B. RUSSELL ON THE INFINITY.pdf Характерной особенностью логистической системы Principia Mathematica(PM) А. Уайтхеда и Б. Рассела является наличие в ней аксиомы бесконечно-сти (АБ), которая утверждает, что любому индуктивному кардиналу n соот-ветствует класс, содержащий n членов, где под индуктивными кардиналамипонимаются все числа натурального ряда, являющиеся последующими эле-ментами 0, и каждый последующий индуктивный кардинал получается при-бавлением 1 к предыдущему индуктивному кардиналу [1. С. 223-226]. Из АБ,в частности, следует, что общее число членов, образующих классы, превос-ходит любой индуктивный кардинал, поскольку для любого заданного ин-дуктивного кардинального числа n можно получить индуктивный кардиналn+1, а значит, существует класс с n+1 членами и число членов не может огра-ничиваться n. Таким образом, АБ утверждает, что имеется по крайней мерестолько же элементов, являющихся членами классов, сколько имеется чиселв натуральном ряду, а именно, ℵ0, т.е. общее число таких элементов само неявляется индуктивным кардиналом.Введение этой аксиомы мотивировано некоторыми особенностями, при-нимаемыми в PM определением кардинальных чисел и аксиоматизациейарифметики, предложенной Дж. Пеано. Согласно определению кардиналь-ных чисел, каждое из них представляет собой класс всех подобных классов,т.е. таких классов, члены которых находятся во взаимно-однозначном соот-ветствии, или равночисленных классов [1. С. 57]. Если взять индуктивныекардиналы, то, в частности, 0 определяется как класс всех классов, подобных∅, а индуктивный кардинал k (где k > 0) есть класс всех таких классов, кото-рые содержат ровно k членов, которые также можно поставить во взаимно-однозначное соответствие. При этом понятие подобия (равночисленности1 Исследование выполнено в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инноваци-онной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № 02.740.11.0362.В.А. Суровцев136или взаимно-однозначного соответствия) более фундаментально, чем поня-тие кардинального числа, поскольку подобие можно установить, не обраща-ясь к понятию числа (т.е. к вопросу «сколько?»). Так, всегда можно решитьвопрос, равночисленны ли классы {a, b, c …} и {a, b, c …} или же нет, по-ставив их во взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, понятиеклассов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии, более фунда-ментально, чем понятие числа. Наоборот, понятие числа производно от поня-тия равночисленных классов.Обратимся к индуктивным кардинальным числам. Представим, что чле-ны, входящие в классы, ограничены, например, количеством m. Тогда, индук-тивные кардинальные числа также ограничены, поскольку максимальныйиндуктивный кардинал будет определяться как класс всех m-равночисленныхклассов. Если же взять любой индуктивный кардинал n больший m (т.е. n >> m), то он будет равен 0, поскольку нет никаких классов, классом классовкоторых он бы являлся. Это означает, что при ограниченности членов, кото-рые могут составлять классы, ограничены также и индуктивные кардиналы.Если количество членов, которые могут составлять классы, ограничены m,равными 0 становятся n, n+1, n+1+1 и т.д. (где n = m+1, n+1 = m+1+1 и т.д.).То есть любое построение, основанное на принципе индукции, становитсябессмысленным.Однако такое представление противоречит аксиоматизации арифметики,предложенной Дж. Пеано. Согласно этой аксиоматизации два различных ин-дуктивных кардинала не могут иметь один и тот же последующий элемент,т.е. если m+1 = n+1, то m = n. Но при ограничении количества членов, обра-зующих классы, как раз и получается ситуация, при которой это условие невыполняется. Действительно, если количество членов класса ограничено m,то m+1, а также и n+1 (при любом n, которое больше m) будет равно 0. А от-сюда не будут выполняться интуитивно очевидные арифметические опера-ции с индуктивными кардиналами, вытекающими из аксиоматики Дж. Пеано,вроде сложения, поскольку тогда m+1 = n+1 (при любом m > 0, m ≠ n и n > m).Таким образом, предположение об ограниченности количества членов,образующих классы, приводит к тому, что обычная арифметика оказываетсяневозможной в том смысле, что обычные операции не приводят к ожидаемо-му результату, поскольку, например, любое сложение m + n должно приво-дить к 0, если индуктивные кардиналы m или n превосходят количествоимеющихся членов возможных классов. Поэтому если мы принимаем обыч-ные арифметические операции, необходимо принять и АБ, а вместе с ней инеобходимость принять бесконечность членов, из которых могут быть обра-зованы классы.АБ вводит в математику идею бесконечности, и против этого нечего воз-разить. Действительно, без предположения бесконечности была бы невоз-можна математика в том виде, в котором она принимается в системе РМ. Ма-тематика без идеи бесконечности ничего не стоит, и АБ должна восполнитьто, чего ей бы недоставало. Но приведённые выше аргументы ограничивают-ся лишь формальной стороной, формальной в том смысле, что без АБ былибы невозможны многие построения РМ. Иначе зачем было бы принимать её вкачестве аксиомы? Однако то, как введение этой аксиомы в ряде случаев ин-Б. Рассел о бесконечности137терпретирует Б. Рассел, порождает некоторые содержательные проблемы,касающиеся как её понимания, так и её формулировки. Эти проблемы затра-гивают два типа вопросов. Первый из них касается самой идеи бесконечно-сти, второй - характера аксиомы, посредством которой она вводится. Вопро-сы первого типа сводятся к следующему:1. Разве идею бесконечности нельзя ввести, основываясь на априорныхоснованиях, доказывая её необходимость на базе более фундаментальных,исходных понятий? В этом случае идея бесконечности оказалась бы произ-водной и, следовательно, не требовала бы особого, принимаемого без доказа-тельств положения. И здесь возможны два варианта:1(а). Выводима ли эта идея сугубо аналитически, т.е. является ли онапроизводной таких понятий, необходимость gn.com/которых обоснована через законнедопущения противоречия?Или же1(b). Эта идея основана на содержании понятий, представляющихся са-моочевидными и, следовательно, идею бесконечности можно основать напринципах, доказательность которых должна казаться столь же очевидной,как и очевидность содержания самих этих исходных понятий?2. Если идею бесконечности нельзя обосновать априорно, быть может, еёможно обосновать a posteriori, основываясь на опыте? В этом случае содер-жание мира должно было бы показать, что идея бесконечности есть следст-вие здравого смысла, основанного на восприятии и индукции.Второй тип вопросов касается природы утверждения, т.е. АБ, посредст-вом которого вводится бесконечность.3. Если идею бесконечности нельзя обосновать, то что представляет со-бой принимаемое без доказательства утверждение о её существовании? При-нимается ли АБ в силу своего содержания, т.е. именно её содержание служитоснованием выводимых из неё следствий, или же основанием служит её фор-ма, согласно которой АБ можно классифицировать как предложение логики,т.е. предложение, принимаемое просто в силу формы, которую, в конечномсчёте, обнаруживает совокупность предложений независимо от своего со-держания? Должны ли мы принимать АБ как утверждение о содержании мираили же как утверждение о структуре описания, в которой мир может бытьпредставлен? Должна ли АБ рассматриваться как истина априорная и логиче-ская или же как апостериорная и эмпирическая?Обращаясь к вопросам первого типа, предполагающим аналитическийхарактер идеи бесконечности, прежде всего, стоит указать на аргументацию,производную от способа введения чисел, предложенного Г. Фреге [2], от ко-торой в определённой степени зависит способ введения числа в системе РМ.В данном случае число предлагается рассматривать как общее свойство произ-вольных классов (при этом само данное общее свойство задаёт класс), междучленами которых можно установить взаимно-однозначное соответствие. Так,если имеется класс {a, b, c …} и класс {α, β, γ …}, где a, b, c, … α, β, γ … -элементы произвольной природы, то эти классы имеют одно и то же число,если мы можем взаимно-однозначно сопоставить их члены, скажем так: a с α,b с β , c с γ и т.д., и при этом не окажется таких элементов из одного из этихклассов, который не был бы сопоставлен одному и только одному из элемен-В.А. Суровцев138тов другого из этих классов. Этот подход нетрудно распространить на классысо сколь угодно большим количеством элементов.Этот подход ещё не даёт понятия конкретных чисел, он даёт только поня-тие равночисленности классов. Для того чтобы получить понятия конкретныхчисел, нужно указать способ установления равночисленности. Для этого не-обходимо выделить некоторый класс, равночисленность с которым, т.е. вза-имно-однозначное соответствие с его элементами элементов другого класса,будет давать один и тот же результат. Такой класс нетрудно найти для 0.Этот класс должен содержать пустое множество членов, т.е. ∅, и его можнозадать посредством функции x ≠ x, поскольку элементов, выполняющих дан-ную функцию, нет. Далее, раз у нас есть ∅, мы можем образовать класс, со-стоящий из этого элемента, т.е. {∅}, и этот класс задаёт число, которое соот-ветствует всем тем классам, которые ему равночисленны, а именно число 1.Из уже имеющихся элементов ∅ и {∅} образуется следующий класс: {∅,{∅}}, где помимо ∅ в качестве члена содержится класс, образованный из ∅,т.е. {∅}, а класс всех тех классов, которые находятся с {∅, {∅}}, во взаимно-однозначном соответствии образует число 2. Этот процесс нетрудно продол-жить, и в результате мы получаем ряд классов классов, находящихся во вза-имно-однозначном соответствии с ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ...и т.д. Таким образом, мы получаем ряд натуральных чисел, возрастающихбесконечно вместе с возрастанием классов, поскольку каждое предшествую-щее кардинальное число содержится в каждом последующем в качестве под-класса. При таком построении класс всех натуральных чисел был бы равенℵ0 и АБ не понадобилась бы.Кроме того, аргументация первого типа, предполагающая аналитическийхарактер идеи бесконечности, может основываться на известной теоремеГ. Кантора, согласно которой если задан класс с n членами, то можно образо-вать класс подклассов заданного класса, членов которого будет 2n, что боль-ше членов, содержащихся в n. Например, пусть изначальный класс будетпустым, т.е. ∅, тогда членов класса, образованного из исходного, будет 1,поскольку 20 будет 1, а именно {∅}. Далее, пусть n = 1, тогда 21 будет 2, аименно {∅,{∅}}. Затем, если n = 2, то {∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}, и т.д. Клас-сы, полученные таким образом, можно объединять, при этом, в силу свойствоперации объединения, лишние члены объединения будут сокращаться, иобъединением подобных классов можно получать класс членов, с которымнекоторые классы будут находиться во взаимно-однозначном соответствии.Поскольку n - произвольно, произвольно и 2n, и, таким образом, можно по-лучать любые равночисленные классы. Если же классы равночисленныхклассов мы определяем как натуральные числа, то мы получаем и все нату-ральные числа. И класс всех этих классов был бы также равен ℵ0 и АБ не по-надобилась бы.Несмотря на привлекательность подобных способов введения идеи бес-конечности в формальную структуру, основанных исключительно на анали-тических методах, они тем не менее не обоснованы, поскольку содержат про-тиворечия. Одно из таких противоречий обнаружил уже сам Г. Кантор. Этопротиворечие касается класса всех классов. Пусть таким классом будет ℑ.Б. Рассел о бесконечности139Согласно вышеуказанной теореме, этот класс будет содержать такое количе-ство членов, которое должно превосходить любое количество членов у со-держащихся в нём элементов. Но согласно этой же теореме класс 2ℑ будетсодержать членов больше чем ℑ. Однако согласно определению ℑ как классавсех классов ℑ содержит класс с 2ℑ членами в качестве элемента.Исследуя возможность решения данной проблемы, Рассел обнаружил ещёодно противоречие, так называемый парадокс Рассела, который более фун-даментален, поскольку не зависит от теоремы Кантора [3]. Парадокс Кантораполучается постольку, поскольку предполагается, что класс ℑ содержит классс 2ℑ членами в качестве элемента. Но предположим более общую ситуацию.Для начала разделим все классы на те, которые содержат сами себя в качест-ве членов, и те, которые не содержат сами себя в качестве членов. Пусть те-перь ℑ будет классом всех тех классов, которые не содержат сами себя в ка-честве членов. Тогда ответ на вопрос о том, к каким классам, к тем, которыесодержат сами себя в качестве членов, или к тем, которые не содержат самисебя в качестве членов, относится сам класс ℑ, в любом случае приводит кпротиворечию.Выход из сложившейся ситуации Рассел находит в разработанной импростой теории типов [3]. В терминах классов простую теорию типов можноописать следующим образом. Типы образуют иерархическую систему логи-ческих элементов, в которой необходимо строго различать классы и то, чтоих образует. Элементы класса всегда относятся к типу низшему, чем самкласс. Так, если α, β, γ относятся к типу n, то образованные из них классы{α}, {α, β}, {β, γ}, {α, β, γ} и т.д. относятся к типу n+1. Низшим типом логи-ческих элементов Рассел считает индивиды, понимаемые как единичные, са-мостоятельно существующие предметы. Следующий логический тип образу-ют классы, составленные из индивидов; затем идут классы, образованные изклассов, составленных из индивидов, и т.д. Пусть a, b, c … - индивиды, отно-сящиеся к типу 1, тогда классы {a}, {a, b}, {a, b, c} … образуют второй тип,классы {{a}}, {{a}, {b, c}, {{a}, {b, c}},{a, b, c}}} - третий тип и т.д. Приэтом следует отметить, что само понятие индивидов не обязательно специ-фицировать относительно принимаемой онтологии, оно может быть ограни-чено лишь тем, что индивиды образуют первый тип в иерархии.Рассел формулирует следующее ограничение на образование подобныхтипов: в рамках одного типа нельзя образовывать классы, которые состоят изчленов, относящихся к разным типам. С этой точки зрения незаконными об-разованиями являются конструкции вида {a, {a}}, {а, {a}, {a, {a}}} и т.п.Простая теория типов блокирует вышеуказанные парадоксы, рассматриваяконструкции, на которых они основаны, как бессмысленные образования1. Но1 Заметим, что подобный подход характеризует только теорию типов Рассела и производные отнеё теоретико-типовые подходы. Аксиоматическая теория множеств в форме Цермело-Френкеля илифон Неймана принимает подобный способ построения бесконечности в виде аксиомы, предполагая,что построение бесконечности должно зависеть не от способов построения, но от ограничений, докоторых эти способы могут дойти. Поэтому введение идеи бесконечности в форме модифицирован-ной аксиомы, основанной на подходе Фреге, дополняется ограничивающими аксиомами на построе-ние множеств [4]. Так, одна из версий аксиомы бесконечности прямо вводит способ построения бес-В.А. Суровцев140здесь возникают новые проблемы. Если конструкции вида {a, {a}}, {а, {a},{a, {a}}} бессмысленны, тогда можно ли вообще ввести идею бесконечностина чисто логических основаниях?Типы всё-таки можно образовать. И если есть n элементов типа m, из нихможно образовать классы, относящиеся к типу m+1. Так, из класса {α, β, γ}типа m можно образовать классы типа m+1 следующего вида: {{α}, {β}, {γ},{α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}} и т.п., которые будут содержать больше чле-нов, чем исходный класс. И все индуктивные кардинальные числа посредст-вом определения через взаимно-однозначное соответствие можно ввести, таккак классы, относящиеся к различным типам, можно уравнять. Так, напри-мер, во взаимно-однозначном соответствии находятся класс, состоящий изодного элемента, и класс, состоящий из одного этого класса (т.е. класс {α} икласс {{α}}). Поэтому если есть хоть один элемент, можно получить опреде-ление 1 для любого типа1. Отталкиваясь от такого подхода, можно получитьопределение числа для наибольшего типа и применить его к типам, идущим виерархии типов ниже. Однако поскольку все такие классы будут конечными,пусть и сколько угодно большими, так как из конечного количества членовможно образовать только конечное количество содержащих их классов, этиклассы не дадут бесконечного числа. И их невозможно объединить, чтобыполучить ℵ0, поскольку это противоречит теории типов, т.е. они будут даватьтолько индуктивное кардинальное число. Как утверждает Рассел: «Иерархиятипов имеет важные следствия в отношении сложения. Предположим, у насесть класс из α членов и класс из β членов, где α и β являются кардинальны-ми числами; может случиться так, что их совершенно невозможно объеди-нить, чтобы получить класс, состоящий из членов α и из членов β, посколькуесли классы не относятся к одному и тому же типу, их логическая сумма бес-смысленна. Только там, где рассматриваемое число классов конечно, мы мо-жем устранить практические следствия этого благодаря тому факту, что мывсегда можем применить к классу, который увеличивает свой тип до любойтребуемой степени без изменения своего кардинального числа… Следова-тельно, для любого конечного числа классов различных типов мы можемувеличить все их до типа, который мы можем назвать наименьшим общиммножителем всех рассматриваемых типов; и можно показать, что это можетбыть сделано таким способом, что результирующие классы не будут иметьобщих элементов. Затем мы можем образовать логическую сумму всех полу-ченных таким образом классов, и её кардинальное число будет арифметиче-ской суммой кардинальных чисел изначальных классов. Но там, где у насесть бесконечные последовательности классов восходящих типов, этот методприменить нельзя. По этой причине мы не можем доказать, что должны бытьбесконечные классы. Ибо предположим, что было бы вообще только n инди-конечности по Фреге, но аксиома об образовании множеств вводит ограничения на образования такихмножеств, которые приводят к противоречиям типа Кантора и Рассела [5].1 Следует отметить, что здесь возникает ещё одна предпосылка, утверждающая, что должныбыть члены, образующие классы (хотя бы один такой член). Рассел принимает эту предпосылку вформе ∃x(x=x), что предполагает существование хотя бы одного элемента, из которого можно образо-вать класс. Но эта предпосылка составляет особую проблему, связанную с тождеством (см. [6]).Б. Рассел о бесконечности141видов, где n - конечно. Тогда было бы 2n классов индивидов, 22n классовклассов индивидов и т.д. Таким образом, кардинальное число членов каждоготипа было бы конечно; и хотя эти числа превосходили бы любое заданноеконечное число, не было бы способа сложить их так, чтобы получить беско-нечное число» [7. 60].Таким образом, получается, что, принимая теорию типов, сугубо с помо-щью логики дойти до ℵ0 нельзя, т.е. идею бесконечности чисто аналитическиввести невозможно. На поставленный выше вопрос 1(а) ответ - отрица-тельный.Обратимся к вопросу 1(b). Попытку подобного введения идеи бесконеч-ности Рассел находит в диалоге «Парменид» Платона. Аргументация Платонасводится к следующему. Если имеется число 1, то оно имеет бытие. Но бытиеи 1 не тождественны. Поэтому бытие и 1 образуют 2. Так как 1 и 2 не тожде-ственны, то они образуют 3, и т.д. ad infinitum. Рассел считает это доказатель-ство неверным по двум причинам. Во-первых, потому, что «бытие не естьтермин, имеющий некоторое определённое значение» [8. С. 170]. Возможно,это связано с тем, что различать вещь и её бытие имело бы смысл, если быбытие являлось свойством, выражаемым предикатом. Но для Рассела идеябытия исчерпывается логическим квантором существования, который не обо-значает реальное свойство, но указывает на область пробега переменной1. И,во-вторых, даже если бы термину бытие и удалось придать определённоезначение и рассматривать бытие как свойство, то это не имело бы значениядля чисел. Связано это с тем, что Рассел считает числа логическими фикция-ми, и даже не просто фикциями, а, так сказать, фикциями второго порядка.Связано это с принимаемым Расселом определением числа. Как указывалосьвыше, понятие числа производно от понятия класса, число является классомвсех равночисленных классов. Но классы не имеют реального существова-ния. С точки зрения Рассела реальны лишь индивиды, т.е. единичные, само-стоятельно существующие или субсистентные вещи. Так, Сократ - это ин-дивид, субсистентная вещь, тогда как класс философов не индивид, т.е. неявляется самостоятельной вещью. Классы задаются как область определенияпропозициональной функции, областью значения которой являются истина иложь. Так, класс философов образуют те индивиды, которые при подстановкена место индивидной переменной в функцию Философ(х) дают истину (т.е.{Сократ, Платон, Аристотель …}). Но сам класс {Сократ, Платон, Ари-стотель…} является фикцией.Второй аргумент подобного вида связан с понятием рефлексивных клас-сов. Рефлексивные классы Рассел определяет как классы, равночисленныенекоторым своим подклассам. Свойством рефлексивности обладают толькоклассы с бесконечным количеством членов. Действительно, возьмём любойконечный класс с n членами, тогда любой его подкласс, кроме самого этогокласса, будет содержать количество членов меньше чем n. Это вытекает изопределения понятия индуктивного кардинального числа, поскольку каждыйпоследующий индуктивный кардинал больше предшествующего, а все под-1 Кроме того, отметим, что 1 всё-таки должно быть, а это приводит к проблеме с тождеством.См. предыдущее примечание.В.А. Суровцев142классы класса с заданным индуктивным кардиналом имеют предшествую-щий индуктивный кардинал. Однако не так дело обстоит с бесконечнымиклассами. Например, согласно доказательству Г. Кантора, класс рациональ-ных чисел равночислен классу натуральных чисел, но класс натуральных чи-сел является подклассом класса рациональных чисел. Рассел считает рефлек-сивность отличительным свойством бесконечности [9. С. 357]. Поэтому еслибы удалось доказать существование рефлексивных классов, то тем самымбыло бы обосновано существование бесконечности.Попытку обосновать существование рефлексивных классов Рассел нахо-дит у Б. Больцано и Р. Дедекинда [8. С. 171]. Вкратце эта попытка сводится кследующему. Относительно всех объектов можно образовать идеи этих объ-ектов, но сами идеи объектов также являются объектами. Поэтому класс всехобъектов является рефлексивным, поскольку идеи его объектов сами же яв-ляются его членами. Необоснованность такого введения бесконечности Рас-сел видит, прежде всего, в смутности самого понятия «идея», и неважно, бу-дет ли она пониматься психологически или в стиле Платона. В любом из этихслучаев необходимо приводить дополнительные доказательства, в первомслучае эмпирические, что выходит за рамки априорного доказательства, вовтором случае необходимо принимать сомнительные спекуляции относи-тельно существования мира объективных идей.Но даже если принять идеи, то, как считает Рассел, такой способ введениябесконечности не будет логически сообразным. Так, если мы принимаем тео-рию идей Платона, то должны также принять, что идея либо тождественнатому, идеей чего она является, либо не тождественна, а должна представлятьсобой его описание через указание некоторых свойств. Но тогда первая аль-тернатива исключается, поскольку «для доказательства рефлексивности су-щественным является различие объекта и идеи» [8. С. 172], однако Расселпринимает принцип Лейбница об отождествлении неразличимых (кстати,этот принцип также вызывает ряд затруднений [6. С. 91]), а вторая альтерна-тива исключается, поскольку не выполняется принцип взаимно-однозначногосоответствия, который важен для установления равночисленности классов.Рефлексивные классы именно равночисленны своим подклассам, но посколь-ку идей относительно одного и того же объекта может быть много, то взаим-но-однозначного соответствия установить нельзя.Этот же аргумент касается также идей в психологическом смысле. Какутверждает Рассел: «Если идея интерпретируется психологически, то тутнужно подчеркнуть, что нет никакой определённой психологической сущно-сти, которая могла бы быть названа единственной идеей объекта: имеетсянеисчислимое количество вер и установок, каждая из которых может бытьназвана идеей объекта в том смысле, в котором мы могли бы сказать мояидея Сократа совершенно отлична от вашей, но нет никакой центральнойсущности (за исключением самого Сократа), которая могла бы связать раз-личные идеи о Сократе, и значит, нет никакого одно-однозначного отноше-ния идеи и объекта» [8. С. 172]. То есть любые психологические идеи отно-сительно любых объектов многочисленны, и именно поэтому установитьвзаимно-однозначное соответствие между первыми и вторыми невозможно.А значит, невозможно обосновать идею рефлексивных классов, основанныхБ. Рассел о бесконечности143на понятии взаимно-однозначного соответствия самого класса и некоторыхего подклассов.Таким образом, ответ на вопрос 1(b), если принять точку зрения Рассела,также является отрицательным.На вопрос 2, т.е. на вопрос о возможности апостериорного обоснованияидеи бесконечности с помощью опыта и здравого смысла, лучше всего отри-цательно ответить словами самого Рассела: «Можно было бы подумать,…что эмпирические аргументы, выводимые из пространства и времени, раз-нообразия цветов и прочего, вполне достаточны для доказательства реально-го существования бесконечного числа отдельных вещей. Я в это не верю. Унас нет никаких причин верить… в бесконечность пространства и времени,во всяком случае в смысле, в котором пространство и время являются физи-ческими фактами, а не математическими фикциями… Теория квантов в фи-зике, является она истинной или ложной, иллюстрирует тот факт, что физиканикогда не может привести доказательства непрерывности, хотя вполне воз-можно, что представит опровержение этому… Нет никаких эмпирическихпричин верить в то, что число вещей в мире бесконечно; но так же нет в на-стоящее время эмпирических причин полагать, что их число конечно» [8. С.172]. Бесконечность или конечность мира есть предмет веры, а не рациональ-ного доказательства, основанного на эмпирических фактах, являющихся ос-новой теоретического обобщения.Из отрицательного ответа на вопросы 1 и 2 Рассел делает пафосный, но вобщем-то правильный, согласно его собственным предпосылкам, вывод: «Изтого факта, что бесконечное не является самопротиворечивым, но также и недемонстрируемо логически, мы должны заключить, что ничего не можетбыть известно a priori относительно того, является ли мир конечным илибесконечным. Если принять терминологию Лейбница, то по нашему заклю-чению некоторые из возможных миров конечны, некоторые бесконечны, и унас нет средств узнать, к какому типу относится наш действительный мир.Аксиома бесконечности будет истина в одних возможных мирах и ложна вдругих, и является ли она истинной или ложной в нашем мире, мы сказать неможем» [8. С. 173]. Хотя лучше было бы сказать так: сама по себе идея бес-конечности не является самопротиворечивой, к противоречию приводяттолько попытки априорно доказать необходимость этой идеи. К этому доба-вим, что раз нельзя a priori доказать необходимость этой идеи для действи-тельного мира, то это же самое нельзя доказать и для любого возможногомира.Таким образом, относительно введения идеи бесконечности в формаль-ную структуру Рассел отвергает логические аргументы, поскольку они при-водят к противоречию. Точно так же он отвергает априорные аргументы, ос-нованные на самоочевидности понятий, с помощью которых можно сформу-лировать эту идею. Идею бесконечности, к тому же, нельзя ввести и a posteriori,поскольку ничто в структуре реальности не свидетельствует о её необ-ходимости. То есть попытка ввести идею бесконечности a priori несостоя-тельна, а попытка ввести её a posteriori неубедительна. Следовательно, тре-буется особая аксиома, т.е. АБ. И в структуре рассуждений Рассела АБ зани-мает особое положение. Поскольку бесконечность нельзя обосновать ниВ.А. Суровцев144a priori, ни a posteriori, необходимо принять нечто вроде гипотетическогоимператива. То есть если мы хотим доказать некоторые вещи, то необходимопринять АБ. Для доказательства некоторых пропозиций из РМ утверждение ввиде АБ нужно принимать в качестве гипотезы. Что же представляет собойэта гипотеза? Здесь мы выходим на третий из указанных выше вопросов: Чтопредставляет собой АБ? Принимается ли АБ в силу своего содержания, т.е.именно её содержание служит основанием выводимых из неё следствий, илиже основанием служит её форма, согласно которой АБ можно квалифициро-вать как предложение логики, т.е. предложение, принимаемое просто в силуформы, которую, в конечном счёте, обнаруживает совокупность предложе-ний, независимо от своего содержания? То есть если АБ принимается в силусвоего содержания, то она должна что-то предполагать в структуре мира, ес-ли же она касается сугубо формы наших рассуждений, то она должна так илииначе иметь логический характер, обнаруживаемый структурой наших рас-суждений.Однако в структуре РМ все рассуждения об объектах рассматриваютсякак предположение только для доказательства данного результата, и этопредположение при необходимости может быть отброшено, т.е. не рассмат-риваться как логически необходимое. Так, во всех утверждениях РМ, кото-рые зависят от принятия аксиомы бесконечности, сама эта аксиома рассмат-ривается как гипотеза. В частности, в РМ об аксиоме бесконечности утвер-ждается: «Это предположение будет приводиться в качестве гипотезы тогда,когда это будет уместно. Ясно, что в логике не найдётся ничего из того, что-бы обосновать его истинность или ложность, и что в нём можно лишь леги-тимно быть убеждённым или не быть убеждённым, опираясь на эмпириче-ские основания» [1. C. 225]. Поэтому для любого результата Т, доказательст-во которого требует АБ, в РМ доказывается не сам результат Т, а импликацияАБ ⊃ Т. Поэтому АБ имеет содержательный характер вне зависимости от то-го, как его трактовать (например, если понятие объект трактовать в физиче-ском смысле, то на вопрос об истинности данной аксиомы можно было быответить только с помощью данных физики), и, стало быть, все подобныерезультаты будут выходить за рамки логики [5. С. 202-203]. Таким образом,АБ в системе РМ имеет экстралогический характер, экстралогический в томсмысле, что она нечто утверждает о содержании мира, а не относится кструктуре рассуждений.Таким образом, согласно Расселу, получается, что всякое введение беско-нечности в структуру наших рассуждений предполагает обращение к содер-жанию мира, действительного или возможного. И это предполагается нетолько идеей бесконечности, но и высказыванием, с помощью которого онаможет быть введена. Так мы получаем ответ на вопрос 3. Утверждение о бес-конечности вещей в мире имеет содержательный характер и не может рас-сматриваться как предложение логики.Вывод: Ни в одном из поставленных выше вопросов идея бесконечности,согласно Б. Расселу, не является логической. Предложением логики не явля-ется и высказывание, посредством которой её можно ввести. Стало быть,бесконечность есть содержательная идея, которую невозможно обосноватьa priori.

Скачать электронную версию публикации