Adomian decomposition method for the one-dimensional nonlocal Fisher - Kolmogorov - Petrovskii - Piskunov equation.pdf Введение Разработка аналитических методов исследования математических моделей реакционно-диффузионных (РД) систем открывает новые возможности для изучения нелинейных явлений в сложных физических, химических, биологических и других системах. К числу таких моделей принадлежит базовая популяционная модель Фишера - Колмогорова - Петровского - Пискунова (Фишера - КПП) [1, 2], в которой учитываются основные механизмы, характерные для популяционной динамики, такие, как воспроизводство популяции (автокатализ) и конкурентные потери. Пространственное распределение популяции обусловлено диффузией. В физике уравнение Фишера - КПП и его модификации встречаются в различных задачах, например в теории горения, в теории фазовых переходов, в физике плазмы и др. [3-6]. Базовое, или классическое, уравнение Фишера - КПП [1, 2] описывает бегущую волну в РД-системе, что представляет интерес для понимания особенностей реакционно-диффузионной динамики не только в физических, но и в биологических и экологических системах. Включение в базовую модель Фишера - КПП дополнительного механизма, учитывающего эффект дальнодействия между элементами популяции, приводит к нелокальному обобщению классического уравнения Фишера - КПП, которое в безразмерной форме запишем следующим образом: . (1) Здесь гладкая вещественная функция , зависящая от пространственной переменной , , и времени , , имеет смысл популяционной концентрации (плотности числа частиц в популяции); , - частные производные по соответствующим переменным; - коэффициент диффузии; темп воспроизводства популяции (автокатализ) в уравнении (1) характеризуется гладкой вещественной функцией ; - параметр нелинейности. Для простоты мы ограничимся одномерным случаем, будем также предполагать, что функция убывает вместе со своими частными производными по при . Интеграл в уравнении (1) описывает нелокальные конкурентные потери. Ядро интегрального оператора называется функцией влияния. При фиксированном значении функция убывает с увеличением . В частности, если , то - убывающая функция своего аргумента . Область локализации функции определяет степень нелокальности взаимодействия в популяции. Нелокальное обобщение уравнения Фишера - КПП (1) представляет интерес как основа модели, позволяющей описывать возникновение структур в однокомпонентных РД-системах (см., например, [7, 8] и цитированную там литературу). С математической точки зрения уравнение (1) представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с частными производными, для которого точные решения в аналитическом виде удается построить лишь в простых случаях (см., например, [9]). Поэтому для развития аналитических методов исследования уравнения (1) более перспективным оказывается привлечение тех или иных приближений. В частности, классы асимптотических решений уравнения (1) были построены (см. [10, 11] и цитированную там литературу) в рамках теории квазиклассического приближения ВКБ - Маслова, в которой в качестве формального асимптотического параметра выбирался коэффициент диффузии в уравнении (1). В данной работе приближенные решения уравнения (1) строятся с помощью итерационного метода, разработанного Дж. Адомианом (Adomian Decomposition Method (ADM)) применительно к решению различных нелинейных задач математической физики (см., например, [12-14]). ]). В отличие от квазиклассического метода, в методе Адомиана не предполагается малость параметра . Кроме того, в нем не требуется использовать разложение функции влияния в ряд в окрестности многообразия локализации приближенного решения, как в квазиклассическом методе [10, 11]. В п. 1 приведены необходимые сведения о методе разложения Адомиана. В п. 2 ADM применен к решению задачи Коши для уравнения (1). Выбор оператора диффузии в качестве линейного обратимого оператора позволяет строить приближенные решения в классе убывающих функций. В п. 3 рассмотрен иллюстративный пример приближенного решения задачи Коши для функции влияния и начальной функции гауссова вида. В заключении приведено обсуждение полученных результатов. 1. Метод разложения Адомиана Изложим кратко, в соответствии с [12], схему ADM применительно к задаче Коши для нелинейного уравнения общего вида, включающего линейные и нелинейные слагаемые: . (2) Здесь искомая функция зависит от эволюционной переменной ; - заданная функция; - нелинейный оператор в уравнении (2); - линейный оператор, а линейный оператор допускает построение обратного оператора в явном виде, . В большинстве случаев в качестве выбирают оператор дифференцирования конечного порядка по эволюционной переменной, , а оператор выражается через соответствующий определенный интеграл и начальные данные задачи Коши. Например, если в уравнении (2) , (3) то обратный оператор можно определить так, чтобы . Здесь есть начальное условие задачи Коши для уравнения (2). Согласно ADM [12], решение уравнения (2) представляется в виде разложения . (4) Нелинейный член в (2) также записывается в виде разложения . (5) Здесь представляет собой полином порядка , зависящий от , называемый полиномом Адомиана, который определяется выражением , (6) где есть некоторый формальный вещественный параметр, а вещественные переменные являются аргументами полинома . Далее, применим к уравнению (2) оператор и запишем уравнение (2) как . (7) Пусть для определенности имеет вид (3), тогда из (7) имеем . (8) Подставив в это уравнение разложения (4) - (6), получим . (9) В соответствии с ADM (см., например, [12] и цитированную там литературу) из уравнения (9) записывают следующие итерационные соотношения для членов ряда (4): ; (10) , . (11) Сделаем некоторые замечания. Итерационные соотношения (10), (11) можно получить с помощью стандартных вычислений, которые обычно проводятся в теории возмущений, если вести в уравнение (2) формальный малый параметр перед и : . (12) Разложение (4) также запишем с параметром : . (13) Проведя для уравнения (12) и разложения (13) рассуждения, аналогичные (7) - (9), запишем уравнение (9) в виде . (14) Приравняем нулю члены при одинаковых степенях в уравнении (14) и получим итерационные соотношения (10) - (11). Положив затем в (12), (13), придем к исходным формулам (4), (7) - (9). Таким образом, итерационный метод разложения можно рассматривать как метод возмущений с малыми членами и в (2). Вопросы сходимости итерационных рядов вида (4), представляющих решение нелинейного уравнения (2), нетривиальны и требуют специального исследования. Этим вопросам уделяется постоянное внимание, начиная с ранних работ, например [12, 13]. Итерационный метод Адомиана является удобной алгоритмизацией теории возмущений, в том числе и для нелинейных уравнений. Несмотря на относительную простоту, этот метод оказался достаточно гибким с точки зрения применимости к уравнениям различных типов с различными граничными условиями [14-16], а также способным к развитию и дальнейшим модификациям (см., например, [17-19] и цитированную там литературу). В заключение заметим, что решения в виде разложения (4) часто имеют вид степенных рядов по независимым переменным. Поэтому могут возникнуть трудности в анализе асимптотического поведения решения по первым членам ряда (4) при больших значениях аргументов. Далее мы применим общую схему ADM к уравнению (1) таким образом, чтобы члены ряда (4) представляли собой функции, убывающие на бесконечности по . Для этого мы выберем оператор в виде, отличном от оператора дифференцирования. 2. Итерационные соотношения для нелокального уравнения Фишера - КПП Применим общую схему итерационного метода Адомиана, изложенную выше в п. 1, к решению задачи Коши для уравнения Фишера - КПП (1) в классе функций убывающих при . Начальная функция (15) также принадлежит классу убывающих на бесконечности функций. В качестве первого шага построения решения итерационным методом уравнение (1) представим в виде (2). Для получения итерационных соотношений воспользуемся формой (12) с формальным малым параметром . В окончательных выражениях положим в соответствии с п. 1. В отличие от обычного выбора линейного обратимого оператора в виде оператора производной по времени (3) в уравнении (12), выберем в качестве оператор диффузии , включив в него и функцию : , (16) где обозначено , . Нелинейный интегральный член в уравнении (1) представим в форме билинейного оператора . (17) Здесь , (18) а есть нелинейный оператор, отвечающий записи уравнения (1) в форме (12). В обозначениях (16) - (18) уравнение Фишера - КПП (1) с параметром примет вид , (19) соответствующий (12). Из сравнения (12) и (19) можно видеть, что в (19) отсутствует линейный оператор , что несущественно для применения ADM. Определим (левый) обратный оператор для оператора вида (16) на классе убывающих по функций. Для этого введем диффузионный пропагатор для оператора (16), положив . (19а) При получим известный пропагатор для оператора диффузии (см., например, [20, 21]). Пусть принадлежит классу убывающих по функций. Определим оператор выражением . (20) Заметим, что для вида (16) справедливо , . (21) Кроме того, , , (22) где - дельта-функция Дирака; - единичный оператор. С помощью оператора и формулы Дюамеля с учетом (20) определим действие оператора на функцию следующим образом: . (23) Здесь - произвольная убывающая по функция. Прямыми вычислениями c помощью (20) - (22) из (23) получим , , (24) . Из (24) видно, что оператор имеет смысл правого обратного для . Выражение (23) показывает, что оператор определен неоднозначно, произвол содержится в выборе функции . Ограничим естественным условием , такой оператор обозначим как . Применим этот оператор к уравнению (19). С помощью (23) получим , (25) где сохраним произвольную функцию , а оператор зададим выражением (18). При , принимая во внимание свойство (22), , из (25) получим . После несложных вычислений с учетом свойств пропагатора (19) - (22) уравнение (25) можно записать в виде , (26) где есть начальная функция (15) задачи Коши для уравнения (1). Отметим, что выражение (26) представляет собой интегральное уравнение, эквивалентное задаче Коши (15), (19). Получим итерационные соотношения. Пoдставим разложение (13) решения задачи Коши (15), (19) в (26), в результате получим (27) или , (28) где - полином Адомиана для нелинейного оператора вида (17), входящего в уравнение (19). Из определения (6) для находим явные выражения для : , , . … . (29) Приравняв нулю коэффициенты при соответствующих степенях параметра в (28), получим, с учетом (29), следующие итерационные соотношения: ; (30) . (31) Положив в разложении (13) и в уравнении (19), получим решение задачи Коши (1), (15) в виде ряда , (32) в котором , определяются из рекуррентных соотношений (30), (31), линейные операторы и определены формулами (18) и (20) соответственно. Выражения (30) - (32) позволяют строить приближенные решения в аналитической форме для различных начальных условий (15) и функций влияния . Далее в п. 3 на простом примере проиллюстрировано построение первых членов ряда (32) для функции влияния , когда имеет гауссов вид. Начальная функция (15) также выбрана в виде гауссова распределения, что позволяет вычислить интегралы по пространственным переменным в . 3. Гауссова функция влияния В уравнении (1) ядро в интеграле нелокальных конкурентных потерь (17) имеет смысл весовой функции, определяющей вклад в интегральные потери части популяции, локализованной в окрестности точки и характеризуемой плотностью на популяцию, локализованную в окрестности точки и характеризуемой плотностью в момент времени . Очевидно, с возрастанием расстояния между точками и этот вклад уменьшается. Функция позволяет моделировать особенности взаимодействия особей в популяции. Например, в классическом уравнении Фишера - КПП [1, 2] предполагается, что взаимодействие носит локальный характер. Переход от нелокального уравнения (1) к классическому уравнению Фишера - КПП имеет место при , где const (> 0). В [22] конкурентные потери моделировались функцией влияния в виде индикаторной функции интервала в окрестности точки , при некотором малом , характеризующем степень нелокальности взаимодействия в популяции. Это позволило перейти от интегродифференциального уравнения (1) к дифференциальному уравнению с нелинейным коэффициентом диффузии. Нелокальное взаимодействие в популяции зададим функцией гауссова вида . (33) Здесь параметр = const = равен площади под кривой гауссоиды , , вида (33). Величина параметра характеризует амплитуду пика (высоту максимума) гауссоиды при , т.е. степень интенсивности взаимодействия. Параметр характеризует ширину гауссоиды (33) и соответственно степень нелокальности взаимодействия в популяции. Дисперсия равна , среднеквадратичное отклонение есть . Моделирование нелокальных конкурентных потерь гауссоидой вида (33) представляется математически удобным и разумным по физическим соображениям. Например, в [7] нелокальное взаимодействие в обобщенной модели Фишера - КПП в виде гауссовой функции (33) использовалось для исследования динамики формирования пространственных паттернов в процессе эволюции микробиологических популяций, состоящих из особей одного вида. Начальное распределение плотности (15) также зададим в виде гауссовой функции , (34) где параметры и имеют смысл, аналогичный и в (33), а координата - среднее значение (положение пика) гауссоиды (34). Подставим (33), (34) в выражение (30), в котором оператор определяется формулами (19а), (20). Вычислив интеграл по , получим главный член асимптотического ряда (32) в виде гауссовой функции , (35) дисперсия которой, , равна сумме дисперсий гауссоид (33) и (34). Первая поправка в разложении (32) дается выражением (31) при : . (36) Вычислим . Подставим в это выражение (33), (35) и, вычислив интеграл, получим . (37) Подставим (37), (35), а также (19а), (20) в (36). Вычислив интеграл по пространственной переменной, получим выражение для первой поправки: . (38) Из (35) и (38) видно, что первые два члена ряда (32) представляют собой суперпозицию гауссоид с положением максимумов в точке с координатой и зависящими от времени амплитудами пиков и дисперсиями, причем в суперпозиция гауссоид имеет вид интеграла по времени. В последующих членах ряда (32) структура поправки будет повторяться, но кратность интегралов по времени будет увеличиваться. Рассмотрим выражения (35), (38) в предположении слабой диффузии, , и постоянной функции = const в уравнении (1). Не уменьшая общности в (35), (38), положим . С точностью до членов второго порядка по можно записать . (39) Пренебрежем членами второго порядка малости по в (39) и вычислим интеграл по времени в (38), в результате получим , (40) где обозначено . Полученные соотношения (35) и (40) имеют простой вид и могут непосредственно применяться к конкретным популяционным задачам при заданных значениях параметров. Заключение Метод разложения, разработанный Дж. Адомианом, активно применяется к решению широкого спектра нелинейных задач в различных областях не только физики, но и биофизики. Особый интерес ADM представляет в разработке аналитических методов исследования реакционно-диффузионных систем, для которых, в силу их математической сложности, набор аналитических методов ограничен. Отметим, что во многих публикациях, использующих ADM, приближенные решения часто находятся в виде полиномов. Такая форма решения может зависеть от выбора линейного обратимого оператора, представляющего собой важный элемент метода. Хотя построенные таким образом решения хорошо согласуются с результатами численного моделирования, анализ поведения таких решений, особенно при больших значениях переменных, не всегда очевиден. В данной работе метод разложения Адомиана применен к решению задачи Коши для нелокального обобщения известного популяционного уравнения Фишера - КПП, имеющего вид (1). Особенностью применения ADM в данной работе является то, что в качестве обратимого линейного оператора, который выделяется в уравнении для построения итерационной процедуры для членов асимптотического ряда, выбирается оператор диффузии, входящий в оператор уравнения Фишера - КПП. В классе функций, убывающих на пространственной бесконечности, обратный оператор для оператора диффузии выражается в терминах диффузионного пропагатора. Полученные для уравнения (1) итерационные формулы (30), (31) достаточно удобны для практического применения, что демонстрирует пример, рассмотренный в п. 3. Развитый в работе подход к решению задачи Коши для нелокального уравнения (1) создает предпосылки для обобщения рассмотренных аналитических методов исследования на случай многокомпонентных моделей популяционных систем, в которых нелокальное уравнение Фишера - КПП является одним из составных элементов. Перспективным направлением для таких обобщений является изучение влияния на популяционную динамику растворов активных веществ, окружающих популяцию, в частности в литературе дискутируются гипотезы об особых свойствах сильно разбавленных растворов активных веществ и их влиянии на биообъекты [22- 25]. Различные аспекты данной темы, связанные с анализом воздействий на рост клеточных популяций, можно найти, например, в [3, 26, 27] и цитированной там литературе.

Скачать электронную версию публикации