономерности. При этом именно матема-тический интеллект необходимо рассматривать как первичную фундамен-тальную базовую структуру естественного интеллекта. Очевидно, что про-цесс его реального формирования именно как конституирования, предпола-гающего пробуждение функциональности в процессе актуализации его эле-ментов под влиянием опыта, смоделировать невозможно. Однако для искус-ственного или, точнее, для машинного интеллекта, который в принципе можно признать в качестве реально существующей операциональной струк-туры, реализуется иная, программная, стратегия формирования базовых ос-нований математики - разумеется, со всеми присущими ей ограничениями.Важнейшей спецификой математического интеллекта является то, что он отнюдь не исчерпывается процедурами вычислительного характе-Л.Б. Султанова 70ра, т.е. не подлежит полной алгоритмизации. Этот вывод делается неко-торыми современными исследователями на основе осмысления результатов программ обоснования математики (формализм, интуитивизм и логицизм) в математике и эпистемологии [6. С. 320-321]. Этот ва жнейший результа т, полученный Р. Пенроузом, помимо всего прочего, ещё является и ярким примером плодотворного обращения к проблематике философии математи-ки при осуществлении когнитивных исследований.В заключение отметим, что, кроме математического интеллекта, челове-ческое мышление включает в себя также структуры логического интеллекта, обеспечивающие возможность логического вывода. Представляется, что ло-гический интеллект, в отличие от математического, базирующегося непо-средственно на априорных формах созерцания (пространство и время), опи-ра ется т ольк о на расс удок, и п ри этом ст рукт урно п роще матем а ти ческог о интеллекта. В логике не нужны никакие априорные предпосылки, всё строго по правилам, без отклонений, без неявно привлекаемых при математической дедукции предпосылок. Никакой «естественный свет разума», по выраже-нию Декарта, не вносит в сухую, но зато однозначно определённую логиче-скую цепь посторонние, интуитивные элементы, могущие создавать серьёз-ные проблемы при последующем обосновании.При этом логический интеллект может функционировать автономно по отношению к математическому интеллекту и вполне допускает возможность компьютерного моделирования. Существенные противоречия между мате-матическим и логическим интеллектом возникают только при необходимо-сти работы с объектами, включающими актуально бесконечно большое чис-ло элементов. Как известно, в этой ситуации в математике не выполняется классический логический закон исключённого третьего. О неправомерности отождествления математики и логики в своё время предупреждал ещё Д. Гильберт, что, впрочем, не застраховало его от аналогичных проблем.Понятно, что это важнейшее, и в когнитивных исследованиях решающее различие между структурами логического и математического интеллекта может быть выявлено только в рамках философии математики, поэтому на общенаучном уровне, даже в современной науке, нередко можно столкнуть-ся с явным или неявным отождествлением логического и математического интеллекта, что приводит к отождествлению интеллекта естественного и ис-кусственного. А это категорически неверно в любом случае, каким бы ни было наше представление об искусственном интеллекте. Очевидно, что этот результат философии математики также имеет первостепенное значение в когнитивных исследованиях, и особенно в исследованиях по искусственному интеллекту: он означает, что получить полный алгоритм работы математиче-ского интеллекта искусственным путём, т.е. путём прямого конструирова-ния, невозможно.Справедливости ради нужно отметить, что все тонкие теоретические разногласия между сторонниками и противниками возможности моделиро-вания такого алгоритма, в принципе, сводятся к вопросу о соотношении по-нятий «осознание» и «понимание»: сторонники возможности моделирования искусственного интеллекта различают значения понятий «осознание» и «по-Математический интеллект в когнитивных исследованиях71нимание», а противники - нет. На это справедливо указывает тот же Р. Пен-роуз [6. С. 69-75]. Представляется, что с ним необходимо согласиться: по-нимания без осознания не существует. А без понимания нет интеллекта. .Литература1..Пиаже Ж. Психология интеллекта. СПб.: Питер, 2004. 192 с.2..Математическая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1977. Т. 1. С. 909-910.3.Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. С. 23.4..Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М.: Изд-во МГУ, 1991. 157 с.5..Султанова Л.Б. Неявное знание в развитии математики. Уфа: РИЦ БашГУ, 2009. 260 с.6..Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. Ч. 1: Понимание разума и новая физика. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.

Скачать электронную версию публикации