Toward an interpretation of Godels incompleteness theorems.pdf Почти общепризнано, что знаменитые теоремы К. Гёделя о неполнотеарифметики [1, 2] свидетельствуют о принципиальной ограниченности мето-да формализации даже в области математического знания. Они рассматрива-ются как решающий аргумент о несостоятельности гильбертовской финити-стской программы [3] обоснования математики (с такой оценкой в свое времябыл согласен и сам Д. Гильберт). Более того, на них основывается вывод опринципиальной неполноте любых более богатых по сравнению с арифмети-кой теорий и в других отраслях знания.Убеждение в сверхзначимости теорем Гёделя о неполноте формальнойарифметики давно вышло за пределы математики и ныне тотально распро-странено на философию, гносеологию [4], социологию [5], юриспуденцию ит.д. и является «почти неисчерпаемым источником интеллектуальных зло-употреблений» [6]. Между тем имеются свидетельства того, что А.Н. Колмо-горов не верил в распространение этих теорем на все известные теории прилюбых их построениях [7]. Я. Хинтикка предложил «независимо-дружественную кванторную логику», в которой теоремы Гёделя не выпол-няются [8]. Да и сам Гёдель вовсе не был убеждён в величии и универсально-сти своих результатов и следующих из них выводов [9]. Не покушаясь насобственно математическую сторону доказательств, а сосредоточившись накритике общепринятого истолкования этих теорем, мы покажем, что их зна-чимость чрезвычайно преувеличена даже в родной для них области логики иматематики.§1. Теоремы Гёделя о неполноте: комментарииПриведём краткое изложение гёделевых доказательств теорем о неполно-те формальной арифметики2.Напомним, что теория называется ω -непротиворечивой, если в ней нидля какой формулы Φ(x) с одной свободной переменной не могут одновре-менно быть доказуемыми формулыΦ(1),Φ(2),…,¬∀xΦ(x).В первой теореме Гёделя о неполноте арифметики утверждается, что еслиформальная арифметика Пеано (PA) ω -непротиворечива, то она неполна2.Более точно, в ней доказывается существование некоторой замкнутой фор-мулы («говорящей» о своей собственной недоказуемости) такой, что ни она,ни ее отрицание не доказуемы в PA (такие формулы называются неразреши-мыми). В соответствии со второй теоремой Гёделя, если PA непротиворечи-ва, то в ней не доказуема формула, выражающая непротиворечивость PA [2.Theorems VI, XI].Вторая теорема обычно доказывается как следствие первой, но при этомей придаётся особый по сравнению с первой статус. Считается, что втораятеорема даёт конкретный пример неразрешимой формулы, и самое главное,что в ней устанавливается фундаментальный факт невозможности доказа-тельства непротиворечивости арифметики средствами самой арифметики:«арифметика не может доказать свою собственную непротиворечивость».Эта широко используемая метафорическая формулировка нуждается впояснении. То, что никакая теория не в состоянии обосновать саму себя, из-вестно с античных времен независимо от теорем Гёделя. Следует понимать,что во второй теореме речь идет лишь о недоказуемости некоторойщая непротиворечивость PA, в ней не доказуема». Рассмотрим вторую тео-рему более внимательно.Доказательства Гёделя основаны на кодировании языка формальнойарифметики и её логики (гёделева нумерация), а также на введённом им по-нятии «определимости» («выразимости»).Определение. Предикат 1 ( , , ) F x … xk , заданный на множестве натураль-ных чисел, называется «определимым» в PA, если в PA найдётся формула1 ( , , ) k Φ x … x , такая что для любого набора натуральных чисел 1 ( , , ) k n…nсправедливы условия:если 1 ( , , ) k F n … n выполняется, то 1 ( , , ) k

Скачать электронную версию публикации