The energy spectrum and the optical absorption spectrum of C₃₆ fullerene within the Hubbard model.pdf Введение После открытия в 1985 г. фуллерена С60 [1] начался интенсивный поиск углеродных фуллеренов Сn как с n > 60, так и с n < 60. Исследования углеродных фуллеренов Сn с показали, что они обладают изомерами, структура которых содержит изолированные пентагоны. Согласно эмпирическому правилу, которое получило название «Правило изолированных пентагонов» [2], фуллерены, содержащие изолированные пентагоны, являются наиболее стабильными. Особенностью малых фуллеренов (n < 60) является то, что они не имеют изомеров c изолированными пентагонами. Одним из малых фуллеренов является фуллерен С36, обнаруженный в 1998 г. [3]. Проведенные в работе [3] исследования показали, что этот фуллерен обладает группой симметрии D6h. Еще раньше (в 1994 г.) был обнаружен эндоэдральный фуллерен La@C36 [4]. В работе [5] было показано, что в молекуле La@C36 фуллерен С36 также обладает группой симметрии D6h. Исследованию физических и химических свойств фуллерена С36 посвящено довольно много работ [6, 7]. Фуллерен С36 c группой симметрии D6h состоит из 12 пентагонов и 8 гексагонов (рис. 1). Отметим, что из 36 атомов углерода можно построить 17 изомеров фуллерена С36 [8]. Из диаграммы Шлегеля, изображенной на рис. 1, видно, что у фуллерена С36 с группой симметрии D6h имеется четыре неэквивалентные связи и три группы неэквивалентных атомов углерода: G1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 31, 32, 33, 34, 35, 36}, G2 = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 30}, G3 = {8, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 29}. Рис. 1. Фуллерен С36 с группой симметрии D6h (а) и его диаграмма Шлегеля с указанием положения атомов углерода и связей между атомами углерода (б) К множеству G1 принадлежат атомы, которые находятся в вершинах сочленения одного гексагона и двух пентагонов, и, кроме того, каждый из них имеет двух ближайших соседей из этого же множества G1. К множеству G2 принадлежат атомы, которые находятся в вершинах сочленения одного гексагона и двух пентагонов, и каждый из них не имеет ближайших соседей из этого же множества G2. К множеству G3 принадлежат атомы, которые находятся в вершинах сочленения двух гексагонов и одного пентагона. Известно, что в фуллеренах углерод находится в sp2-гибритизированном состоянии, а электронные и химические свойства фуллеренов и нанотрубок в основном определяются π-электронами, которые могут перескакивать с одного атома углерода на другой. Кроме того, исследования углеродных систем показали, что эффективное взаимодействие двух электронов, находящихся на одном узле, составляет ~ 5 эВ [9]. Для описания электронных свойств углеродных наносистем [10-26] широко используется модель Хаббарда [27]. В рамках этой модели были изучены электронные и оптические свойства различных наносистем [10-25]. Так, например, в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций (ПСФ) были получены энергетические спектры и спектры оптического поглощения фуллерена С60 с группой симметрии Ih [16], фуллерена С70 с группой симметрии D6d [18] и фуллерена С20 с группами симметрии Ih, D5d и D3d [19]. Полученные в работах [16,18] результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными. Отметим также, что в работе [16] при изучении оптического спектра поглощения фуллерена С60 в рамках модели Хаббарда, исходя из экспериментально наблюдаемого спектра поглощения этого фуллерена, было показано, что эффективное взаимодействие двух электронов, находящихся на одном узле, составляет примерно 5.662 эВ, что согласуется с результатом работы [9]. Целью данной работы является исследование энергетического спектра и спектра оптического поглощения фуллерена С36 и эндоэдрального фуллерена La@C36 с группой симметрии D6h в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций. 1. Энергетический спектр фуллерена С36 Для описания π-электронной системы фуллерена С36 воспользуемся моделью Хаббарда [27]: , (1) где - операторы рождения и уничтожения электронов со спином на узле i; - оператор числа частиц со спином на узле i; - энергия одноэлектронного атомного состояния на узле i; - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла i на узел j; - энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на i-м узле; . Поскольку в фуллерене С36 имеется четыре типа неэквивалентных связей, то, как видно из диаграммы Шлегеля, изображенной на рис. 1, в рамках модели Хаббарда этим связям соответствуют четыре интеграла переноса: Следуя методу, предложенному в [26], запишем в ПСФ уравнения движения для операторов и , заданных в представлении Гейзенберга. В результате получим замкнутую систему дифференциальных уравнений: (2) Система уравнений (2) имеет точное аналитическое решение, используя которое, можно найти фурье-образ антикоммутаторных функций Грина: (3) где (4) (5) Зная фурье-образ антикоммутаторной функции Грина, можно найти энергетический спектр квантовой системы, который определяется полюсами функции Грина [28]. Таким образом, энергетический спектр фуллерена С36 с группой симметрии D6h определяется величинами Em, которые входят в функцию Грина (3). Энергетические состояния фуллерена С36 с группой симметрии D6h можно классифицировать в соответствии с неприводимыми представлениями группы D6h. Как известно, группа D6h имеет восемь одномерных неприводимых представлений , , , , , , , и четыре двумерных неприводимых представлений , , , [29]. Можно показать, что энергетические состояния фуллерена С36, определяемые полюсами функции Грина (3), связаны следующим образом с неприводимыми представлениями группы D6h: E1(a1g), E2(a2u), E3(e1u), E4(a1g), E5(e1g), E6(e2g), E7(a2u), E8(e1u), E9(b2u), E10(e2u), E11(e1g), E12,1(b1u), E12,2(b2g), E13(e2g), E14(b1g), E15(e2u), E16(e1u), E17(e2g), E18(a1g), E19(e2u), E20(e1g), E21,1(b1u), E21,2(b2g), E22(a2u), E23(a1g), E24(a2u), E25(e1u), E26(a1g), E27(e1g), E28(e2g), E29(a2u), E30(e1u), E31(b2u), E32(e2u), E33(e1g), E34,1(b1u), E34,2(b2g), E35(e2g), E36(b1g), E37(e2u), E38(e1u), E39(e2g), E40(a1g), E41(e2u), E42(e1g), E43,1(b1u), E43,2(b2g), E44(a2u). Важной физической характеристикой каждого энергетического уровня квантовой системы является степень его вырождения. Для того чтобы найти степень вырождения энергетических уровней фуллерена C36, воспользуемся следующим соотношением [16, 26]: (6) где N - число узлов в наносистеме. Подставляя величины Qj,i, которые определяются соотношениями (5), в формулу (6), получим для степеней вырождения энергетических уровней фуллерена C36 следующие значения: (7) Таким образом, соотношения (4) и (7) описывают энергетический спектр фуллерена С36 с группой симметрии D6h в модели Хаббарда в ПСФ. Результаты данных вычислений приведены в табл. 1, а также на рис. 2, и из них следует, что энергетический спектр фуллерена С36 с группой симметрии D6h состоит из 44 энергетических Рис. 2. Энергетический спектр фуллерена С36 с группой симметрии D6h состояний, из которых 16 энергетических состояний не вырождены, а 28 являются двукратно вырожденными. Из 28 двукратно вырожденных энергетических состояний энергетические состояния E12, E21, E34, и E43, как из табл. 1 и рис. 3, являются случайно вырожденными. Рис. 3. Энергетический спектр La@С36 с группой симметрии D6h Таблица 1 Энергетический спектр фуллерена С36 с группой симметрии D6h: значения энергии уровней, кратность их вырождения и неприводимые представления группы D6h, к которым они относятся № , эВ Ej, эВ gj E(Гj) № , эВ Ej, эВ gj E(Гj) 1 -4.955 -9.948 1 E1(a1g) 23 0.707 -4.286 1 E23(a1g) 2 -4.708 -9.701 1 E2(a2u) 24 0.954 -4.039 1 E24(a2u) 3 -4.640 -9.633 2 E3(e1u) 25 1.022 -3.971 2 E25(e1u) 4 -4.221 -9.214 2 E5(e1g) 26 1.441 -3.552 2 E27(e1g) 5 -4.127 -9.120 1 E4(a1g) 27 1.535 -3.458 1 E26(a1g) 6 -4.055 -9.048 2 E6(e2g) 28 1.607 -3.386 2 E28(e2g) 7 -3.613 -8.606 1 E7(a2u) 29 2.049 -2.944 1 E29(a2u) 8 -3.567 -8.560 2 E8(e1u) 30 2.095 -2.898 2 E30(e1u) 9 -3.542 -8.535 1 E9(b2u) 31 2.120 -2.873 1 E31(b2u) 10 -3.503 -8.496 2 E10(e2u) 32 2.159 -2.834 2 E32(e2u) 11 -3.187 -8.180 2 E11(e1g) 33 2.475 -2.518 2 E33(e1g) 12 -3.076 -8.069 1+1 E12,1(b1u), E12,2(b2g) 34 2.586 -2.407 1+1 E34,1(b1u), E34,2(b2g) 13 -2.775 -7.768 2 E13(e2g) 35 2.887 -2.106 2 E35(e2g) 14 -2.120 -7.113 1 E14(b1g) 36 3.542 -1.451 1 E36(b1g) 15 -2.103 -7.096 2 E15(e2u) 37 3.559 -1.434 2 E37(e2u) 16 -1.740 -6.733 2 E16(e1u) 38 3.922 -1.071 2 E38(e1u) 17 -1.633 -6.626 2 E17(e2g) 39 4.029 -0.964 2 E39(e2g) 18 -1.607 -6.600 1 E18(a1g) 40 4.055 -0.938 1 E40(a1g) 19 -1.433 -6.426 2 E19(e2u) 41 4.229 -0.764 2 E41(e2u) 20 -1.116 -6.109 2 E20(e1g) 42 4.546 -0.447 2 E42(e1g) 21 -1.102 -6.095 1+1 E21,1(b1u), E21,2(b2g) 43 4.560 -0.433 1+1 E43,1(b1u), E43,2(b2g) 22 -0.946 -5.939 1 E22(a2u) 44 4.716 -0.277 1 E44(a2u) 2. Обсуждение результатов Исследования, выполненные в работе [5], показали, что расстояния между атомами углерода в фуллерене С36 с группой симметрии D6h имеют следующие значения: (8) Для того чтобы найти численные значения для интегралов переноса, которые соответствуют фуллерену С36, воспользуемся следующим соотношением [12, 13]: . (9) Подставляя (8) в соотношение (9), получим численные значения для интегралов переноса для фуллерена С36 с группой симметрии D6d: (10) Для того чтобы получить энергетический спектр фуллерена С36, воспользуемся формулой , (11) которая получена из выражения для функции Грина (3). Здесь - это энергия k-го энергетического уровня относительно энергии : (12) Как видно из соотношений (11) и (12), для того чтобы найти энергетический спектр фуллерена С36, необходимо определить еще численные значения параметров и . В работе [16], исходя из экспериментально наблюдаемого оптического спектра поглощения фуллерена C60, в рамках модели Хаббарда в ПСФ были получены следующие значения параметров , , которыми и воспользуемся для вычисления энергетического спектра фуллерена С36. Отметим, что согласуется с результатами работы [9], согласно которой значение эффективной энергии кулоновского взаимодействия двух -электронов, находящихся на одном узле, составляет ~ 5 эВ. Подставляя численные значения для интегралов переноса (10) и численные значения для и в соотношения (4), (7), (11) и (12), для фуллерена С36 получим численные значения для величин , , которые приведены в табл. 1. Рассмотрим структуру энергетического спектра фуллерена С36 (см. рис. 2). Как видно из соотношений (11) и рис. 2, энергетические состояния фуллерена С36 образуют две подзоны Хаббарда. Энергетические состояния, образующие нижнюю подзону Хаббарда, сосредоточены вблизи энергии , а энергетические состояния, образующие верхнюю подзону Хаббарда, - вблизи энергии . Относительное расположение энергетических уровней фуллерена С36 зависит от соотношения между интегралами перескока. Например, из соотношений (3) и (4) следует, что для фуллерена С36 , при , , при . Рассмотрим теперь электронную структуру эндоэдрального фуллерена La@С36. Напомним, что проведенные в [5] исследования показали, что эндоэдральный фуллерен La@С36, как и фуллерен С36, обладает группой симметрии D6h, при этом расстояния между атомами углерода в этой молекуле имеют следующие значения: (13) Подставляя (13) в соотношение (9), получим следующие численные значения для интегралов переноса для эндоэдрального фуллерена La@С36: (14) Считается, что внедрение атома металла внутрь фуллерена не приводит к существенному изменению его энергетических уровней. В первом приближении можно считать, что влияние внедренного атома приводит лишь к добавлению лишних электронов в остов фуллерена [30]. При образовании эндоэдрального фуллерена La@С36, два валентных электрона атома Лантана переходят в оболочку фуллерена С36. Два электрона, перешедшие с атома металла на фуллерен С36, как видно из рис. 3, займут уровни E23(a1g), E24(a2u). Из рис. 2 и 3 и табл. 1 и 2 видно, что энергетические спектры молекул С36 и La@С36 отличаются друг от друга относительным расположением энергетических состояний E7(a2u), E8(e1u), E17(e2g), E18(a1g), E29(a2u), E30(e1u), E39(e2g) и E40(a1g). Одной из важнейших характеристик квантовой системы является ее спектр оптического поглощения. Используя полученные выше энергетические спектры молекул С36 и La@С36, можно найти переходы, которые обуславливают оптические спектры этих молекул. С помощью теории групп [31] найдем, какие переходы у молекул С36 и La@С36 разрешены, а какие запрещены с точки зрения симметрии. Можно показать, что в энергетическом спектре молекулы с группой симметрии D6h разрешены следующие переходы: (15) Таблица 2 Энергетический спектр эндоэдрального фуллерена La@С36 с группой симметрии D6h: значения энергии уровней, кратность их вырождения и неприводимые представления группы D6h, к которым они относятся № , эВ Ej, эВ gj E(Гj) № , эВ Ej, эВ gj E(Гj) 1 -4.904 -9.897 1 E1(a1g) 23 0.758 -4.235 1 E23(a1g) 2 -4.681 -9.674 1 E2(a2u) 24 0.981 -4.012 1 E24(a2u) 3 -4.587 -9.580 2 E3(e1u) 25 1.075 -3.918 2 E25(e1u) 4 -4.202 -9.195 2 E5(e1g) 26 1.460 -3.533 2 E27(e1g) 5 -4.072 -9.065 1 E4(a1g) 27 1.590 -3.403 1 E26(a1g) 6 -4.019 -9.019 2 E6(e2g) 28 1.643 -3.350 2 E28(e2g) 7 -3.549 -8.542 2 E8(e1u) 29 2.113 -2.880 2 E30(e1u) 8 -3.540 -8.533 1 E7(a2u) 30 2.122 -2.871 1 E29(a2u) 9 -3.530 -8.523 1 E9(b2u) 31 2.132 -2.861 1 E31(b2u) 10 -3.496 -8.489 2 E10(e2u) 32 2.166 -2.827 2 E32(e2u) 11 -3.137 -8.130 2 E11(e1g) 33 2.525 -2.468 2 E33(e1g) 12 -3.095 -8.088 1+1 E12,1(b1u), E12,2(b2g) 34 2.567 -2.426 1+1 E34,1(b1u), E34,2(b2g) 13 -2.816 -7.809 2 E13(e2g) 35 2.846 -2.147 2 E35(e2g) 14 -2.132 -7.125 1 E14(b1g) 36 3.530 -1.463 1 E36(b1g) 15 -2.119 -7.112 2 E15(e2u) 37 3.543 -1.450 2 E37(e2u) 16 -1.780 -6.773 2 E16(e1u) 38 3.882 -1.111 2 E38(e1u) 17 -1.663 -6.656 1 E18(a1g) 39 3.999 -0.994 1 E40(a1g) 18 -1.634 -6.627 2 E17(e2g) 40 4.028 -0.965 2 E39(e2g) 19 -1.454 -6.447 2 E19(e2u) 41 4.208 -0.785 2 E41(e2u) 20 -1.178 -6.171 2 E20(e1g) 42 4.484 -0.509 2 E42(e1g) 21 -1.120 -6.113 1+1 E21,1(b1u), E21,2(b2g) 43 4.542 -0.451 1+1 E43,1(b1u), E43,2(b2g) 22 -1.020 -6.013 1 E22(a2u) 44 4.642 -0.351 1 E44(a2u) Из функции Грина (3), соотношений (15), рис. 2 и 3 и табл. 3 и 4 следует, что у фуллерена С36 имеется 175 разрешенных переходов, а у молекулы La@С36 - 173 разрешенных переходов. Остальные переходы являются запрещенными. Из рис. 2 и 3 видно, что в результате внедрения атома Лантана в фуллерен С36 два электрона, перешедших с атома Лантана на фуллерен С36, заполняют два нижних свободных энергетических состояния в верхней подзоне Хаббарда. Это приводит к тому, что двенадцать разрешенных переходов из нижней подзоны Хаббарда в верхнюю подзону Хаббарда, имеющихся в фуллерене С36, исчезают, при этом в эндоэдральном фуллерене La@С36 появляются десять новых разрешенных переходов в верхней подзоне Хаббарда, отсутствующих в фуллерене С36. Таблица 3 Разрешенные переходы в энергетическом спектре фуллерена С36 № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ 1 E23-E22 1.653 45 E35-E16 4.628 89 E34,2-E12,1 5.662 133 E37-E11 6.746 2 E27-E22 2.387 46 E37-E21,2 4.661 90 E34,1-E12,2 5.662 134 E41-E13 7.003 3 E24-E20 2.070 47 E37-E20 4.675 91 E37-E14 5.679 135 E29-E1 7.004 4 E25-E20 2.138 48 E28-E12,1 4.683 92 E39-E16 5.769 136 E36-E10 7.046 5 E23-E16 2.448 49 E34,2-E15 4.689 93 E40-E16 5.795 137 E30-E1 7.050 6 E26-E22 2.481 50 E29-E13 4.824 94 E44-E20 5.832 138 E36-E9 7.085 7 E24-E18 2.562 51 E30-E13 4.870 95 E41-E17 5.862 139 E39-E12,1 7.105 8 E25-E18 2.630 52 E31-E13 4.894 96 E24-E1 5.909 140 E38-E11 7.109 Окончание табл. 3 № ∆E ∆E,эВ № ∆E ∆E,эВ № ∆E ∆E,эВ № ∆E ∆E,эВ 9 E25-E17 2.655 53 E32-E13 4.933 97 E35-E12,1 5.963 141 E33-E3 7.114 10 E28-E21,1 2.710 54 E27-E10 4.944 98 E25-E1 5.977 142 E33-E2 7.182 11 E27-E19 2.874 55 E36-E19 4.976 99 E33-E10 5.978 143 E41-E12,2 7.304 12 E28-E19 3.041 56 E35-E15 4.990 100 E42-E19 5.980 144 E43,1-E13 7.334 13 E29-E20 3.165 57 E40-E22 5.000 101 E43,2-E19 5.993 145 E41-E11 7.416 14 E27-E16 3.181 58 E27-E8 5.008 102 E33-E8 6.041 146 E35-E3 7.527 15 E30-E10 3.211 59 E38-E20 5.037 103 E27-E3 6.081 147 E39-E10 7.532 16 E32-E21,2 3.261 60 E27-E7 5.054 104 E33-E7 6.088 148 E34-E1 7.541 17 E32-E20 3.274 61 E25-E6 5.077 105 E34,2-E10 6.090 149 E39-E9 7.571 18 E26-E16 3.276 62 E24-E4 5.081 106 E29-E6 6.104 150 E39-E8 7.596 19 E28-E16 3.348 63 E26-E8 5.102 107 E39-E15 6.132 151 E37-E6 7.614 20 E33-E22 3.421 64 E28-E10 5.111 108 E27-E2 6.148 152 E40-E8 7.621 21 E27-E15 3.544 65 E39-E21,1 5.131 109 E30-E6 6.150 153 E43,1-E12,2 7.635 22 E29-E18 3.657 66 E26-E7 5.148 110 E31-E6 6.174 154 E43,2-E12,1 7.635 23 E29-E17 3.682 67 E25-E4 5.149 111 E26-E3 6.175 155 E40-E7 7.667 24 E34,1-E21,2 3.689 68 E28-E9 5.150 112 E29-E4 6.176 156 E37-E5 7.780 25 E34,2-E21,1 3.689 69 E28-E8 5.174 113 E43,1-E17 6.193 157 E44-E11 7.903 26 E30-E18 3.703 70 E24-E5 5.176 114 E32-E6 6.213 158 E38-E6 7.976 27 E28-E15 3.710 71 E37-E17 5.192 115 E30-E4 6.222 159 E38-E4 8.048 28 E30-E17 3.728 72 E32-E12,2 5.234 116 E26-E2 6.243 160 E42-E10 8.050 29 E31-E17 3.753 73 E29-E11 5.236 117 E28-E3 6.247 161 E43,2-E10 8.063 30 E32-E17 3.792 74 E25-E5 5.243 118 E29-E5 6.270 162 E42-E8 8.113 31 E25-E13 3.797 75 E30-E11 5.283 119 E42-E16 6.287 163 E38-E5 8.143 32 E33-E19 3.908 76 E41-E21,2 5.331 120 E30-E5 6.316 164 E42-E7 8.159 33 E35-E21,1 3.989 77 E41-E20 5.344 121 E44-E18 6.324 165 E41-E6 8.283 34 E34,2-E19 4.020 78 E32-E11 5.346 122 E37-E13 6.334 166 E41-E5 8.450 35 E24-E11 4.142 79 E23-E3 5.347 123 E41-E14 6.348 167 E43,1-E6 8.614 36 E25-E11 4.210 80 E34,1-E13 5.361 124 E32-E5 6.380 168 E39-E3 8.669 37 E34,1-E17 4.219 81 E23-E2 5.415 125 E35-E10 6.391 169 E40-E3 8.694 38 E33-E16 4.215 82 E39-E19 5.462 126 E35-E9 6.430 170 E40-E2 8.762 39 E23-E8 4.274 83 E42-E22 5.492 127 E35-E8 6.454 171 E44-E4 8.843 40 E23-E7 4.320 84 E38-E18 5.529 128 E37-E12,2 6.635 172 E38-E1 8.876 41 E35-E19 4.321 85 E38-E17 5.555 129 E34,1-E6 6.641 173 E44-E5 8.937 42 E31-E14 4.239 86 E36-E15 5.645 130 E42-E15 6.649 174 E42-E3 9.186 43 E32-E14 4.278 87 E43,1-E21,2 5.662 131 E43,2-E15 6.663 175 E42-E2 9.254 44 E33-E15 4.578 88 E43,2-E21,1 5.662 132 E38-E13 6.696 Таблица 4 Разрешенные переходы в энергетическом спектре эндоэдрального фуллерена La@C36 № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ 1 E25-E23 0.317 45 E35-E19 4.300 89 E34,1-E12,2 5.662 133 E38-E11 7.019 2 E27-E24 0.479 46 E33-E16 4.305 90 E37-E14 5.674 134 E41-E13 7.024 3 E26-E24 0.608 47 E35-E16 4.626 91 E40-E16 5.779 135 E29-E1 7.026 4 E30-E23 1.356 48 E33-E15 4.644 92 E39-E16 5.808 136 E36-E10 7.027 5 E29-E23 1.364 49 E37-E21,2 4.663 93 E44-E20 5.820 137 E36-E9 7.061 6 E33-E24 1.543 50 E34,2-E15 4.687 94 E41-E17 5.842 138 E33-E3 7.112 7 E25-E20 2.253 51 E37-E20 4.721 95 E42-E19 5.938 139 E39-E12,1 7.123 8 E27-E22 2.480 52 E28-E12,1 4.738 96 E35-E12,1 5.940 140 E33-E2 7.205 9 E26-E22 2.610 53 E30-E13 4.930 97 E25-E1 5.979 141 E41-E12,2 7.302 10 E25-E17 2.708 54 E29-E13 4.938 98 E43,2-E19 5.996 142 E41-E11 7.345 11 E25-E18 2.737 55 E31-E13 4.948 99 E33-E10 6.021 143 E43,1-E13 7.358 12 E28-E21,1 2.763 56 E27-E10 4.957 100 E27-E3 6.048 144 E35-E3 7.433 13 E27-E19 2.915 57 E35-E15 4.965 101 E34,2-E10 6.064 145 E34-E1 7.472 14 E40-E24 3.018 58 E32-E13 4.982 102 E33-E7 6.065 146 E39-E10 7.525 15 E28-E19 3.097 59 E36-E19 4.985 103 E33-E8 6.073 147 E40-E7 7.539 Окончание табл. 4 № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ № ∆E ∆E, эВ 16 E38-E23 3.124 60 E27-E7 5.000 104 E30-E6 6.132 148 E40-E8 7.548 17 E27-E16 3.240 61 E27-E8 5.009 105 E29-E6 6.141 149 E39-E9 7.559 18 E32-E21,2 3.286 62 E40-E22 5.019 106 E27-E2 6.141 150 E37-E6 7.561 19 E30-E10 3.292 63 E38-E20 5.060 107 E39-E15 6.148 151 E39-E8 7.577 20 E29-E20 3.300 64 E25-E6 5.094 108 E31-E6 6.150 152 E43,1-E12,2 7.636 21 E32-E20 3.344 65 E26-E7 5.130 109 E43,1-E17 6.176 153 E43,2-E12,1 7.636 22 E26-E16 3.370 66 E26-E8 5.138 110 E26-E3 6.177 154 E37-E5 7.744 23 E28-E16 3.423 67 E28-E10 5.140 111 E32-E6 6.184 155 E44-E11 7.779 24 E42-E24 3.502 68 E25-E4 4.147 112 E30-E4 6.186 156 E38-E6 7.901 25 E33-E22 3.545 69 E39-E21,1 5.149 113 E29-E4 6.194 157 E38-E4 7.954 26 E27-E15 3.580 70 E28-E9 5.174 114 E28-E3 6.230 158 E42-E10 7.980 27 E34,1-E21,2 3.688 71 E37-E17 5.176 115 E42-E16 6.264 159 E42-E7 8.024 28 E34,2-E21,1 3.688 72 E28-E8 5.192 116 E26-E2 6.270 160 E42-E8 8.032 29 E30-E17 3.747 73 E30-E11 5.251 117 E44-E18 6.305 161 E38-E5 8.083 30 E29-E17 3.756 74 E29-E11 5.259 118 E30-E5 6.315 162 E43,2-E10 8.038 31 E28-E15 3.763 75 E32-E12,2 5.260 119 E29-E5 6.324 163 E41-E6 8.227 32 E31-E17 3.765 76 E25-E5 5.276 120 E41-E14 6.339 164 E41-E5 8.409 33 E30-E18 3.776 77 E32-E11 5.303 121 E37-E13 6.359 165 E43,1-E6 8.561 34 E29-E18 3.785 78 E41-E21,2 5.328 122 E35-E9 6.376 166 E40-E3 8.587 35 E32-E17 3.799 79 E34,1-E13 5.384 123 E35-E10 6.342 167 E39-E3 8.616 36 E44-E23 3.885 80 E41-E20 5.386 124 E32-E5 6.367 168 E40-E2 8.680 37 E25-E13 3.891 81 E39-E19 5.482 125 E35-E8 6.394 169 E44-E4 8.714 38 E35-E21,1 3.966 82 E42-E22 5.504 126 E34,1-E6 6.586 170 E38-E1 8.786 39 E33-E19 3.979 83 E38-E17 5.516 127 E42-E15 6.603 171 E44-E5 8.844 40 E34,2-E19 4.022 84 E38-E18 5.545 128 E37-E12,2 6.637 172 E42-E3 9.071 41 E34,1-E17 4.201 85 E36-E15 5.650 129 E43,2-E15 6.661 173 E42-E2 9.164 42 E25-E11 4.212 86 E43,1-E21,2 5.662 130 E37-E11 6.680 43 E31-E14 4.263 87 E43,2-E21,1 5.662 131 E38-E13 6.698 44 E32-E14 4.297 88 E34,2-E12,1 5.662 132 E30-E1 7.018 Заключение Исследование фуллерена С36 и эндоэдрального фуллерена La@С36 с группами симметрии D6h в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций показало, что в обоих молекулах нижняя подзона Хаббарда полностью занята, в то время как верхняя подзона Хаббарда в фуллерене С36 свободна, в эндоэдральном фуллерене La@С36 в верхней подзоне Хаббарда имеется два электрона. Кроме того, данные исследования показали, что в формировании оптических спектров поглощения молекул С36 и La@С36 участвуют 175 и 173 разрешенных переходов соответственно. Отметим также, что исследования оптических свойств фуллеренов C60 и С70, выполненные в рамках модели Хаббарда в работах [12, 14, 16, 18], показали хорошее соответствие теоретических результатов и экспериментальных данных. Это позволяет считать, что модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций достаточно хорошо описывает электронные свойства углеродных наносистем.

Скачать электронную версию публикации