KRIPKES PROBLEM AND ITS STRAIGHT SOLUTION.pdf В монографиях В.А. Ладова и В.А. Суровцева, вышедших в 2008 г. вТомске [1, 2], дан фундаментальный анализ проблематики правилосообраз-ности в исследованиях Витгенштейна и Крипке в семантическом, онтологи-ческом и эпистемологическом аспектах, а также представлена детальная ис-ториография этой темы. Особый интерес эти работы привлекают тем, что вних предлагаются два новых решения проблемы Крипке: прямое решениеприменительно к математическим операциям, в частности, к операции сло-жения - примеру, который рассматривал Крипке [1, 2], и «умеренное» реше-ние, претендующее на универсальную значимость [2]. По моему мнению, обарешения базируются на интересных наблюдениях, вносящих существенныйвклад в экспликацию и феномена правилосообразности, однако являются не-удовлетворительными. В данной статье я ограничусь анализом прямого ре-шения, предпослав ему экспликацию проблемы Крипке, как я ее понимаю.При этом будет показано, что 1) проблема Крипке является иллюзорной исводится к тезису о недоопределенности некоторых правил; 2) прямое реше-ние сводится к доказательству полной определенности некоторых правил;3) доказательство В.А. Ладова и В.А. Суровцева нуждается в корректировке,хотя выдвигаемый ими тезис верен.I. Бином НьютонаПроблема правилосообразности, как ее ставит Крипке, базируется на двухдопущениях, которые я бы назвал принципом универсальности и принципомфактуальности правил.1) Принцип универсальности. Мы считаем некоторое правило универ-сальным (или создаем его как универсальное) относительно некоторой облас-ти определения. Это значит, что мы считаем, что оно должно быть полностьюопределено на всей этой области, т.е. его применение в пределах данной об-1 Исследование выполнено в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инноваци-онной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № 02.740.11.0362.Е.В. Борисов6ласти должно давать однозначный результат. Например, правила сложенияуниверсальны относительно множества чисел, т.е. для любых двух чисел ихсумма должна быть определена однозначно.2) Принцип фактуальности. Результат применения правила к каждомуотдельному случаю определяется фактуально - на основе некоторой конвен-ции, которая является эмпирическим фактом. Например, в ходе истории че-ловечества арифметическая сумма определяется конвенционально для каж-дой пары чисел. Ясно, что фактуальное определение сложения является огра-ниченным в силу того тривиального обстоятельства, что жизнь коротка, а рядчисел долог: существуют такие пары чисел, которые в истории человечестваникто никогда не складывал, следовательно, относительно них результатсложения еще не получил конвенционального определения.Принцип фактуальности делает любое правило - по мнению Крипке, да-же операцию сложения в арифметике - недоопределенным. В данном приме-ре недоопределенность состоит в следующем:- для некоторых пар чисел, сумма которых однозначно определена сло-жившимися конвенциями;- относительно остальных пар чисел сумма (еще) не определена.Смысл этого радикально эмпиристского тезиса состоит в том, что невоз-можно определить правила сложения так, чтобы заранее определить (датьалгоритм вычисления) суммы для любой пары чисел: узнать, чему равноx + y, значит узнать, какую конвенцию приняло (если уже приняло) по этомувопросу человечество. Конечно, мы пользуемся дефиниторными определе-ниями, которые претендуют на универсальность (алгоритм сложения в стол-бик и т.п.), но на самом деле любое дефиниторное определение сводится, поКрипке, к фактуальному: дефиниторное определение правила не предшеству-ет практике следования этому правилу, но описывает практику, которая наданный момент сформировалась фактуально и может быть дана только эмпи-рически.Приведем каноническую иллюстрацию Крипке [3. C. 22]. Предположим,говорит он, что я еще никогда не применял операцию сложения к числам,большим чем 57. В этом случае я не знаю, какой получу результат, применивее к паре (57, 68). Можно усилить это допущение (учитывая конвенционали-стскую позицию самого Крипке): предположим, что в истории человечестваеще никто никогда не суммировал числа, большие чем 57. Тогда для всех партаких чисел эта операция (еще) не получила конвенционального определе-ния. Теперь определим арифметическую операцию «квожение» (для ее обо-значения в формулах будем использовать знак «» - «квус»):1) для любой пары чисел x и y если x и y < 57, то x + y = x  y (5 + 7 = 5  7 == 12 и т.д.);2) x  y = 5 во всех остальных случаях.В последующих рассуждениях Крипке неявно вводит одно дополнитель-ное определение для операции сложения: 57 + 68 = 125. Подчеркнем, что этоопределение должно быть дано явным образом, поскольку, по условиям мыс-ленного эксперимента Крипке, сумма 57 и 68 в истории человечества еще неопределена, т.е. это новая конвенция. Строго говоря, следовало бы различитьоперацию сложения до этого доопределения и после него: это разные опера-Проблема Крипке и ее прямое решение7ции, поскольку они определены на разных множествах пар чисел. Итак, сле-дует различать:- сложение1 - операцию, не определенную относительно (57, 68),- сложение2 - операцию, (до)определенную относительно (57, 68) спосо-бом № 1,- квожение - операцию, (до)определенную относительно (57, 68) спосо-бом № 1.Теперь пример Крипке получает следующую интерпретацию: при доопре-делении операции «сложение1» двумя разными способами мы получаем опера-ции «сложение2» и «квожение». (Крипке использует равенство «57 + 68 == 125» по умолчанию, поэтому не проводит явного различия между сложени-ем1 и сложением2; ниже будет показано, что это приводит к абсурдным след-ствиямs:0Ful.)Как видим, квожение отличается от сложения2 только применительно кодной определенной паре чисел; соответственно, квожение отличается отсложения1 тем, что включает в область своего определения на одну пару чи-сел больше. Теперь, опираясь на свой эмпиристский принцип, Крипке гово-рит: до того момента, когда была определена сумма 57 и 68 (т.е. до момента,когда сложение1 превратилось в сложение2: проще говоря, до первой в исто-рии попытки сложить 57 и 68) сколь угодно обширные эмпирические наблю-дения за речевым поведением людей (случаев сложения) не позволят наблю-дателю (любому носителю языка) установить, что подразумевается под зна-ком «плюс»: сложение1 или сложение2 или квожение. Таким образом, анализпримера со сложением и квожением у Крипке притязает на единственныйрезультат: демонстрацию недоопределенности операции сложения, котораяпроявляется в наличии альтернативных возможностей ее доопределения (ра-зумеется, таких возможностей бесконечно много; Крипке рассматриваеттолько две, потому что этого достаточно для демонстрации тезиса).Теперь сформулируем проблему: она сводится к противоречию междупринципами универсальности и фактуальности. На примере сложения: намкажется, что эта операция должна быть универсальной (полностью опреде-ленной на множестве чисел), но в действительности она оказывается факту-альной (определяемой эмпирически и потому недоопределенной). В даннойэкспликации (а я думаю, что она верна букве и духу Крипке) проблема имеетобескураживающе очевидное решение: если между кажимостью и действи-тельностью (т.е. мнением и знанием) есть противоречие, то нужно отказатьсяот кажимости в пользу действительности1. То есть проблема (которая, каквидим, оказалась псевдопроблемой) трансформируется в констатацию: всеправила недоопределенны. Квантор всеобщности здесь обусловлен тем, чтопример со сложением и квожением Крипке рассматривает как единичныйпример всеобщей закономерности.Коррелятом тезиса о недоопределенности Крипке считает эпистемологи-ческий скепсис относительно моего осознания тех правил, которым я следую:носитель языка, складывая 2 и 2, не знает, вычисляет ли он сумму или1 На самом деле впечатляет не простота данного решения проблемы (точнее, устранения псевдо-проблемы), а количество сломанных вокруг нее копий.Е.В. Борисов8«квумму». Это, конечно, тоже псевдопроблема: если допустить, что сложениеопределяется конвенционально, и если допустить, что для чисел 57 и 68 кон-венционально утвержденный результат еще отсутствует, то бессмысленнасама постановка вопроса о том, какую операцию мы подразумеваем в форму-ле «5 + 7 = 12»: сложение или квожение.Вспомним уточненную дистинкцию трех операций - сложения1, сложе-ния2 и квожения, и все станет ясно: практикуя сложение1, мы не можем за-думаться о том, является ли оно сложением2 или квожением просто потому,что (по условиям мысленного эксперимента Крипке) мы еще не ввели поня-тия «сложение2» и «квожение». Если же мы эти понятия уже ввели, то мыопять же не станем ломать голову над этим вопросом, поскольку уже знаем,какой результат даст наша операция применительно к (57, 68). Трудности«скептика» Крипке вызваны тем, что он заблудился во времени:- скептик уже доопределил операцию «сложение1» двумя способами и темсамым ввел операции «сложение2» и «квожение»: именно поэтому он в состоя-нии поставить вопрос том, как первое соотносится со вторым и третьим1;- поставив этот вопрос, он возвращается в прошлое, когда сложение2 иквожение еще не были введены, и, естественно, не находит на свой вопросответа. Вот и весь бином Ньютона.Примечание 1. Тезис о недоопределенности требует не отказа от принци-па универсальности, но его модификации. Дело в том, что фактически недо-определенное правило может рассматриваться как потенциально универсаль-ное, если мы предусматриваем возможность его доопределения в будущем.Принцип потенциальной универсальности позволяет использовать правиласледующим образом: мы задаем область определения для некоторого прави-ла, частично определяем его и имеем в виду перспективу (веер возможно-стей) его доопределения. То есть мы полагаем область возможного определе-ния и более узкую область фактической определенности. В этом состоитпроективная трактовка правила и, соответственно, значения, которую я по-пытался обосновать в другом месте [4. С. 48-69].Примечание 2. Тезис Крипке о недоопределенности всех правил ложен.В.А. Ладов и В.А. Суровцев попытались опровергнуть его применительно кматематическим операциям; ниже будет показано, что их доказательство не-удовлетворительно, но может быть усовершенствовано. То есть для демонст-рации недоопределенности как универсальной характеристики правил (при-менимой ко всем правилам) Крипке выбрал неудачный пример: пример, ко-торый как раз-таки показывает ее ограниченность. По моему мнению, тезис онедоопределенности потенциально универсальных правил имеет силу толькоприменительно к неформализованным языковым играм (эмпирическому на-учному и повседневному познанию, повседневной коммуникации, законода-тельной практике, философии и т.п.).II. Прямое решение: фальстартПрямым решением Крипке называет опровержение тезиса о недоопреде-ленности, доказательство однозначной определенности правил (или хотя бы1 Выше было отмечено, что ответ на этот вопрос является тривиальным, поскольку зависит толь-ко от определения этих операций.Проблема Крипке и ее прямое решение9одного правила) для всех случаев применения. Применительно к арифмети-ческому примеру Крипке прямое решение состояло бы в таком определениисложения, которое однозначно определяло бы его результат для всех пар чи-сел, даже для таких, которые в истории человечества никто никогда не скла-дывал. Переходя к рассмотрению прямого решения, предложенного В.А. Ла-довым и В.А. Суровцевым [1. C. 45-54; 2. C. 303-306], я сначала хочу устра-нить две неясности в предложенной ими интерпретации «проблемы» Крипке.(1) В интерпретации В.А. Ладова и В.А. Суровцева одним из основанийскепсиса Крипке является размытость области определения этой операции,т.е. неопределенность множества чисел. Авторы пишут:«…само правило сложения оказывается неясным. Ввиду того, что я ус-ваиваю его индуктивно, на конечном количестве примеров, я не могуиметь абсолютно четкого понятия «любое число», а значит, я не могу от-дать себе отчет о той области определения, на которой действует функ-ция сложения» [1. C. 49].По моему мнению, эта интерпретация неверна: определенность множест-ва чисел как области определения операции сложения Крипке принимает какпосылку. Его тезис состоит в том, что результат операции сложения не опре-делен относительно некоторых пар чисел, - но сама дистинкция области, накоторой правило уже определено, и области, на которой оно еще не опреде-лено, предполагает определенность всего числового ряда. Таким образом,неопределенность операции не означает неопределенности области опреде-ления.Впрочем, авторы сами совершенно справедливо отмечают, что эксплика-ция проблемы Крипке предполагает принятие некоторой определенной пред-метной области. Конечно, Крипке делает такого рода допущения, и одно изних - построенный числовой ряд - мы принимаем вслед за ним. Но в светеэтого допущения странно выглядит также следующее утверждение авторов:«Собственно, формулировка скептической проблемы и оказалась стольинтригующей как раз потому, что Крипке утверждал невозможность сле-дования определенному правилу в однозначно определенной заданнойобласти, т.е. в области арифметики» [1. C. 54-55].Принимая определенный числовой ряд и допуская частичную определен-ность операции сложения, Крипке как раз-таки утверждает возможностьследования правилам сложения на заданной области ее применимости. Про-сто Крипке различает область (потенциального) определения и область (фак-туальной) определенности. Например84, для сложения1 это, соответственно,множество всех чисел (для любой пары чисел сложение можно определить)и множество натуральных чисел меньших чем 57 (для этих чисел оно ужефактуально определено).Примечание. Как было отмечено выше, скепсис Крипке претендует наобщезначимость, т.е. относится к любой языковой игре: не только к арифме-тическим операциям, но и к исходному определению системы чисел. В этомсмысле авторы вполне правомерно тематизировали возможность проблема-тизировать построение системы чисел в перспективе Крипке. Этот вопрос язатрону в последней части статьи.Е.В. Борисов10Как бы то ни было, исходный пункт рассуждений Крипке (и, как я думаю,Витгенштейна), определен в этом пассаже вполне корректно: это индуктив-ный характер обучения правилу, т.е. тот факт, что освоение универсального(применимого к бесконечному числу случаев) правила в процессе обучениябазируется на конечном числе примеров, что оставляет простор для многооб-разия возможных способов применения правила за пределами сферы освоен-ных случаев.(2) Рассматривая соотношение правил, которые мы считаем стандартны-ми, и их экзотических модификаций (сложения и квожения), авторы пишут:«В итоге мы можем констатировать наличие весьма странной ситуации.Те самые столь эпатажные примеры Крипке с дефект-правилами, кото-рые, собственно, и принесли столь широкую известность его интерпрета-ции Витгенштейна ввиду ее оригинальности и необычности, на самом де-ле оборачиваются лишь красочными риторическими фигурами, присутст-вие которых вовсе необязательно для формулировки скептического со-мнения относительно следования правилу. Главным аргументом скептикадолжен выступать факт неясности стандарт-правила, а не наличие де-фект-правила квожения» [1. C. 50].Если я правильно понял, в этом рассуждении авторы утверждают, что те-матизация возможных дефект-правил и тематизация неясности стандарт-правил - это не одно и то же. Этот тезис кажется мне очевидно неверным.Дело в том, что Крипке вводит операцию «квожения» не как некоторую де-виантную альтернативу сложению, но только для того, чтобы показать недо-определенность сложения. Как было показано выше, равенства «68 + 57 == 125» и «68  57 = 5» рассматриваются у Крипке как две возможности дооп-ределения операции сложения. То есть если мы доопределим эту операциюобоими способами, то мы получим две операции, которым Крипке дает имена«сложение» (строго говоря, «сложение2») и «квожение». Поэтому мне кажут-ся неудачными и термины «стандарт-правило» и «дефект-правило»: то, чтоавторы обозначают этими терминами, представляет собой просто альтерна-тивные возможности доопределения правила - возможности, которые самипо себе не явлтся ни стандартными, ни дефективными. О стандартностиили дефектности естественно говорить только применительно к практикеследования правилу, т.е. решение задачи на сложение чисел может бытьстандартным (2 + 2 = 4) и дефектным (2 + 2 = 15,83), проще говоря, правиль-ным или неправильным, - и только на области определенности правила.Я вполне согласен с авторами в том, что «для формулировки скептиче-ского сомнения относительно следования правилу» достаточно эксплициро-вать «неясность» относительно «стандарт-правила» (эту неясность лучшеназвать недоопределенностью), т.е. что понятие «дефект-правила» для этогоне требуется. Однако не согласен с тем, будто у Крипке (или Витгенштейна)это понятие есть. Как Витгенштейн (в примере с арифметической прогресси-ей из § 185 «Философских исследований» [5. C. 156]), так и Крипке поступа-ют в полном соответствии с рекомендациями авторов.Итак, устранив некоторые дефект-интерпретации и зафиксировав продук-тивные моменты экспликации проблемы у В.А. Ладова и В.А. СуровцеваПроблема Крипке и ее прямое решение11(диссонанс между притязанием правила на универсальность и ограниченно-стью множества фактуальных случаев его применения как причину всех бедскептика), мы можем теперь перейти к критике предложенного ими прямогорешения.Основанием прямого решения авторы считают метод математической ин-дукции. В самом деле: если мы принимаем множество чисел, построенное всоответствии с аксиомами Пеано, то математическая индукция позволяет до-казывать некоторые утверждения, содержащие переменную n, пробегающуюпо множеству натуральных чисел, для любого значения (собственно, матема-тическая индукция и является одной из этих аксиом). Как было отмеченовыше, ряд натуральных чисел используется в аргументации Крипке в качест-ве исходного допущения, и, я думаю, мы можем допустить, что этот ряд по-строен в соответствии с аксиомами Пеано. Поэтому прямое решение приме-нительно к любой арифметической операции было бы весомым аргументомпротив универсализации его скепсиса. Авторы описывают ход индуктивногодоказательства следующим образом:«Например, применяя метод математической индукции, мы можем ут-верждать, что выражения 12 + 22 + 32 + … + n2 и n(n + 1)(2n + 1)/6 равныпри любых значениях n. Во-первых, показывается, что данное равенствовыполняется при n = 1. Во-вторых, предполагается, что данное равенствовыполняется при n = k, и доказывается, что оно будет выполняться дляn = k + 1… И наконец, последний шаг представляет собой введение суж-дения с квантором всеобщности… Так мы с полной уверенностью проду-цируем суждение о каком угодно большом n, для которого данное равен-ство всегда будет выполняться» [1. C. 50-51].На мой взгляд, Крипке может выдвинуть против этого рассуждения до-вольно очевидный контраргумент. Вспомним его исходные допущения:1) Операция сложения фактуально (конвенционально) определена длявсех пар чисел, меньших чем 57, и только для них.2) Любое дефиниторное определение сводится к фактуальному.Ошибочность второго допущения будет показана ниже: сейчас мы егопросто принимаем, чтобы проверить эффективность предложенного прямогорешения. Модифицируем первое допущение так, чтобы оно было приложимок приведенному авторами примеру, в котором используется не только сложе-ние, но и умножение, возведение в степень, и деление.1) Операции сложения, умножения, деления и возведения в степень фак-туально определены для всех натуральных чисел n < 57 и не имеют факту-ального определения для всех чисел n ≥ 57.Теперь рассмотрим в перспективе Крипке, т.е. в свете допущений (1) и(2), индуктивное доказательство равенства12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.Как справедливо пишут авторы, на первом шаге это равенство доказыва-ется для n = 1 посредством тривиального вычисления. Здесь вопросов не воз-никает. На втором шаге «предполагается, что данное равенство выполняетсяпри n = k, и доказывается, что оно будет выполняться для n = k + 1». ЗдесьЕ.В. Борисов12допущение (1) позволяет Крипке выдвинуть возражение. Рассмотрим левуючасть данного равенства, т.е. суммуSm(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2.Она фактуально определена для n ≤ 6, но уже для n = 7 она не определена!В самом деле, S(6) = 91; в этом можно легко убедиться посредством простоговычисления:1+4 = 5;5 + 9 = 14;14 + 16 = 30;30 + 25 = 55;55 + 36 = 91.На каждом шаге этого вычисления мы возводили в квадрат и складываличисла, не превышающие 57, поэтому его итог определен однозначно. Однакопри вычислении Sm(7) нам пришлось бы суммировать числа 91 и 49, одно изкоторых больше 57. Соответственно, по допущению (1), здесь возможныразные результаты, зависящие от того, как нам заблагорассудится доопреде-лить операцию сложения. При значении правой части равенства n(n + 1)(2n ++ 1)/6 будет зависеть от того, как мы доопределим операции умножения иделения для чисел больше 57. Стало быть, мы можем доопределить эти опе-рации так, что для n=7 равенство не будет выполняться.Таким образом, тезис Крипке о недоопределенности арифметическихопераций опровергает приведенное авторами доказательство. Нетрудно ви-деть, что фактор недоопределенности ограничивает применимость математи-ческой индукции областями определения соответствующих операций, и по-скольку эти области, по Крипке, ограничены всегда, то пятая аксиома Пеано(метод математической индукции) при данном подходе в принципе не можетприменяться для доказательства универсальных утверждений. Хотя, конечно,она может быть принята при построении системы чисел и, соответственно,может использоваться для доказательства утверждений, ограниченных облас-тями фактуальной определенности соответствующих функций.III. Прямое решение: финишИ все же прямое решение применительно к операции сложения возмож-но, причем на том самом пути, который наметили В.А. Ладов и В.А. Суров-цев, но по которому не дошли до конца: в опоре на аксиоматику Пеано. Тезиссостоит в том, что эта аксиоматика позволяет дать универсальное и потомуне-фактуальное (независимое от эмпирического опыта) определение сложе-ния - описание алгоритма вычисления суммы для любой пары чисел.Пеано строит ряд натуральных чисел с помощью формального понятия«следующее за». Будем обозначать отношение следования за… знаком «S», ачисло, следующее за x, - знаком «S(x)». Будем использовать следующие ак-сиомы:х + 0 = х;x + S(y) = S(x + y).Проблема Крипке и ее прямое решение13Определения : 1 =def S(0); 2 = def S(1) = S(S(0)) и т.д.Тогда:x + 1 = S(x + 0) = S(x);x + 2 = x + S(1) = S(x+1) = S(S(x)) и т.д.Поскольку аксиоматика Пеано определяет ряд натуральных чисел как ли-нейный, т.е. исключает возможность его разветвления, постольку для каждо-го x следующее за ним число S(x) определено однозначно. Но это значит, чтодля каждого x однозначно определена сумма x + 1 = S(x)1. Если, далее, длякаждого x однозначно определено S(x), то равным образом для каждого x од-нозначно определено S(S(x)), т.е. x + 2. Теперь нетрудно, хотя несколько хло-потно, для каждого x однозначно определить x + 68. Итак, приведенное опре-деление сложения определяет результат его применения к любой паре чисел:даже таких, которые в истории человечества еще никто никогда не суммиро-вал. Иначе говоря, оно является универсальным дефиниторным правилом,которое, если оно освоено учеником, делает ненужными специальные кон-венции по каждой отдельной паре чисел, равно как наблюдение за речевымповедением учителя (сообщества) и т.п., - словом, устраняет из понятия сло-жения всякую фактуальность и, следовательно, ограниченность2.IV. Крипке reloaded?Наметив путь прямого решения проблемы и слегка на нем заблудившись,В.А. Ладов и В.А. Суровцев затем усиливают аргументацию крипкеанскогоскептика, причем настолько, что им приходится сдать позиции:«Скептик может поставить под сомнение однозначность понятий, входя-щих в аксиоматику Пеано. Например, скептик может усомниться в ясно-сти понятия «следующее за»… А что если понятие «следующее за» будетпроинтерпретировано так, что оно подразумевает число, вслед за ним яб-локо, а потом снова число?» [1. C. 52].В результате авторы сокрушенно констатируют:«Нам ничего не остается, как признать весомость данного скептическогоаргумента. Мы в самом деле можем усомниться в ясности понятий, со-ставляющих аксиоматику Пеано, а потому и в однозначности построения1 Собственно, на этом можно было бы закончить наше рассуждение, потому что мы уже доказа-ли, что если мы принимаем построение ряда натуральных чисел по Пеано, то некоторая операция, аименно операция «+1», уже определена на всем множестве чисел. То есть тезис Крипке о недоопреде-ленности всех операций уже опровергнут.2 Впрочем, для опровержения тезиса Крипке о недоопределенности сложения достаточно сле-дующего наблюдения: при сложении в столбик мы опираемся на определенный алгоритм, а не наконвенции или факты речевого поведения (своего, наших учителей и т.п.).Предположим, что задача «x + y = ?» является для меня новой, т.е. я сам никогда не складывалчисла x и y и не наблюдал, как их складывают другие. Концепция Крипке гласит, что, столкнувшись сэтой задачей, я либо остановлюсь в полном недоумении, либо попытаюсь узнать, как эту сумму чело-вечество уже определило, либо попытаюсь произвольно (актом свободной творческой воли) опреде-лить ее сам. Этот тезис выглядит убедительно в отношении к неформализованным дискурсам, ноприменительно к арифметике он чересчур контринтуитивен: очевидно, я воспользуюсь алгоритмомсложения в столбик и, если буду достаточно внимателен, получу результат, с которым затем согла-сятся все достаточно внимательные эксперты и арифмометры.Е.В. Борисов14натурального ряда. В этом смысле скепсис Витгенштейна - Крипке неис-кореним» [1. C. 52].Я думаю, что этот аргумент вовсе не так силен, как показалось его авто-рам. Дело в том, что отношение «следования за» (с соответствующими огра-ничениями, например, исключающими разветвления ряда) является сугубоформальным, т.е. такие дистинкции, как «число/яблоко» здесь несуществен-ны. Даже если нам будет угодно дать этому ряду семантическую интерпрета-цию и включить в него яблоко между 2 и 4, то это самое яблоко будет опре-делено как S(S(S(0))), и на этом основании сможет полноценно участвовать варифметических операциях: яблоко + 5 = 8; 1 + 2 = яблоко и т.п. Проще гово-ря, неважно, что представляют собой элементы числового ряда (неважно,сочное наше яблоко или не очень); важно только формальное отношение ме-жду ними и его арифметические следствия. Созданный авторами сверх-Крипке страшен только на вид.Конечно, можно попытаться релятивизировать и формальную структурунатурального ряда, т.е. такие термины, как «следование за», равенство и т.п.Иначе говоря, можно применить крипкеанскую аргументацию к процедурепостроения числового ряда, которая является предпосылкой и основанием опе-рации сложения. Однако это был бы лишний ход: согласно Крипке, правилонедоопределенно не потому, что недоопределенны его основания (в случаеарифметики таким основанием является построенный числовой ряд), но пото-му, что - даже при полностью определенных основаниях - ограничена факту-альная сфера его применения. Аргумент от бесконечности цепи интерпретацийправила может быть отдельным предметом рассмотрения, но важно отличатьего от крипкеанского аргумента от ограниченности фактуального определения.P.S. Итак, тезис о недоопределенности правил формализованных языко-вых игр опровергнут. Что же касается тезиса о недоопределенности правилвсех неформализованных языковых игр, то В.А. Ладов считает его источни-ком фатальной онтологической апории, которую он эксплицирует посредст-вом аргумента от автореферентности: 1) концепция недоопределенности яв-ляется неформальным дискурсом, следовательно, 2) если она верна, то ееправила (и значения ее терминов) недоопределенны, следовательно, 3) онасама не вполне осознает, что говорит [2. C. 306-309]. На устранение этой апо-рии нацелено предложенное им «умеренное» решение (псевдо)проблемыКрипке. Это решение станет предметом обсуждения в отдельной статье, ко-торая выйдет в одном из следующих выпусков журнала.

Скачать электронную версию публикации