Wall viscosity" of the oscillations of the magnetic fluid in a strong magnetic field.pdf Введение К наиболее известным применениям нанодисперсных магнитных жидкостей (МЖ), ставшим уже «традиционными», относятся магнитожидкостные уплотнения, сепараторы немагнитных материалов, датчики угла наклона и ускорения, наполнители зазоров магнитных головок громкоговорителей [1-5]. В последнее десятилетие все в большей мере привлекают внимание исследователей вопросы использования МЖ для решения специфических задач управляемого магнитным полем демпфирования вибраций [6-8], дозированной подачи малых порций газа в реактор за счет модуляции магнитного поля колеблющимися в МЖ пузырьками воздуха [9, 10]. В работах [11-13] проведены измерения и теоретический анализ колебаний столбика магнитной жидкости, удерживаемой магнитной левитацией в трубке в сильном магнитном поле. Причем в [12, 13] расчеты, проведенные с использованием модели пондеромоторной упругости с введенной поправкой на сопротивление движущейся вязкой жидкости, сравниваются с экспериментальной кривой намагничивания. Однако в теоретической модели в качестве одного из приближений предполагается неизменность вязкости МЖ. Следовательно, открытым остается вопрос о «магнитовязком» эффекте - приращении вязкости в тонком пристеночном слое МЖ при наложении магнитного поля. В сдвиговом потоке на твёрдую частицу действует момент сил, приводящий к её вращению. Магнитное поле ориентирует магнитный момент частицы и при наличии связи между моментом частицы и частицей затрудняет её свободное вращение. Это приводит к локальным градиентам скорости жидкости-основы вблизи частиц и вызывает увеличение эффективной вязкости МЖ [14- 18]. Насыщение так называемой «вращательной» вязкости наступает, когда сильное поле жёстко ориентирует частицы. Для разбавленной МЖ с моночастичной дисперсной фазой при течении в круглом капилляре в насыщающем магнитном поле, перпендикулярном оси капилляра, приращение вязкости, как показано в 16, 17, может составлять , где φ - гидродинамическая концентрация МЖ. Это соотношение получено в предположении модели «жесткого диполя», для которой механизм намагничивания осуществляется за счет броуновского вращательного движения. В распределении частиц в реальной МЖ всегда имеется доля относительно мелких магнитных наночастиц (≤ 5-7 нм), для которых справедлив неелевский (внутричастичный) механизм перемагничивания. Присутствие таких частиц приводит к уменьшению значения ∆η. Теоретическое обоснование различных моделей намагничивания в образовании магнитовязкого эффекта дается в работе [18]. Фактическое приращение вязкости в сильных магнитных полях для магнетитового образца с объемной концентрацией 0.19-0.24 при пуазейлевском течении по капилляру в перпендикулярном магнитном поле составляет 5-6 % [19]. Однако в связи с отсутствием сведений по распределению наночастиц в этой работе к приведенному численному значению приращения вязкости следует относиться как к достаточно условному. В настоящее время известные экспериментальные данные, содержащие комплексные результаты по измерениям частоты упругих колебаний столбика магнитной жидкости в сильном магнитном поле и намагниченности насыщения, интерпретируются на основе предположения об отсутствии зависимости такого рода. Отсутствие информации по «магнитовязкому» эффекту не позволяет получить достаточно полную картину о физических механизмах колебательного движения магнитожидкостных активных элементов в различных технических устройствах и затрудняет привлечение приобретенного методического опыта для расширения средств контроля износостойкости и расхода магнитного коллоида. В настоящем исследовании с целью расширения физических представлений о колебательном течении МЖ в магнитном поле определяется «магнитовязкий» эффект в тонком пристеночном слое при наложении сильного поперечного магнитного поля. Расчет значения «магнитовязкого» эффекта выполнен по формуле, полученной на основе двух различных теоретических подходов и примененной к опубликованным ранее экспериментальным результатам комплексного измерения частоты колебаний и намагниченности насыщения магнитной жидкости, прокомментированных ранее в предположении отсутствия полевой зависимости вязкости [12, 13]. Краткое описание эксперимента и параметров образцов в опубликованных работах В отношении поставленной задачи необходимо кратко пояснить основные элементы устройства экспериментальной установки и методики измерений. Экспериментальная установка, предназначенная для измерения частоты колебаний МЖ-столбика, подробно описана в [12] (блок-схема экспериментальной установки № 1), а в работе [11] все разъяснения даны в описании схемы на рис. 1. В работе использовался лабораторный электромагнит ФЛ-1, между полюсными наконечниками которого размещена трубка с внутренним диаметром d = 12 мм, выполненная из оргстекла. Ось трубки проходит вертикально (или горизонтально) через центр межполюсного зазора параллельно поверхности полюсных наконечников. Ось OZ совпадает с осью трубки, а ее начало находится в центре столбика МЖ в положении равновесия. Существенным обстоятельством полученных зависимостей поперечного значения напряженности магнитного поля Нx(z) является наличие линейного участка на кривых на уровне z = 57.5 мм, что позволяет считать градиент напряженности магнитного поля на этом участке ∆Hx / ∆z = const. В сильном и неоднородном магнитном поле столбик МЖ принимает форму, близкую к цилиндрической. Расстояние между основаниями цилиндра в проводимом эксперименте составляет b = 115 мм. В силу допущения о «тонкости» трубки магнитное поле в точках свободной поверхности МЖ направлено по касательной к ней, т.е. имеет только тангенциальную компоненту Нх (перпендикулярно поверхности полюсных наконечников), а градиент напряженности поля направлен перпендикулярно поверхности вдоль оси OZ к ее началу. Максимальное магнитное поле в центре между полюсами электромагнита составляет 900 кА/м. В работе [12] описаны образцы магнитных жидкостей МЖ-1 и МЖ-2 на основе высокодисперсного магнетита Fe3O4, стабилизированного поверхностно-активным веществом - олеиновой кислотой С8Н17СН = СН(СН2)7-СООН. В образце МЖ-1 в качестве дисперсионной среды - жидкости-носителя - использовался авиационный керосин ТС-1, в образце МЖ-2 - ундекан C11H24 - углеводород из класса алканов. Объекты исследования синтезированы в Проблемной научно-исследовательской лаборатории прикладной феррогидродинамики Ивановского государственного энергетического университета. Плотности образцов МЖ-1 и МЖ-2, их намагниченность насыщения соответственно равны ρ = 1245 и 1227 кг/м3, Ms = 39.5 и 40.4 кА/м. Сдвиговая вязкость η измерена на вискозиметре «Brookfield DV2T», её значение для МЖ-1 и МЖ-2 составляет 34.8 и 30.4 мПа•с при скорости сдвига 79.200 1/s. Теоретическое обоснование В рамках механики сплошных сред, т.е. пренебрегая дисперсностью системы и взаимодействием частиц дисперсной фазы между собой, можно записать уравнение гармонических колебаний с затуханием в виде , (1) где ξ - смещение из положения равновесия центра тяжести столбика МЖ в трубке; - активное сопротивление жидкости на внутренней поверхности трубки; kp - коэффициент пондеромоторной упругости. Выражение для коэффициента пондеромоторной упругости kp получено в [11]: . (2) Здесь - магнитная постоянная; Мх и - соответственно намагниченность и градиент напряженности магнитного поля в месте расположения оснований МЖ-столбика; d -диаметр трубки; b - длина МЖ-столбика. В источнике [20] приведено выражение для : . (3) Выражение (3) для коэффициента сопротивления впервые было получено Гельмгольцем. Ограничением служит отношение длины окружности трубки πd к длине вязкой волны , при котором оно превышает 10. В нашем случае при максимальной в эксперименте частоте 15 Гц это отношение составляет ~ 7.5. В уравнении (1) Mω может быть представлено [20] как , (4) где m - масса жидкости в трубке. Второе слагаемое в скобках формулы (4) относительно невелико (≈ 0.1), умноженное на массу МЖ оно представляет так называемую «присоединенную массу», обусловленную вязкостью жидкости. В данном случае эта добавка способна оказать влияние на численное значение частоты колебаний с измеряемой точностью. Перепишем уравнение затухающих колебаний (1) в стандартном виде , (5) где , . С переходом ω → ν . (6) Формула (6), полученная на основе выражения Гельмгольца (3), позволяет рассчитывать коэффициент затухания колебаний. В уравнении (5) . (7) Общее решение уравнения (5) имеет известный вид , где C, ψ - произвольные константы, β - коэффициент затухания колебаний, а частота колебаний ω выражается как . (8) После алгебраических преобразований соотношение (8) примет вид (9) или . (10) Пренебрегая вторым членом в правой части (10) и учитывая (2), получим . (11) Имеется и другой подход при решении данной задачи, он основан на применении закона сохранения энергии в колебательной системе [12, 13]. По мере колебаний колебательная энергия столбика МЖ с пондеромоторной упругостью уменьшается. Примем в начальный момент времени значение кинетической энергии максимальным Ek0. С учетом формулы для диссипации энергии, обусловленной возвратно-поступательным течением столбика вязкой жидкости по трубке [21], потенциальная энергия колебательного движения спустя четверть периода может быть представлена так: , (12) где ∆z0 и ∆z01 - амплитуды смещения в начальный момент и спустя четверть периода. Если произвести в левой части (12) переход , а и потребовать, чтобы равенство формально не нарушалось, то получим . (13) Здесь - поправка к пондеромоторному коэффициенту упругости, обусловленная течением вязкой жидкости: . (14) Однако полученная для формула дает оценку «сверху» - максимальное по истечении четверти периода значение. Коэффициент вязкой упругости представляет «среднее полупериодное» гармонической функции от максимального значения, т.е. . Поэтому . (15) Кроме того, ранее полагалось, что вязкость МЖ не зависит от напряженности магнитного поля. Допуская такую зависимость, заменим обозначение η на ηН: . (16) Тогда выражение (11) примет следующий вид: . (17) Выражение (17) совпадает с полученным выше выражением (11). После элементарных алгебраических операций с уравнением (17) нетрудно получить формулу для расчета вязкости в пристеночном слое жидкости: . (18) Результаты расчетов В табл. 1 представлены данные по частоте колебаний столбика МЖ ν, коэффициенту пондеромоторной упругости kp при напряженности магнитного поля в центре межполюсного зазора для двух образцов МЖ, взятые из работы [12]. Кроме того, в табл. 1 приведены в численном виде компоненты уравнения (10), что позволяет обосновать выдвинутые допущения о значении надбавки к единице в круглых скобках и пренебрежении вторым членом в правой части этого уравнения. Численные значения компонент уравнения (10) имеют размерность Гц2 или с-2. Для сопоставления компонент уравнения были выбраны исходные значения плотности и вязкости МЖ-1 и МЖ-2, приведенные в работах [12, 13]. Численное сопоставление показывает, что первый и второй компоненты имеют приблизительно одинаковый порядок и превосходят третий более чем на два порядка. Добавка в круглых скобках выражения (4) не настолько мала, чтобы ею можно пренебречь (как предполагается в [20]) при измерении частоты колебаний на цифровом осциллографе GWinstek GDS-72072b, функциональные возможности которого допускают два знака после запятой в диапазоне частот ≤ 100 Гц. Таблица 1 Образец , кА/м ν, Гц kp , Н/м МЖ-1 900 15.3 174 9281 9550 30 0.13 МЖ-2 15.5 177 9463 9937 26 0.12 На рис. 1 и 2 приведены графики зависимостей намагниченности жидкостей МЖ-1 и МЖ-2 от Н-1 в окрестности магнитного насыщения, взятые из [12]. Экспериментальные данные по М получены для магнитного поля ≤ 750 кА/м. Кружками на рисунках выделены значения намагниченности, соответствующие обратной величине напряженности магнитного поля : 1/800 и 1/900 м/кА. Крестиками показаны значения намагниченности, соответствующие обратной величине напряженности магнитного поля по краям столбика МЖ : 1/619 и 1/686 м/кА. Формулы на рисунках, аналитически отражающие линейную аппроксимацию рассматриваемой зависимости, позволяют рассчитать численные значения Mx и получить эти значения и для приведенных значений и . С учетом полученных значений Mx по формуле (18) рассчитываются значения вязкости в пристеночном слое в поперечном магнитном поле и . Рис. 1. Зависимость М от 1/Н для образца МЖ-1 Рис. 2. Зависимость М от 1/Н для образца МЖ-2 Полученные результаты для представляют оценку «сверху», поскольку при этом используются значения Мх, выбранные для максимального магнитного поля в межполюсном зазоре . В то же время результаты дают оценку «снизу», поскольку они рассчитаны для минимального значения напряженности магнитного поля, относящегося к границам столбика МЖ. В табл. 2 приводятся используемое сочетание значений параметров магнитного поля: - напряженность магнитного поля в центре между полюсами электромагнита, - напряженность магнитного поля и ΔНx/Δz - градиент напряженности у основания МЖ-столбика, частота колебаний столбика МЖ ν, и . Показаны также рассчитанные значения , , приращения вязкости в магнитном поле («магнитовязкий эффект») , и относительное значение данных параметров , . Таблица 2 Образец , кА/м , кА/м ΔНx/Δz, МА/м2 ν, Гц , кА/м , кА/м , Па•с , Па•с , Па•с , Па•с МЖ-1 800 619 14.2 14.5 38.3 38.0 0.048 0.043 0.013 0.009 0.4 0.3 МЖ-2 14.6 39.1 38.7 0.069 0.059 0.039 0.029 1.3 1.0 МЖ-1 900 686 15.9 15.3 38.4 38.2 0.052 0.047 0.017 0.013 0.5 0.4 МЖ-2 15.5 39.3 38.9 0.066 0.057 0.036 0.027 1.2 0.9 Отмеченное выше ограничение применяемых теорий позволяет предпочесть значение ηН, принадлежащее наибольшей напряженности магнитного поля 900 кА/м, при котором получено наибольшее значение частоты колебаний и наименьшая длина вязкой волны. Для интерпретации полученного различия значений ∆ηН /η исследованных образцов МЖ-1 и МЖ-2 необходимы данные об особенностях их структуры, отсутствующие в опубликованных работах [12, 13]. По оценкам «пристеночной вязкости» «сверху» и «снизу» рассчитывается их вклад в коэффициент затухания колебаний. В табл. 3 приведены экспериментальные значения коэффициента затухания β, взятые из [12]. Там же показаны значения и , рассчитанные по формуле (6) для и соответственно. Результаты расчета показывают, во-первых, что и «верхняя» и «нижняя» оценки «пристеночной вязкости» не приводят к превышению полученного ранее экспериментального результата β, что, в свою очередь, соответствует физическому обоснованию теоретических подходов при получении формулы (18). А, во-вторых, наличие превышения β над и примерно на 15 % фактически отражает присутствие и других механизмов диссипации энергии в колебательной системе (в частности, излучение упругой энергии в элементы конструкции установки и окружающую среду). Таблица 3 Образец , кА/м , кА/м ΔНx/Δz, МА/м2 ν, Гц β, c-1 , с-1 , с-1 МЖ-1 900 686 15.9 15.3 9.5 7.5 7.1 МЖ-2 15.5 9.4 8.5 7.9 В [13] приведена формула для вязкости МЖ, совершающей возвратно-поступательные течения по трубке в условиях, близких к магнитному насыщению в поперечном магнитном поле: . Данное выражение для η получено на основе прежней теоретической модели с использованием , что позволяет формулу (18) считать предпочтительной. Заключение В настоящей работе произведена оценка приращения вязкости («магнитовязкого» эффекта) в тонком пристеночном слое столбика магнитной жидкости, совершающей колебания в трубке, при наложении сильного поперечного магнитного поля. Расчет значения «пристеночной вязкости» выполнен по формуле, полученной на основе двух различных теоретических подходов и примененной к опубликованным ранее экспериментальным результатам комплексного измерения частоты колебаний и намагниченности насыщения образцов магнитной жидкости МЖ-1 и МЖ-2. По оценкам «пристеночной вязкости» «сверху» и «снизу» рассчитывается их вклад в коэффициент затухания колебаний. Результаты расчета показывают, что обе оценки не приводят к превышению полученного ранее в [12] экспериментального значения β. В расчетах не учитывается переходный тонкий слой прохождения вязкой волны. Предполагается, что в колебательном движении участвует весь столбик МЖ. Для уточнения оценки ηН в дальнейшем потребуется расширить применимость полученных соотношений, например, за счет увеличения градиента напряженности магнитного поля, позволяющего получить более высокую частоту колебаний столбика МЖ и уменьшение длины вязкой волны.

Скачать электронную версию публикации