On limit euclide cycles in cosmological models based on scalar fields.pdf Введение В [1] была предложена и частично исследована космологическая модель, основанная на асимметричном скалярном дублете, то есть система, состоящая из двух скалярных полей, классического (Φ) и фантомного (φ) c потенциалом типа Хиггса. В [2-8] было проведено всестороннее качественное и численное моделирование космологической модели, основанной на классическом и фантомном скалярных полях. Результаты этих исследований позволили одному из авторов** выдвинуть предположение о существовании в таких моделях предельных евклидовых циклов с эффективной нулевой энергией, к которым стремится система в будущем (классическое поле) либо в прошлом (фантомное поле). При этом Вселенная становится глобально евклидовой, хотя скалярные поля отличны от нуля и осциллируют, находясь в устойчивом динамическом равновесии. Поскольку вопрос о существовании предельных евклидовых циклов чрезвычайно важен для космологии, в данной работе мы более подробно исследуем эту возможность. При этом, как и в ряде предыдущих статей, мы будем проводить численное моделирование с помощью расширенного авторского пакета программ DifEqTools, специально предназначенного для исследования нелинейных динамических систем [9]. 1. Основные соотношения космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете Функция Лагранжа скалярного дублета, состоящего из классического и фантомного скалярных полей с самодействием в форме Хиггса с минимальной связью, имеет вид [1] (1) где - потенциальная энергия Хиггса соответствующих скалярных полей; α и β - константы их самодействия; m и m - их массы квантов. Динамические уравнения космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете, имеют следующий вид: (2) где введены обозначения (3) - эффективная энергия скалярного дублета с учетом космологической постоянной, ; . Для того чтобы система дифференциальных уравнений (2) имела вещественное решение, необходима неотрицательность выражения под радикалом в уравнениях, т.е. неотрицательность эффективной энергии системы с учетом космологической постоянной: (4) Неравенство (4) может приводить к нарушению односвязности фазового пространства и образованию в нем замкнутых лакун, ограниченных поверхностями с нулевой эффективной энергией. В дальнейшем для краткости обозначений мы будем конкретизировать модели двумя упорядоченными списками: Р - списком параметров модели и I - списком начальных условий: . 2. Траектории нулевой энергии Если положить в уравнениях (2) , (5) полученные таким образом уравнения принимают следующий вид: (6) Эти уравнения описывают две независимые динамические системы, совершающие свободные ангармонические периодические колебания в поле потенциала 4-го порядка. Уравнения (6) интегрируются точно, однако решение выражается через эллиптические интегралы и малонаглядно. Важно отметить тот факт, что точным интегралом этих уравнений является интеграл эффективной энергии, что позволило в [2] высказать гипотезу, что (5) является асимптотически точным интегралом системы (2) при соответствующих параметрах и начальных условиях. На рис. 1 и 2 показаны результаты численного интегрирования уравнений (4), иллюстрирующие режим свободных колебаний полей скалярного дублета, при следующих значениях параметров: . Как видно из этих рисунков, фазовые траектории системы (6) действительно описывают периодические ангармонические колебания. Заметим, что при этом мы не требовали выполнения условия (5). Рассмотрим сначала свободные колебания классического скалярного поля. Записывая энергию этого поля с помощью (3), получим . (7) Интегрируя (7) в промежутке между точками поворота , (8) найдем периоды колебаний , (9) где интегралы берутся между двумя точками поворота (8), находящимися в общей области доступности. В зависимости от параметров полевой модели и полной энергии решение (8) может давать 0, 2 или 4 точки поворота. Аналогичную ситуацию имеем и для фантомного поля. Интеграл (9) можно выразить через эллиптические функции . Рис. 1. Свободные колебания классического скалярного поля: сплошные кривые - , пунктирные - Рис. 2. Свободные колебания фантомного скалярного поля: сплошные кривые - , пунктирные - 3. Дифференциальные параметры сближения кривых для случая одиночных скалярных полей Определим угол (рис. 3) между касательными сближающихся линий фазовой траектории и линий нулевой энергии (т.е. фазовой траекторией свободных колебаний (7)). Если при сближении линий и этот угол будет неограниченно стремиться к нулю, то можно утверждать, что фазовая траектория (2) будет касаться траектории свободных колебаний. Для того чтобы фазовая траектория (2) перешла в фазовую траекторию свободных колебаний (7), необходимо еще, чтобы при этом фазовая скорость оставалась ненулевой в их общей точке. Рис. 3. К вычислению дифференциальных параметров сближения фазовой траектории к линии нулевой эффективной энергии . Точки и на этих линиях имеют координаты и на фазовой плоскости Исследуем этот вопрос. Угол между двумя касательными векторами и определяется известным выражением (см., например, [10]) . (10) Далее, параметрические уравнения фазовой траектории на плоскости при имеют вид , где - решение системы уравнений (11) В качестве этого решения мы будем использовать численное решение системы (5), полученное с помощью пакета DifEqTools. Параметрические уравнения поверхности нулевой энергии при принимают вид (12) Сюда необходимо подставить полученное численное решение . Таким образом, касательные векторы к этим кривым равны Таким образом, мы вычислим необходимые нам дифференциальные параметры в случае одиночного скалярного классического поля. В случае одиночного фантомного поля необходимые нам параметры найдем аналогично. В случае скалярного дублета будем вычислять соответствующие дифференциальные параметры в каждой из соответствующих плоскостей . С учетом условия (5) вблизи линии нулевой энергии получим оценку для вблизи этой линии: . Отсюда следует, что при сближении кривых и , т.е. при , и угол между касательными к ним также стремится к нулю ( ). 4. Численное моделирования сближения кривых для случая одиночных скалярных полей Численное моделирование приближения фазовой траектории к кривой нулевой эффективной энергии и вычисление дифференциальных характеристик этого процесса проводились с помощью упомянутого выше авторского пакета программ DifEqTools. При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (2) применялся продвинутый метод Рунге-Кутты 7-8 порядков, предназначенный для интегрирования жестких систем ОДУ. Проведенные многочисленные исследования подтвердили предположение о существовании в исследуемых моделях предельных евклидовых циклов с эффективной нулевой энергией. Ниже мы приведем частные примеры численного моделирования, относящиеся к типу поведения космологических моделей, названному в предыдущих статьях «прилипанием». При этом для краткости рассмотрим лишь два случая параметров и начальных условий : (13) - для классического поля в плоскости ; (14) - для фантомного поля в плоскости . На рис. 4 и 5 показаны фазовые траектории этих полей на фоне запрещенных областей, закрашенных серым цветом. При этом классическое поле в момент стартует с далекого от линии нулевой энергии состояния, а на конечных этапах при переходит в режим свободных колебаний. Фантомное поле, наоборот, в момент времени стартует с положения, весьма близкого к линии нулевой эффективной энергии, а затем уходит в далекое от линии нулевой энергии состояние . Рис. 4. Фазовая траектория в плоскости при параметрах и начальных условиях (13) Рис. 5. Фазовая траектория в плоскости при параметрах и начальных условиях (14) На рис. 6 и 7 показаны графики удаленности фазовых траекторий от линий нулевой энергии. Видно, что расстояние между этими линиями вблизи точки слияния становится порядка 10-10! Рис. 6. График десятичного логарифма для классического поля при параметрах и начальных условиях (13) Рис. 7. График десятичного логарифма для фантомного поля при параметрах и начальных условиях (14) На рис. 8 и 9 представлены графики синуса угла между касательными к этим кривым вблизи точки слияния. Как видно, углы между касательными также стремятся к нулю, достигая значений порядка . Рис. 8. График десятичного логарифма для классического поля при параметрах и начальных условиях (13) Рис. 9. График десятичного логарифма для фантомного поля при параметрах и начальных условиях (14) При этом, как можно видеть из графиков на рис. 10 и 11, скорость движения по фазовой траектории в точках слияния графиков не равна нулю, а, наоборот, достигает максимума. Это естественно объясняется потерей «трения» при переходе динамической системы в режим свободных колебаний (см., например, [6]). Рис. 10. График модуля скорости для классического поля при параметрах и начальных условиях (13) Рис. 11. График модуля скорости для фантомного поля при параметрах и начальных условиях (14) В заключение отметим, что мы подтвердили и уточнили основные выводы работ [3-8] о существовании предельных евклидовых циклов в космологических моделях, основанных на скалярных полях с хиггсовым потенциалом взаимодействия. В таких моделях история Вселенной может содержать чисто евклидовы этапы с 4-мерным евклидовым пространством, поддержи¬ваемым динамическим равновесием осциллирующих скалярных полей.

Скачать электронную версию публикации