Qualitative and numerical analysis of the cosmological model based on the asymmetric scalar dublet with minimum connecti.pdf Введение В предыдущих работах [1-3] авторами были проведены качественный анализ космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете, аналитическое и численное исследование ее поведения вблизи гиперповерхностей нулевой эффективной энергии. В [3] были также введены карты особых точек динамической системы, описываемой нормальной автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1]: (1) где - нормированные безразмерные параметры модели, которые мы будем задавать в виде списка : , (2) а - список начальных условий**. В данной работе проведено детальное численное исследование космологической эволюции асимметричного скалярного дублета в зависимости от параметров модели с учетом результатов предыдущего качественного анализа. Заметим, что постоянная Хаббла и инвариантное космологическое ускорение определяются формулами [3]*** , (3) где - отношение эффективного давления к эффективной плотности энергии - эффективный коэффициент баротропы, а эффективные плотность энергии и давление динамической системы имеют вид 1. Численное моделирование динамической системы: Приведем результаты численного интегрирования, демонстрирующие указанные особенности. Заметим сразу, что большое количество параметров космологической модели, основанной на асимметричном дублете: Р (всего шесть), делают перебор всех возможных вариантов весьма громоздкой задачей, поэтому ниже мы приведем лишь некоторые, наиболее интересные, на наш взгляд, результаты. 1.1. Случай доступности всех особых точек . (4) 1.1.1. Общие свойства фазового пространства В этом случае особые точки имеют следующие координаты: (5) а инвариантные характеристики равны [3] Поскольку , все девять особых точек динамической системы доступны. Характер этих точек был представлен на схеме рис. 1 работы [3]. Ниже на рис. 1 показана зависимость границ запрещенных областей фазового пространства в проекциях и от величины дуальных потенциалов. Рис. 1. Зависимость запрещенной области (выделена светло-серым цветом) в проекциях (а) и (б) от величины дуальных потенциалов при параметрах модели (4): а - от внутренних кривых к внешним: запрещенными являются внутренние области; б - от внутренних кривых к внешним: запрещенными являются внешние области Хотя рассматриваемый случай является достаточно стандартным и не содержит интересных особенностей поведения модели, рассмотрим его более подробно, чтобы продемонстрировать общие свойства модели асимметричного скалярного дублета. 1.1.2. Фазовые траектории динамической системы На рис. 2-5 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (4) и начальных условий (6) Здесь и в дальнейшем кружки соответствуют началу и концу фазовой траектории, наклонными крестиками отмечены особые точки. На рис. 2 видно, как фазовые траектории в плоскости отскакивают от седловых точек и затем накручиваются на притягивающий фокус . Одновременно с этим фазовые траектории в плоскости отскакивают от седловой точки и накручиваются затем на притягивающие фокусы (рис. 3). Эта ситуация становится более понятной на фазовой диаграмме в плоскости особых точек (рис. 4). Таким образом, численные результаты подтверждают выводы качественной теории, представленные на карте особых точек (рис. 1 из [3]). Рис. 2. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (6) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): . Запрещенные области соответствуют конечному моменту времени Рис. 3. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (6) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): . Запрещенные области соответствуют конечному моменту времени Рис. 4. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (6) в плоскости потенциалов . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): На рис. 5 показана эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (4). Заметим, что, согласно общепринятой классификации, принимает значение для нерелятивистской материи (в этом случае ), - для ультрарелятивистской материи (в этом случае ), - для квинтэссенции (в этом случае ), - для чистой инфляции (в этом случае ) и - для темной энергии (в этом случае ). Как видно из рис. 5, все эти величины в рассматриваемом случае после всплеска выходят на постоянные значения, причем при , что соответствует инфляции на заключительной стадии эволюции. Таким образом, рассмотренный случай весьма близок к стандартному сценарию, с тем лишь отличием, что поздняя инфляция поддерживается не классическим, а фантомным полем. Рис. 5. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (4) и начальными условиями (6). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение Рассмотренный выше сценарий соответствовал малым начальным значениям фантомного потенциала . Увеличение начального значения фантомного потенциала может существенно изменить космологический сценарий. Определим начальное положение динамической системы выше особой точки : (7) В этом случае получаются принципиально отличные от рассмотренных выше фазовые диаграммы (рис. 6-8): фазовые траектории обходят особые точки типа «седло/фокус» и асимптотически прижимаются к границам запрещенной области. Рис. 6. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (7) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 7. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (7) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 8. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (7) в плоскости потенциалов . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Далее для одновременного отображения разномасштабных и разнознаковых величин мы используем авторскую взаимно-однозначную и непрерывно-дифференцируемую функцию : такую, что На рис. 9 показана эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (4) при начальных условиях (7). Мы видим, что эффективная энергия быстро стремится к нулю, давление становится положительным, а инвариантное космологическое ускорение стремится к бесконечно большим отрицательным значениям. Таким образом, происходит полная и резкая остановка космологического расширения, и Вселенная становится Евклидовой. Приведенные примеры показывают, насколько разнообразным может быть поведение космологической модели в зависимости от ее начального положения относительно особых точек. Заметим, что результаты, представленные на рис. 9, описывают случай перехода инфляционной Вселенной к Евклидовой. Как мы видим, никакой проблемы Big Rip в нашей модели не возникает. Рис. 9. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (4) и начальными условиями (7). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение . Серая горизонтальная линия на последнем графике соответствует значению , т.е. инфляции 1.1.3. Влияние величины параметров модели Выясним, как влияют на поведение модели абсолютные значения параметров и при сохранении знаков всех параметров. В качестве примера рассмотрим случай (8) Карта особых точек в этом примере совпадает с картой рис. 1 [3] при условии замены в координатах точек . На рис. 10-12 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (4) и начальных условий (9), соответствующих начальным значениям потенциалов: (9) Легко видеть, что этот случай качественно не отличается от рассмотренного выше с параметрами (4) (см. рис. 2-5). Изменение начальных условий приводит к аналогичным результатам. Главным фактором является доступность всех особых точек. Рис. 10. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (9) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): . Запрещенные области соответствуют конечному моменту времени Рис. 11. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (4) и начальными условиями (9) в фантомной плоскости Рис. 12. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (4) и начальными условиями (9). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение 1.2. Всплески космологического ускорения Как отмечалось в [7-9], наличие фантомного поля в космологической модели при малых значениях потенциала фантомного поля приводит к появлению фантомных всплесков сверхускорения, характеризующихся большими значениями . На рис. 13 показаны такие всплески. Как мы видим, при уменьшении начального значения потенциала фантомного поля всплеск ускорения происходит в более познее время, одновременно растет его амплитуда. После всплеска модель выходит на стадию инфляции. Рис. 13. Всплески космологического ускорения для параметров модели (4) при начальном значении потенциала классического поля и его производной . Слева направо: , , , и 2. Анализ результатов Как показали исследования, динамическая система (1) может иметь три типа поведения: I. Стандартный. Фазовые траектории в обеих плоскостях, и , накручиваются на центры/фокусы. Этот случай можно разбить на три подслучая: 1. Фазовые траектории в обеих плоскостях наматываются на нулевой доступный центр . Этот случай соответствует параметрам (10) и начальным условиям (11). При этом давление динамической системы стремится к нулю, космологическое ускорение совершает колебания с амплитудой порядка вблизи значения , соответствующего нерелятивистскому уравнению состояния. 2. Фазовые траектории в «классической» плоскости наматываются на доступный нулевой центр/фокус , тогда как фазовые траектории в фантомной плоскости наматываются на доступные ненулевые фокусы . Этот случай соответствует, например, параметрам (4) и начальным условиям (6) (см. рис. 3-6); параметрам (4) и начальным условиям (9) (см. рис. 11-13). Во всех этих случаях величина космологического ускорения имеет скачок , после которого космологическая модель выходит на инфляционный режим . 3. Фазовые траектории в «классической» плоскости наматываются на ненулевые недоступные центры/фокусы , тогда как фазовые траектории в фантомной плоскости наматываются на недоступные ненулевые центры , причем в обеих плоскостях фазовые траектории пытаются прилипнуть к границе области с нулевой эффективной энергией, в конечном итоге им это не удается сделать. В результате космологическое ускорение совершает ангармонические колебания с большой амплитудой вокруг значения . Этот случай соответствует параметрам (14) и начальным условиям (15) (см. рис. 23-25). II. Отскок. Фазовые траектории в плоскости асимптотически стремятся к линии , тогда как фазовые траектории в плоскости , отталкиваясь от седловых точек , уходят на бесконечность по асимптоте . Космологическое ускорение после всплеска выходит на режим инфляции - параметры модели (10) и начальные условия (13) (см. рис. 20-22). III. Прилипание. Фазовые траектории в обеих плоскостях и прижимаются к гиперповерхности нулевой эффективной энергии. Это происходит по причине отталкивания фазовой траектории от седловой точки (см., например, рис. 7) или по причине притяжения к недоступному центру/фокусу. Эффективная энергия быстро падает до нуля, космологическое ускорение стремится к - происходит очень резкое торможение: параметры (4) и начальные условия (7) (рис. 7-10), параметры (10) и начальные условия (12) (см. рис. 17-19). 3. Некоторые результаты численного моделирования 3.1. Случай недоступности особых точек и (10) 3.1.1. Общие свойства фазового пространства В этом случае особые точки имеют те же самые координаты, как и в предыдущем случае (5), а инвариантные характеристики равны Поскольку , особые точки и динамической системы недоступны. 3.1.2. Фазовые траектории динамической системы На рис. 14-16 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (10) и начальных условий (11) (11) Рис. 14. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (11) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 15. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (11) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 16. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (10) и начальными условиями (11). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение . Серая горизонтальная линия на последнем графике соответствует значению , т.е. инфляции Таким образом, при начальных условиях (11) фазовые траектории динамической системы в обеих плоскостях и наматываются на нулевой центр . При этом эффективная энергия и давление системы стремятся к нулю, а инвариантное космологическое ускорение совершает колебания вокруг значения , соответствующего макроскопическому нерелятивистскому уравнению состояния . Точно такие же колебания возникают в модели с классическим скалярным полем (см. [10, 11]). На рис. 17-19 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (10) и начальных условий (12): (12) Рис. 17. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (12) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): На рис. 20 и 21 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (10) и начальных условий (13) (13) когда динамическая система стартует с положения выше особой точки . Этот случай можно назвать «отскоком» - в фантомной плоскости система отскакивает от запрещенной области и быстро наращивает потенциальную и кинетическую энергию фантомного поля, выходя на инфляционный режим ускорения. Рис. 18. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (12) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 19. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (10) и начальными условиями (12). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение . Серая горизонтальная линия на последнем графике соответствует значению , т.е. инфляции Рис. 20. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (13) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 21. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (10) и начальными условиями (13) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): На рис. 22 показана эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (10) и начальными условиями (13). Рис. 22. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (10) и начальными условиями (13). Слева направо: безразмерная эффективная энергия ; безразмерное эффективное давление ; инвариантное космологическое ускорение . Серая горизонтальная линия на последнем графике соответствует значению , т.е. инфляции 3.2. Случай недоступности особых точек и (14) 3.2.1. Общие свойства фазового пространства В этом случае особые точки имеют те же самые координаты, как и в предыдущем случае (5), а инвариантные характеристики равны Поскольку , особые точки и динамической системы недоступны. 3.2.2. Фазовые траектории динамической системы На рис. 23-25 представлены результаты численного моделирования динамической системы (1) для параметров модели (14) и начальных условий (15): (15) Рис. 23. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (14) и начальными условиями (15) в «классической» плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 24. Космологическая эволюция скалярного дублета с параметрами (14) и начальными условиями (15) в фантомной плоскости . Фазовые диаграммы соответствуют моментам времени (слева направо): Рис. 25. Космологическая эволюция физических характеристик космологической модели с параметрами (14) и начальными условиями (15) Можно показать, что поведение динамической системы практически не зависит от начальных условий, несмотря на то, что география запрещенных областей может быть существенно различна, что, по-видимому, свидетельствует об устойчивости поведения модели при параметрах (14) по отношению к изменению начальных условий. Исследование поведения динамической системы при увеличении в 10 раз абсолютных значений параметров модели , но при сохранении их знаков приводит к качественно таким же результатам, с тем лишь отличием, что амплитуда колебаний космологического ускорения резко уменьшается и составляет порядка (на рис. 25 она превышает значение 60). Заключение Подводя итоги представленному здесь исследованию, заметим, что обнаруженные особенности динамической системы (1), связанные прежде всего с притяжением ее фазовых траекторий к гиперповерхностям нулевой эффективной энергии, могут быть положены в основу новых космологических сценариев. Действительно, выход космологической модели на стационарные орбиты с нулевой эффективной энергией при отличных от нуля потенциалах скалярных полей и их первых производных асимметричного дублета позволяет трактовать эти орбиты как чисто вакуумные состояния этих полей, соответствующих нулевой кривизне пространства-времени Фридмана, т.е. чисто Евклидову пространству. Это пространство, как оказывается, может быть не пустым, а содержать материю в форме пары синхронно осциллирующих скалярных полей, которые можно рассматривать в качестве виртуальных вакуумных полей. Отметим, что все рассмотренные случаи прилипания динамической системы к поверхностям нулевой эффективной энергии соответствуют очень ранним стадиям космологической эволюции. Возможная неустойчивость этих стационарных по отношению к возмущениям скалярных полей может стать источником рождения реальных частиц в результате скалярных взаимодействий, а вовсе не в результате гравитационной неустойчивости.

Скачать электронную версию публикации