Zitterbewegung near a four-dimensional Lifshitz black hole.pdf Введение Интерес к черным дырам Лифшица возник, прежде всего, с точки зрения ADS/CFT-соответ¬ствия и последующих приложений в теории твердого тела и квантовой хромодинамики [1-3]. В этом случае возникает анизотропная масштабная инвариантность, такая, что t → λzt t, x →λx, где z ≠ 1 и z есть относительная масштабная размерность пространства и времени. Подобного рода зависимости часто возникают, например, в задачах о сильно коррелированных электронах. Все это делает изучение черных дыр Лифшица актуальным с точки зрения приложений [4-6]. Отметим, что, несмотря на повышенный интерес к таким объектам прежде всего с точки зрения ADS/CFT-соответствия, ряд квантовых эффектов остался нерассмотренным. Прежде всего, это относится к эффекту Zitterbewegung (дрожащее движение) в пространстве-времени черной дыры Лифшица. Эффект ZB [7] рассматривался сначала как специфический недостаток теории Дирака. Это связано с тем, что собственные значения оператора скорости в теории Дирака могут принимать значения только (с - скорость света). Указанное следствие теории было разрешено Шредингером, который в работе [8] указал на дрожащее движение и на то, что после его усреднения скорость электрона становится меньше с. На данный момент считается, что ZB может наблюдаться в любой системе, в описании которой оператор скорости не коммутирует с гамильтонианом. Далее данный эффект был обобщен и на теорию Клейна - Гордона [9]. В настоящее время, после открытия графена, для описания которого в длинноволновом приближении применяется уравнение Дирака, вопрос о наблюдении ZB перешел в прикладную плоскость [10]. Вместе с тем при рассмотрении ZB-эффекта в кривом пространстве-времени возникает ряд технических трудностей при традиционном подходе. Эти трудности связаны с незамкнутостью системы операторных уравнений в случае кривого пространства. Более удобна в этом случае картина Шредингера, связанная с эволюцией волновых функций. Данный подход был предложен в [11] и развивается в настоящей работе. 1. Основные уравнения Метрика черной дыры Лившица имеет вид [12] , (1) где описывает (d-2)-пространственный вектор; d - размерность пространства; l - длина пространства в геометрии. Заметим, что граница пространства-времени находится при ρ = 0 (причем ρ = 1/r), тогда метрика (1) примет вид (2) Уравнение Дирака имеет вид (3) Гамма-матрицы в кривом пространстве определяются как , где - гамма-матрицы в плоском пространстве. Для решения уравнения используются диагональные поля тетрады: . (4) Здесь - тетрады для плоского случая. Спиновые связности могут быть получены из условия нулевого кручения: . Уравнение Дирака можно записать в гамильтоновой форме: . (5) Используя переход к картине Шредингера , ток можно вычислить по формуле . (6) Так как или в представлении собственных чисел: , легко получаем формулу для тока: . (7) Здесь коммутатор . В рассматриваемом случае черной дыры Лифшица струны, соответствующие собственным функциям, есть [13] (8) - гипергеометрическая функция, которую можно вычислить согласно следующей формуле: . Окончательно выражение для тока принимает следующий вид: (9) 2. Обсуждение Приведенное выражение (9) трудно оценить аналитически, поэтому для вычисления интеграла был использован численный метод. Так, на рис. 1-3 приведены зависимости тока от параметров задачи. Рис. 1. Зависимость тока от времени (l = 1): кр. 1 - r = 2 отн. ед.; кр. 2 - r = 3 отн. ед.; кр. 3 - r = 4 отн. ед. Как видно из рис. 1, вблизи четырехмерной черной дыры Лифшица имеет место ZB-эффект, причем увеличение r приводит к его уменьшению. Это можно связать с тем, что метрика при удалении от горизонта событий стремится к «плоской» и эффекты, связанные с кривизной, которая вносит вклад в интерференцию частиц - античастиц (одно из наглядных объяснений ZB-эффекта), уменьшаются. Наблюдается аналогичная рис. 1 зависимость, а именно увеличение эффекта «дрожания» при удалении от горизонта событий. Параметр l оказывает существенное влияние на эффект ZB, которое проявляется в уменьшении тока при возрастании длины пространства. Если рассматривать полученные результаты с точки зрения эксперимента, то основные эффекты, к которым может привести ZB-эффект в рассматриваемой задаче, - это накопление заряда как следствие неоднородности ZB-тока по пространству, а также излучение электромагнитного поля электронами вследствие их ускоренного движения при ZB-эффекте. Первый эффект важен в многочастичных задачах, когда накопленный заряд может оказать существенное влияние на динамику других электронов. Рассмотрение многочастичной задачи выходит за рамки данной работы и будет проведено в дальнейшем, поскольку требует корректного написания кинетического уравнения с учетом законов сохранения в пространстве-времени черной дыры Лифшица. Второй же упомянутый эффект затруднителен для экспериментальной проверки вследствие того, что излучение при аккреции заряженных частиц на черную дыру будет иметь гораздо большую интенсивность. К сожалению, модель черной дыры Лифшица носит до сих пор чисто теоретический характер и нет никаких данных об их возможном наблюдении, что позволило бы оценить параметры эффекта и возникающего при этом излучения. Рис. 2. Зависимость тока от r: кр. 1 - t = 0; кр. 2 - t = 50•10-13 отн. ед.; кр. 3 - t = 100•10-13 отн. ед. Рис. 3. Зависимость тока от времени (r = 2 отн. ед.): кр. 1 - l = 0.5 отн. ед.; кр. 2 - l = 1 отн. ед.

Скачать электронную версию публикации