Generation of harmonic oi in ondulators with multi-periodic fields.pdf Введение Ондуляторное излучение происходит от релятивистских электронов, движущихся вдоль оси ондулятора в пространственно-периодическом магнитном поле и испытывающих малые поперечные отклонения от оси. Физическая природа ОИ сходна с природой синхротронного излучения (СИ); в отличие от СИ, спектр которого квазинепрерывен в диапазоне от радио- до рентгеновского излучения, ОИ обладает более высокой направленностью и узким спектром, в котором обычно присутствуют всего несколько гармоник. ОИ было предсказано Гинзбургом [1] и открыто Мотцом [2]. Теория СИ и ОИ хорошо разработана и описана в литературе (см., например, [3-7]). Интерес к ОИ в последние годы вызван, прежде всего, развитием лазеров на свободных электронах, хотя спонтанное ОИ также привлекает внимание ученых. В ЛСЭ используется либо резонаторная многопроходная схема генерации когерентного ОИ, где излучение заключено между зеркалами на двух концах ондулятора и взаимодействует с электронами на многих проходах, либо однопроходная схема, где формирование микробанчей электронов на длинах волн гармоник ОИ происходит за один проход излучения в длинном ондуляторе. Описание этих процессов изложено с разной степенью сложности [8-11]. Резонансные длины волн гармоник ОИ описываются ондуляторным уравнением , , (1) где λu - период ондулятора; keff - эффективный ондуляторный параметр; - средний квадратичный угол отклонения скорости электрона от оси; θ - угол от оси в направлении на наблюдателя; n - номер гармоники ОИ; γ - релятивистский фактор электронов. Для плоского ондулятора , . Для ондулятора с двумя разными рядами магнитов формула (1) по существу не меняется, а учёт двух независимых линеек магнитов, например по x и y, производится заменой , , где e - заряд электрона, m - его масса, с - скорость света, - напряженности магнитных полей в ондуляторе. В спиральном ондуляторе Hx = Hy, периоды λu по x и y равны друг другу, и в идеале он излучает на оси только основную гармонику. В реальных ондуляторах необходимо учитывать отклонение электронов от оси и разброс их энергий σe. Для спонтанного ОИ разброс энергий учитывается свёрткой , где - дифференциальная интенсивность излучения и νn - параметр расстройки, , - резонансы ОИ, а угол отклонения от оси входит в аналитические выражения для функций Бесселя. Учёт потерь для ОИ также может быть проведён феноменологически с использованием коэффициентов уширения (см., например, [12]). Особую важность при этом представляет анализ линий спектра ОИ с учётом потерь в длинных ондуляторах с мультипериодическими магнитными полями. Это связано с тем, что в однопроходных ЛСЭ требуются ондуляторы большой длины, в которых могут присутствовать непериодические компоненты магнитного поля и гармоники основного магнитного поля. Уширение линий спектра ОИ за счёт непериодических магнитных составляющих в сочетании с расходимостью пучка и разбросом энергий в нём исследовано, например, в [13-15]. В реальных ондуляторах ведётся строгий учёт непериодических магнитных компонент и минимизация интегралов поля вдоль ондуляторов; разброс энергии электронов зависит от источника излучения и учитывается в первую очередь при расчёте ОИ. Сложнее учесть гармоники периодического магнитного поля ондулятора, которые в той или иной мере всегда присутствуют. Аналитический расчёт ОИ в двухчастотном плоском ондуляторе в [16, 17] содержал ошибки; опечатки присутствуют также в [18-24] в формулах для функций Бесселя и интенсивности ОИ, им следуют противоречивые выводы о возможном подавлении и усилении тех или иных гармоник ОИ вторым мультипериодическим магнитным полем. Корректные выражения для коэффициентов Бесселя в бигармоническом магнитном поле плоского ондулятора были представлены в работах [25-29]. Проведём анализ ОИ в некоторых эллиптических ондуляторах с гармониками периодического магнитного поля. Это представляет важность как с точки зрения точного аналитического результата, так и с точки зрения наблюдаемого влияния на ОИ. Изменение спектральных характеристик ОИ может быть использовано для диагностики и юстировки самого ондулятора, а также для генерации гармоник ОИ. 1. Коэффициенты Бесселя и спонтанное ОИ некоторых эллиптических ондуляторов Рассмотрим эллиптический двухчастотный ондулятор с осью по координате z со следующим ортогональным sin-sin-магнитным полем: . (2) Непосредственное вычисление интеграла излучения на оси даёт функции Бесселя . Под углом к оси получаем , (3) где θ - угол отклонения от оси; φ - азимутальный угол, и параметры , . (4) Если вводить более сложные функции Бесселя, зависящие от большего числа параметров, включая угол θ, получаются поправки к (3); разница при этом составляет < 1 %. Более общее выражение будет приведено в п. 2. Полная интенсивность ОИ имеет следующий вид: . (5) Положим для определённости b = 1. Зависимости коэффициентов Бесселя для каждой поляризации гармоник ОИ с n = 1, 3, 5 от напряженности третьей гармоники магнитного поля, dH0, h = 3, представлены на рис. 1 в диапазоне 1 < k < 4. Четные гармоники зависят от угла отклонения от оси; их интенсивность в реальных условиях, как правило, менее нескольких процентов. Рис. 1. Коэффициенты Бесселя для гармоник n = 1, 3, 5 ОИ в эллиптическом sin-sin-ондуля¬торе (2) с b = 1, h = 3, при значениях ондуляторного параметра 1 < k < 4. Номера поверхностей соответствуют следующим номерам гармоник: 1 - n = 1 (красно-коричневый цвет), 3 - n = 3 (зелёный цвет), 5 - n = 5 (синий цвет) На графиках на рис. 1 видно, что для ондулятора с магнитным полем в x-поляризации излучения бóльшую величину имеет коэффициент Бесселя для основного тона, n = 1 (поверхность 1 на рис. 1, а), а коэффициенты Бесселя для гармоник ОИ (поверхность 3 для n = 3 и поверхность 5 для n = 5 на рис. 1, а) оказываются значительно меньше, чем для n = 1. Кроме того, практически не зависят от d. В y-поля¬ризации доминирует коэффициент Бесселя третьей гармоники, (поверхность 3 на рис. 1, б), затем следует (поверхность 5 на рис. 1, б); > , и соответственно бóльшую интенсивность гармоник ОИ (см. рис. 1, б и 2, б). Интенсивность основного тона I1 крайне мала по сравнению с интенсивностью гармоник (см. рис. 2, б). Это может представлять интерес в ЛСЭ, так как слабый основной тон не вызовет преждевременного насыщения гармоник. В случае если периоды магнитного поля по x и y одинаковы, h = 1, то получаем плоский ондулятор с магнитным полем, повернутым вокруг оси ондулятора. При этом нет безусловного доминирования y-поляризованных компонент третьей и пятой гармоник в спектре ОИ, которое наблюдалось для h = 3 на рис. 2, б. Анализ в этом случае точно повторяет случай обычного плоского ондулятора, и мы его не приводим. Отметим, что при d = b = 1, т.е. получаем плоский ондулятор с полем наибольшей амплитуды: . Рассмотрим эллиптический ондулятор с sin-cos-магнитным полем . (6) Коэффициенты Бесселя в этом случае записывается таким образом: . (7) Как и в предыдущем случае (2), выберем в (6) кратность периодов ондулятора h = 3 и для определённости амплитуду одного поля b = 1. Коэффициенты Бесселя для гармоник ОИ n = 1, 3, 5 мало отличаются от проанализированного выше случая поля sin-sin (2) (см. рис. 1). Интенсивности ОИ определяются по формуле (5) с учетом (7). Отклонение от оси на угол приводит к появлению чётных гармоник малой интенсивности ~ 1 %; нечетные гармоники при этом почти не изменяются. Наконец, рассмотрим случай h = 1 поля (6), где для определённости b = 1, т.е. эллиптический ондулятор с разными напряженностями полей, , и одинаковыми периодами. Получаем поведение коэффициентов Бесселя, показанное на рис. 3. Рис. 3. Коэффициенты Бесселя для гармоник n = 1, 3, 5 ОИ в эллиптическом cos-sin-ондуля¬торе (6) с b = 1, h = 1 при значениях ондуляторного параметра 1 < k < 4. Номера поверхностей соответствуют следующим номерам гармоник: 1 - n = 1 (красно-коричневый цвет), 3 - n = 3 (зелёный цвет), 5 - n = 5 (синий цвет) Коэффициенты Бесселя при h = 1 в (6) сильнее зависят от d и k, чем при h = 3, и их поведение в зависимости от d другое (ср. рис. 3 с рис. 1). При d = 1 получаем обычный спиральный ондулятор; на его оси излучается только основной тон и , . Доля четных гармоник за счет угла θ в реальных установках обычно мала: 0 усиливают высшие гармоники ОИ и ослабляют основной тон излучения плоского ондулятора c k > 1.5 и h = 3 в (8). Пятая гармоника поля влияет мало. Наибольшая разница в интенсивности излучения гармоник достигается при d ≈ +0.5 (рис. 4, б). При этом для излучения гармоник, естественно, предпочтительны большие значения k. Рис. 4. Коэффициенты Бесселя (а) и безразмерная интенсивность (б) для гармоник n = 1, 3, 5 ОИ плоского ондулятора с третьей гармоникой поля (8), h = 3, при 1 < k < 4. Номера поверхностей соответствуют следующим номерам гармоник: 1 - n = 1 (красно-коричневый цвет), 3 - n = 3 (зелёный цвет), 5 - n = 5 (синий цвет) 3. ОИ спирального ондулятора с бигармоническим магнитным полем Проанализируем влияние гармоник магнитного поля на излучение спирального ондулятора. В частности, в спиральном ондуляторе [40] с амплитудой магнитного поля 9.7 кГн была зафиксирована третья гармоника амплитудой 0.8 кГн в поле следующей конфигурации: , (10) где λu=2.3 см, k = 2.21622, h = 3, d = 0.0825. Вычисляя интеграл излучения для электрона в поле (10), приходим к следующим точным аналитическим выражениям для обобщённых функций Бесселя: ; (11) , , , ; (12) . (13) Обобщённые функции (11) входят в амплитуды интенсивностей ОИ для x- и y-поляризаций: ; (14) . (15) Коэффициенты Бесселя, , входят в следующее выражение для интенсивности излучения: , (16) где - параметр расстройки; , λn - длины волн (см. (1)); . Для ондулятора с k = 2.21622, h = 3, d = 0.0825, λu = 2.3 см, N = 30 интегрирование с учётом разброса энергий и расходимости в пучке с E = 6.5 MэВ, γ =12.72, θx = 4.5 мрад, θy = 1.6 мрад, σe = 0.001, εx = 1.5 мммрад, εy = 0.35 мммрад, βx = 43.66 см, βy = 28.75 cм (данные из [40]) даёт интенсивность второй гармоники ОИ ~ 2-3 % от основного тона и интенсивность пятой гармоники ОИ ≈1.7-2 % интенсивности основного тона (см. рис. 5, а). На рис. 5 представлены интенсивности излучения ондулятора с полем (10), h = 3, d = 0.0825 (а) и d = 1 (б). Рис. 5. Нормированная безразмерная интенсивность (по горизонтали) ОИ ондулятора с полем (10): а - при d = 0.0825, k = 2.21622, h = 3, d = 0.0825, λu = 2.3 cм, N = 30, E = 6.5 MэВ, γ = 12.72, σe = 0.001, εx = 1.5 мммрад, εy = 0.35 мммрад, βx = 43.66 см, βy = 28.75 см, θx = 4.5 мрад, θy = 1.6 мрад, в зависимости от номера гармоники n ОИ (по вертикали); б - то же при d = 1 Рассчитанные аналитически вклады высших гармоник ОИ (см. рис. 5, а) согласуются с заявленными и показанными на графиках в [40] значениями, что подтверждает справедливость полученных нами результатов. Вторая гармоника определяется в основном расходимостью пучка; асимметрия пучка приводит к некоторой разнице в интенсивности гармоник двух поляризаций (см. рис. 5). Пятая гармоника в спектре ОИ появилась за счёт второй гармонической компоненты магнитного поля, h = 3, в (10); она значительно сильнее третьей и её интенсивность зависит как от d, так и от параметров пучка. На рис. 5, б видно, что поле с d = 1, h = 3 позволяет генерировать излучение пятой гармоники, по интенсивности превосходящее основной тон на фоне слабых остальных гармоник. Это может найти применение в ЛСЭ для генерации высших гармоник ОИ в пребанчере и их усиления и излучения в последующих каскадах. На рис. 6 показаны коэффициенты Бесселя (а) и интенсивности гармоник ОИ (б) в зависимости от k и d при γθ = 0.1, h = 3 в (10); разброс энергий в этом случае не учитывался. Большóе значение γθ = 0.1 выбрано для того, чтобы была заметнее вторая гармоника ОИ. Пятая гармоника заметна уже при d > 0.1, а при d = 0.6, k = 4 или при бóльших d и меньших k её интенсивность равна интенсивности основного тона и может превосходить последнюю даже в 2 раза (ср. поверхность 5 с поверхностью 1 на рис. 6). Присутствие второй гармоники ОИ определяется значением θγ и практически не зависит от гармоник магнитного поля ондулятора, т.е. от d в (10). Для выбранного нами достаточно большого угла отклонения от оси, θγ = 0.1, получаем вторую гармонику спектра, которая сильнее третьей и пятой при малых (рис. 6); однако при все гармоники излучения остаются очень слабыми по сравнению с основным тоном. Учёт разброса энергий естественно ослабляет гармоники ОИ, особенно высшие. Рис. 6. Зависимость коэффициентов Бесселя (а) и нормированной интенсивности гармоник ОИ (б) от k и d при γθ = 0.1, h = 3 в (10). Номера поверхностей соответствуют следующим номерам гармоник: 1 - n = 1 (красно-коричневый цвет), 2 - n = 2 (фиолетовый цвет), 3 - n = 3 (зелёный цвет), 5 - n = 5 (синий цвет) Используя полученные выше результаты, рассмотрим однопроходный ЛСЭ с ондуляторным полем (10), где h = 3 и d = 1. Используем для оценки ЛСЭ феноменологическую модель [26-29]. Эволюция мощности излучения и банчинга по длине ЛСЭ с электронным пучком с параметрами γ = 1570, I = 300 A, σe = 4.510-4, εn = 310-6 мммрад, β = 5 м и ондулятором с λu = 2.3 см, k = 3.2, h = 3, d = 1 (см. (10)) показана на рис. 7. В первом каскаде получаем длину волны основного тона λ1 = 57.7 нм (линия 1а), пятой гармоники (линия 5) - λ5 = 11.5 нм. Параметр Пирса для гармоник с n = 1, 3, 5: ρ1,3,5 ≈ {0.002, 0.0005, 0.001}, т.е. для пятой гармоники он в 2 раза выше, чем для третьей: ρ5 = 2ρ3 = 0.5ρ1. Конец группирователя электронов обозначен вертикальной линией на длине ≈ 6 м. После этого в ЛСЭ начинается рост индуцированного разброса энергий электронов и нелинейная генерация высших гармоник. В этом режиме мощность насыщения пятой гармоники (линия 5 на рис. 7), ~ 1 МВт, выше, чем третьей (линия 3а). Отметим важный факт: в линейном режиме рост мощности пятой гармоники происходит так же быстро, как и рост мощности основного тона (ср. линии 1а и 5 на отрезке 2-6 м на рис. 7). Поэтому рассмотренный ондулятор может эффективно работать в линейном режиме, группируя электроны на длине волны пятой гармоники в пребанчере ЛСЭ с усилением высших гармоник (рис. 7). При этом получаем мощное излучение, ~ 0.25 ГВт, на длине волны усилителя λsec2,n=1 = 11.5 нм (линия 1б), настроенного на пятую гармонику пребанчера; третья гармоника усилителя с λsec2,n=3 = 3.8 нм (линия 3б) индуцируется первой в нелинейном режиме и достигает мощности ~ 2 MВт; насыщение достигается после 20 м ондуляторов ЛСЭ. Рис. 7. Эволюция мощности по длине ондуляторов ЛСЭ с пребанчером и усилителем. Параметры ЛСЭ: k1 = 3.2, h = 3, d = 1, λu,1 = 2.3 см, k2 = 1.9, λu,2 = 2 см, γ = 1570, I = 300 A, β = 5 м, εn = 310-6 мммрад, σe = 2.510-4. Гармоники пребанчера (группирователя): n = 1 - 1а (красная линия), n = 3 - 3а (зелёная сплошная линия), n = 5 - 5 (синяя пунктирная линия), n = 2 - 2 (желтая линия), n = 4 - 4 (зелёная штриховая линия); гармоники излучателя: n = 1 - 1б (оранжевая сплошная линия), n = 3 - 3б (голубая пунктирная линия) Заключение Исследовано ОИ нескольких типов эллиптических ондуляторов с полем типа sin-sin (2), cos-sin (6) и с третьей гармоникой поля плоского (8) и спирального (10) ондуляторов. Получены точные аналитические выражения для коэффициентов Бесселя fn эллиптических ондуляторов. Увеличение амплитуды d направленного по x- кратного периодического поля ондулятора слабо влияет на коэффициенты Бесселя x-поляризации, fn,x, для ондулятора с sin-sin-полем (2) (b=1 для определённости); коэффициенты y-поляризации, fn,y, растут с увеличением d. Ондулятор с cos-sin-магнитным полем (6) и h = 3,5 и d  0.7 излучает высшие гармоники ОИ слабо, как и ондулятор с sin-sin-полем (2). Третья гармоника поля, h = 3, d > 0.5 в (2) даёт в y-поляризации излучения слабый основной тон I1 по сравнению с интенсивностью гармоник I3,5 (см. рис. 2, б). Выделив y-поля¬ризованное излучение в ЛСЭ с ондулятором с h = 3, получим слабый основной тон, который не вызовет преждевременного насыщения высших гармоник, и мощность насыщения последних возрастет на несколько порядков. Изучено влияние гармоник магнитного поля (8) плоского ондулятора, , , и спирального ондулятора . Интенсивность ОИ с ондулятором (10) с h = 3, , согласуется с экспериментом [40]. Для плоского ондулятора с полем (8) хорошее согласие получено с результатами численного моделирования в SPECTRA. Доля четных гармоник за счет конечного размера пучка в реальных условиях мала: 0.5, пятая гармоника доминирует в спектре ОИ. В однопроходном ЛСЭ мощность насыщения пятой гармоники излучения может превосходить мощность третьей гармоники в нелинейном режиме (см. рис. 7). В ЛСЭ с усилением высших гармоник такой ондулятор можно использовать в линейном режиме для группировки электронов на длине волны пятой гармоники. Проведённые нами оценки показывают, что в каскадном ЛСЭ с параметрами ондуляторов λu,1 = 2.3 см, k1 = 3.2, h = 3, d = 1 и λu,2 = 2 см, k2 = 1.9 и пучком электронов с γ = 1570, I = 300 A, β = = 5 м, εn = 310-6 мммрад, σe = 2.510-4 можно получить мощность излучения ~ 0.25 ГВт на длине волны основного тона усилителя-излучателя λsec2,n=1 = 11.5 нм, настроенного на пятую гармонику группирователя. Третья гармоника усилителя с λsec2,n=3 = 3.8 нм индуцируется первой в нелинейном режиме и достигает мощности ~ 2 МВт (см. рис. 7). Автор выражает благодарность A. Калитенко за помощь при выводе формул (14), (15), а также благодарит проф. А.В. Борисова и А.Е. Лобанова за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации