Spatial transformations of atoms.pdf Введение В литературе приводятся положительные результаты экспериментов по получению атомов с пространственно-одномерными [1, 2] и двумерными [1] электронными структурами; например, в эксперименте авторов работы [1] наблюдался переход трехмерного бозе-конденсата атомов в одномерный или двумерный, а в [2] - эффект образования одномерных двухэлектронных атомов из трехмерных. В связи с этим представляет интерес теоретическое исследование этого вопроса. Очевидно, в экспериментах такого типа и в равновесном состоянии системы атомов, согласно общим принципам квантовой механики [3], любой «изначально» трехмерный ( ) атом может с вероятностью трансформироваться в одномерную ( ) или двумерную ( ) конфигурацию, и наоборот - с вероятностью . В данной работе мы получаем общие соотношения, связывающие эти вероятности в случае, когда в системе атомов возможны только две пространственные конфигурации (п. 1), как это и имело место в упомянутых экспериментах, с перспективой их проверки в аналогичных. В п. 2 и 3 рассмотрен более сложный для анализа вариант с возможной реализацией всех трех ( ; ) пространственных конфигураций системы атомов; эта ситуация, насколько нам известно, еще не была осуществлена на эксперименте. В п. 4 обсуждаются полученные результаты и перспективы их развития. С другой стороны, сейчас нам неизвестны теоретические работы, в которых тоже рассматривалась подобная проблематика, поэтому список литературы по вопросу невелик и ограничен ссылками на упомянутые экспериментальные работы, имеющие к нему непосредственное отношение (включая и классическую книгу [3]). 1. Вероятности переходов 3↔1, 3↔2, 2↔1 и числа атомов в состояниях с размерностью 1, 2;3 при возможности реализации одной пары i ≠ j пространственных размерностей Сначала рассмотрим, например, переходы . При среднем числе трехмерных атомов среднее число одномерных , если система атомов, как выше указано, находится в равновесном состоянии, очевидно, есть . Однако следует учесть и то обстоятельство, что данный переход может происходить в общем случае по усложненной схеме, включающей и этот простой переход (при в формуле (1)) и с выполнением суммирования по всем возможным «промежуточным состояниям»: , (1) т.е. и с последовательно происходящими тождественными преобразованиями (1a) с таким же числом «промежуточных одномерных состояний» типа , и с одинаковым «начальным» и «конечным» «трехмерным состоянием» типа 3. Для атома может реализоваться один из различных вариантов перехода через эти «промежуточные состояния» с «парциальными» вероятностями каждый, так что результирующая связь между числами атомов с учетом всех «промежуточных состояний» и простого перехода получается суммированием по всем возможным значениям , что и отражено в уравнении (1). Таким образом, получаем следующую связь между числами атомов: (2а) и, аналогично, (2б) с суммой фигурирующей в (1) геометрической прогрессии . (3) В соотношениях (2а), (2б) между числами атомов величины и уже нельзя интерпретировать как собственно полные вероятности, поскольку они могут быть и больше единицы (см. ниже, например, вариант со значением ). Поэтому соотношения (2а), (2б) следует интерпретировать только как связи между числами атомов в системе. Заметим также в связи с этим, что числа атомов (2а), (2б) «в левой части уравнений» можно записать как сумму двух слагаемых и «в правой части», соответствующих вкладам простых переходов и с учетом только «промежуточных состояний» (в этом последнем случае результат суммирования, очевидно, есть - см. также (13а)). Тогда коэффициенты при (в т.ч. в упомянутом и рассматриваемом ниже частном случае ) и являются вероятностями этих переходов и с учетом величины (7а) со значениями, как и должно быть, меньшими единицы. Здесь же мы для удобства используем другие обозначения и интерпретацию с суммированием «по » в (1) от значения , т.е. не разделяя вкладов простого перехода и переходов с учетом вклада только «промежуточных состояний». При неизменном общем числе атомов ( ) (4) имеем и из (2а) находим тогда или . (5а) Совершенно аналогично из (2б) получаем . (5б) Подставив (5a), (5б) в (4), приходим после элементарных преобразований к уравнению для величины (при этом слагаемые, содержащие и «в разной степени», сокращаются, так что эти величины фигурируют в получающемся квадратном уравнении только в комбинации (1а)): . (6) Его решения таковы: . (7) Поскольку должно быть , то физическим является корень , в результате получаем , (7а) т.е., например, значения величин , вообще невозможны, а их значение является минимально возможным. Из (5a), (5б), (7а) следует также, что , (8a) . (8б) Из соображений «здравого смысла» в реальном эксперименте, проводимом в «нашем» трехмерном пространстве, «одномерная фракция», т.е. и вероятность перехода , должна иметь минимально возможное значение, которое, как установлено выше, равно , а трехмерная - максимально возможное, и из (7а) следует, что тогда надо положить . В этом частном случае из (8a), (8б) получаем , , (9а) причем в соответствии с (4) . (9б) Таким образом, в этой вероятной экспериментальной ситуации число атомов «трехмерной фракции» относительно числа атомов одномерной должно быть приблизительно в 1.6 раз больше. Как можно видеть, в этой ситуации величина больше единицы, а - меньше; однако это указывает лишь на то обстоятельство, что в соответствии с (9а) и не имеет прямого отношения к понятию вероятности. Нам также представляется, что эти физически разумные результаты (9а), (9б) подтверждают справедливость нашей интерпретации этих величин. Отметим также, что общие результаты здесь, в частности уравнения (7а), (8a), (8б), относятся к любым атомам, а также к любым из трех возможных комбинаций размерностей пространства , , , а не только к , с очевидным изменением индексов размерности. Аналогично, уравнения (9а), (9б) имеют место и для с заменой индекса . В связи с этим отсюда следует , что если отсутствующий пока «теоретический» расчет одной из вероятностей для какого-либо атома в конкретной комбинации размерностей даст значение меньше «критического» ( ), то это будет означать, что соответствующие трансформации на самом деле невозможны, или же указывать на некорректность этого «теоретического» расчета. 2. Вероятности переходов 3↔1, 3↔2, 2↔1 и числа атомов при возможности реализации трех i, k, j = {1, 2, 3}, i ≠ k, j ≠ i, k пространственных размерностей. Общие соотношения Как и в п. 1, при наличии ненулевых вероятностей переходов атомов между состояниями с различными пространственными конфигурациями есть смысл говорить только о средних значениях чисел атомов в той или иной конфигурации. Если обозначить среднее число атомов в состояниях с пространственными размерностями , как соответственно, то их среднее число в состоянии с «третьей» , очевидно, равно . (10) Символом , например, здесь обозначена величина, соответствующая переходу с учетом как вклада простого перехода, так и различных «промежуточных состояний» (и с аналогичным представлением величины с перестановкой ): . (11) Здесь , , (11а) как и в п. 1, есть тождественные преобразования без изменения «начального» и, в данном случае, с «промежуточными состояниями» , соответственно; при этом первое слагаемое в квадратных скобках (11) соответствует простому переходу с отсутствием «промежуточных состояний», второе и третье - с числом «промежуточных состояний» типа соответственно, последнее же слагаемое соответствует «смешанным переходам» с числом «промежуточных состояний» обоего типа. Для атома в конфигурации реализуется один из этих вариантов перехода из конфигурации (и ) с конкретными значениями , , поэтому результирующее выражение вида (11), описывающее переход «из в » (и «из в »), которое мы для простоты далее обозначаем символом (и ), как и в п. 1, получим суммированием по , от до (но не от , так как вклад простого перехода, в отличие от (1), учтен в (11) отдельно - единица в квадратных скобках). Находим тогда, как и в п. 1, с учетом приведенного ниже выражения (13а) для суммы геометрической прогрессии, что при этом в (10) надо заменить , (12а) а также , (12б) так что вместо (10) имеем теперь выражение, аналогичное (2а), (2б) в п. 1: ; ; . (13) Физическая интерпретация коэффициентов , аналогична таковой для величин и в п. 1 (см. также, например, вторую формулу (24) с численными результатами в п. 3 - т.е., во всяком случае, существует вариант ; при этом значения и являются, следовательно, полными вероятностями соответствующего перехода с учетом только всех возможных «промежуточных состояний» в полученных в п. 3 двух вариантах численных решений). В (12a), (12б) для простоты введено обозначение , (13а) для суммы упомянутой выше геометрической прогрессии, а также , . (13б) Уравнение (13) для различных комбинаций индексов приобретает вид системы уравнений , (14a) , (14б) (14в) с дополнительным условием = = . (15) Фигурирующие в (13), (14а) - (14в) коэффициенты , с учетом (15) на самом деле не являются независимыми, поскольку значения всех трех величин взаимосвязаны этой системой уравнений (14а) - (14в) с дополнительным условием (15). Например, находимое из «подсистемы» (14a), (14б) с исключением при использовании соотношения (15) значение (а также, далее, значение (18а)) (16a) должно равняться ему же из «подсистемы» (14a), (14в) (и далее, «в случае », значению (18б)): . (16б) Это дает . (17) Аналогично «в случае » получаем , (18a) , (18б) , (19) а «в случае » , (20a) , (20б) . (21) В результате элементарных преобразований формулы (17), (19), (21) приобретают следующий вид: (22a) ; (22б) ; (22в) . Отметим, что система уравнений (22а) - (22в) не меняется при перестановке индексов : (22а) и (22б) «меняются местами»: (22а) (22б), а в (22в) происходит перестановка «левой» и «правой» части уравнения - в итоге система остается той же. Такие же свойства симметрии этих уравнений c очевидной модификацией их номеров имеют место и для перестановок , . Это вполне аналогично симметрии уравнений (5a), (5б), (6) в п. 1 с учетом свойства . 3. Оценка величин и , Анализ выражений (16а), (16б), (18а), (18б), (20а), (20б), (22а) - (22в) с получением более простых, связывающих вероятности переходов и числа атомов, в отличие от п. 1, затруднителен. Поэтому, как это было сделано и в п. 1, рассмотрим наиболее приемлемый для экспериментов в реальном трехмерном пространстве «предельный» вариант с максимально возможной долей : ; в этом случае, как и в п. 1, следует положить с последующей оценкой минимально возможного значения вероятности (естественно, отличающейся от соответствующей величины в п. 1 - см. ниже) и значений , . Из-за упомянутой выше симметрии уравнений (22а) - (22в) при перестановке (и остающейся в силе и в этом «предельном» варианте в соответствии с (12a), (12б), (13а), (13б)) тогда должны выполняться соотношения , (23a) , . (23б) При этом из (11a), (12а), (12б), (13a), (13б), (23a), (23б) следует, что в рассматриваемом случае надо положить , (24) с введением для простоты обозначения , (24а) а также, как можно убедиться, со значениями функций , : , (25а) , (25б) вид которых обусловлен структурой выражений (13б). При этом в выражении (25б), в отличие от (25а), отсутствует вклад последних двух слагаемых в (11) (а также соответственно в (12а) и (13б)) в силу идентичности в этом частном случае выражений , (11а). В силу той же симметрии уравнений при перестановке здесь положено также , (26) так что, аналогично кратким обозначениям (24), имеем . (27) Тогда уравнения (22а), (22б), как можно видеть, эквивалентны одному: . (28) Уравнение же (22в) при этом никакой дополнительной информации не содержит, так как обращается в тождество. К уравнению (28) следует добавить и соотношение (15), переписанное после некоторых преобразований с использованием, например, (16б), (18б), (20б), и введенных обозначений в виде (см. также далее (35а), (35б)): . (29) Здесь фактор появляется из-за «удвоения» одинаковых вкладов в (15). Уравнение (29) после простых преобразований принимает следующий вид: . (30) Уравнения (28), (30) с учетом вида , (25а), (25б) образуют систему двух уравнений для определения двух неизвестных в физическом интервале их значений . Для дальнейшего заметим, что уравнение (28) можно переписать в виде . (31) При решении получающейся системы (30), (31) следует рассмотреть два варианта, при которых удовлетворяется уравнение (31): I. . Тогда получаем систему двух уравнений: , (32а) . (32б) Ее численное решение с достаточной для наших целей точностью дает следующие значения : , . (33) В корректности этого решения нетрудно убедиться прямой подстановкой в уравнения (32а), (32б) с учетом соответствующих значений , . Таким образом, в данном варианте решением системы будет пара значений (33). II. Равно нулю выражение в квадратных скобках (31). Соответствующая система уравнений имеет вид , (34а) . (34б) Предварительные оценки показывают, что при всем формальном различии в процессе получения соответствующих «пар» значений в обоих вариантах находимые из формул (35а), (35б) экспериментально измеряемые величины и во всех случаях оказываются достаточно близкими; при этом вариант I со значениями (33), (36а), (36б), по-видимому, является основным . Далее, записывая (16б), (18б), (20б) через введенные обозначения, после некоторых преобразований находим: , (35a) . (35б) Результат вычисления (35а), (35б) с учетом (33) и соответствующих упомянутых значений , таков: , (36a) . (36б) При этом имеем . (37) Данное соотношение (37) согласуется с (15), аналогично (4), (9б), и свидетельствует об адекватности проделанного численного расчета. В рассмотренной вероятной экспериментальной ситуации число атомов «трехмерной фракции» относительно числа атомов одномерной или двумерной должно быть приблизительно в раза больше, что существенно превышает соответствующий результат в п. 1. 4. Обсуждение Впервые проделанные в данной работе аналитические и численные расчеты допускают их проверку, например, в варианте реализации только двух пространственных конфигураций (в частности, соотношений (9а) п. 1; в экспериментах типа проведенных авторами работ [1, 2] подобная задача не ставилась). В этом случае могло бы быть получено дополнительное (и, строго говоря, необходимое) подтверждение адекватности применяемого в нашей работе метода. Что касается варианта реализации всех трех пространственных конфигураций атомов, то экспериментальное подтверждение приближенных соотношений (36a), (36б) (п. 3) было бы еще более желательным, хотя и есть сомнения в возможности этого эксперимента. Именно, в эксперименте авторов работы [1] одномерный ( ) бозе-конденсат вместе с трехмерным ( 3) формировался в цилиндрических магнитных ловушках, а двумерный ( 2) и трехмерный - в оптических дискообразных. Конденсат же всех трех ( ) видов может образоваться, следовательно, комбинированием таких ловушек. В силу ограниченности наших знаний в этой области нам неясно, возможна ли в принципе постановка подобного эксперимента. Нам также представляется, что полученные соотношения (5а), (5б), (7a), (8а), (8б), (9а), а также (16a), (16б), (18a), (18б), (20a), (20б), (22а) - (22в), (36a), (36б) на самом деле достаточно универсальны и могут найти применение в других областях. Именно, развиваемый нами подход в общем случае описывает систему, состоящую из тождественных объектов, каждый из которых может находиться в двух (п. 1) или трех (п. 2 и 3) состояниях, связанных между собой вероятностями перехода из одного состояния в другое. При этом «предельные» формулы (9а), (36a), (36б) относятся к случаю, когда одно из состояний системы по какой-либо причине является предпочтительным. Например, в данной работе это атом c трехмерной электронной структурой в трехмерном же пространстве (отметим также, что формулы (5а), (5б), (7a), (8а), (8б), (16a), (16б), (18a), (18б), (20a), (20б), (22а) - (22в) справедливы в любом случае). Автор выражает благодарность В.П. Красину и С.В. Копылову за помощь в численных расчетах и, персонально, В.П. Красину за полезные обсуждения. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Gorlitz A. et al. // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 87. - P. 130402. 2. Eichmann U., Lange V., and Sandner W. // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 64. - No. 3. - P. 274. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1974. Поступила в редакцию 23.12.18. Московский политехнический университет, г. Москва, Россия _______________ Скобелев Владимир Васильевич, д.ф.-м.н., профессор, e-mail: v.skobelev@inbox.ru. УДК 530.12:531.51:519.711.3 DOI: 10.17223/00213411/62/5/37 Ю.Г. ИГНАТЬЕВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ЕВКЛИДОВЫМ ЦИКЛАМ В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, ОСНОВАННЫХ НА СКАЛЯРНЫХ ПОЛЯХ На основе полученных уравнений энергетического баланса для скалярных полей в космологических моделях подтверждено предположение автора о существовании предельных Евклидовых циклов в космологи¬ческих моделях, основанных на скалярных полях с потенциалом типа Хиггса. Ключевые слова: космологическая модель, асимметричный скалярный дублет, предельные Евклидовы циклы. 1. Базовые соотношения космологической модели В работах [1-8] были исследованы космологические модели, основанные на классических и фантомных скалярных полях с потенциалами типа Хиггса. В этих работах на основе качественного и численного анализа было высказано предположение о возможности существования так называемых предельных Евклидовых циклов, к которым может стремиться космологическая эволюция. В предлагаемой работе на основе полученных уравнений баланса энергии полей мы внесем ясность в этот вопрос. В безразмерных переменных замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих космологическую эволюцию асимметричного скалярного дублета в случае пространственно-плоской Вселенной имеет вид [1] ; (1) ; (2) , (3) где ; ; - константы самодействия для классического и фантомного полей; - массы этих полей соответственно; - космологическая постоянная; штрихом обозначены производные по безразмерной временной переменной , связанной с физическим временем соотношением . В круглых скобках (1) выделены вклады в суммарную плотность энергии классического и фантомного полей соответственно: . Вводя, согласно [1], потенциальную энергию классического и фантомного полей , (4) запишем выражение для нормированной эффективной плотности энергии: , (5) где (6) и введены «полные нормированные энергии» классического и фантомного полей: (7) связанные со стандартными значениями энергии этих полей и соотношениями . (8) В этих обозначениях уравнение Эйнштейна (1) можно переписать в безразмерном виде . (9) В безразмерных переменных замкнутая нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих космологическую эволюцию асимметричного скалярного дублета в случае пространственно-плоской Вселенной, имеет вид [1] (10) (11) (12) (13) 2. Уравнения баланса энергии Умножая обе части уравнения (11) на и уравнения (12) на с учетом определения нормированных энергий полей (7), получим уравнения баланса для каждого из полей: ; (14) . (15) Из этих соотношений следует, что при полная энергия классического скалярного поля может только уменьшаться со временем, тогда как полная энергия фантомного скалярного поля - только увеличиваться. Складывая обе части (14) и (15), получим уравнение общего баланса энергии: (16) Из (16) следует весьма интересный факт: при эффективная энергия падает со временем, стремясь к пределу . В противоположном случае доминирования фантомного поля эффективная энергия может только расти со временем, что, по-видимому, может приводить к неустойчивости космологической модели. Заключение Полученный результат находится в согласии с результатами качественного и численного моделирования космологических моделей, полученными в работах автора и его соавторов, например в [2-8]. В частности, в случае одиночного классического скалярного поля, когда уравнение (14) можно переписать в виде . (17) Из (17) следует, что в случае одиночного классического поля с потенциалом взаимодействия Хиггса эффективная энергия с течением времени стремится к нулю, т.е. Вселенная стремится к Евклидовой. Здесь возможны два случая: 1) при , , ; 2) , - любые значения. Как показано в цитированных работах, второй случай может быть реализован, при этом скалярное поле остается ненулевым, совершая осцилляции, поддержива¬ющие динамическое равновесие.

Скачать электронную версию публикации