The formulation of the Snell - Descartes laws in terms of geometric algebra.pdf Закон зеркального отражения и закон преломления световых лучей гладкой поверхностью раздела двух изотропных сред (законы Снеллиуса - Декарта) в скалярном варианте были предложены в середине XVII в., их математические формулировки являются общеизвестными и широко применяются. Менее известна векторная формулировка этих законов, которая используется для трассировки лучей, например в компьютерной графике. Она до сих пор сохраняет актуальность и обсуждается не только в педагогическом отношении (например, [1-6]), но и в связи с новыми волновыми эффектами (отрицательное преломление, отражение и преломление в присутствии метаматериалов и метаповерхностей) [7-9]. В литературе встречаются также формулировки этих законов с использованием иных математических средств [10], в том числе геометрической алгебры [11-13]. Цель данной работы - предложить и обобщить формулировки законов Снеллиуса - Декарта в терминах геометрической алгебры, пригодные для применения при наличии электромагнитных метаматериалов. Геометрическая алгебра трёхмерного физического (Евклидова) пространства происходит от разработанной в середине XIX в. алгебры Клиффорда. Хотя У. Клиффорд уже пользовался термином «геометрическая алгебра», её подлинным создателем и активным пропагандистом является Д. Хестенес [14, 15]. Геометрическая алгебра удивительным образом объединяет алгебру комплексных чисел, кватернионов и векторное исчисление, она изящно описывает операции отражения и вращения. В последнее время геометрическая алгебра приобретает всё бóльшую популярность в сообществе физиков и инженеров в области радиоэлектроники и информатики (см., например, [16- 22]). Литература на русском языке по геометрической алгебре пока невелика [23-26]. Закон отражения. Векторный закон отражения в геометрической оптике выражается формулами [10] ; (1) , (2) где единичные векторы , , определяют направление нормали к отражающей поверхности, направление падающего луча и направление отражённого луча соответственно. Используя связь между векторным (знак « ») и свойственным геометрической алгебре внешним (знак « ») произведениями векторов вида , где символ обозначает единичный тривектор (мультивектор 3-го ранга), который в является псевдоскаляром, перепишем (1) в виде . (3) Формула (3) имеет ясный геометрический смысл: она утверждает равенство бивекторов падающей и отражённой волн. Как известно [1], формула (1) должна быть дополнена формулой (2), для того чтобы выделить правильное направление отражённого луча. Скалярное произведение векторов (знак « ») совпадает с внутренним произведением геометрической алгебры применительно к векторам как мультивекторам 1-го ранга. Используем связь внутреннего и внешнего произведений с геометрическим произведением двух векторов (ассоциативным, но не коммутативным) , (4) и преобразуем уравнения (2) и (3) к виду , . (5) Полусумма и полуразность уравнений (5) имеют вид , . (6) Умножая первое из уравнений (6) на орт нормали справа или второе уравнение слева (при этом учитывая, что ), получим окончательно . (7) Уравнение (7) является формулировкой закона отражения в терминах геометрической алгебры. Так как оба волновых орта и находятся в общей плоскости падения, процесс отражения может быть рассмотрен в Евклидовой плоскости с использованием геометрической подалгебры . Она характеризуется базисом . Введём на плоскости ортогональный векторный базис , примем и определим направление падающей волны как , где - угол падения. Используя свойство ассоциативности в формуле (7), рассмотрим геометрическое произведение : , так как и . Подставляя полученный результат в (7), имеем . (8) У вектора отражённого луча по сравнению с поперечная относительно нормали составляющая осталась неизменной, а параллельная составляющая изменила знак, что геометрически является отражением вектора падающей волны относительно зеркальной отражающей плоскости. Формула (7) допускает также трактовку отыскания вектора как отражение вектора относительно линии нормали: ; , . Поворот точки на плоскости на угол соответствует двум последовательным отражениям относительно прямых, пересекающихся под углом в точке поворота [26]. Пусть отражение луча происходит сначала относительно вектора , а затем относительно вектора : , так что и , где - единичный бивектор, который в является псевдоскаляром со свойством . Геометрическое произведение является спинором (суммой скаляра и бивектора). Спиноры чётной подалгебры изоморфны комплексным числам с мнимой единицей и также могут быть представлены в показательной форме. Единичный спинор служит оператором поворота - ротором : , (9) и формула отражения принимает вид . (10) Так как псевдоскаляр антикоммутирует с векторами ( ), формулу (10) можно переписать как - вектор поворачивается по стрелке часов (то есть в отрицательном направлении) на угол . Закон преломления. В случае преломления контактирующие изотропные среды, образующие поверхность раздела, могут различаться не только показателями преломления (для падающей волны) и (для прошедшей волны), но и типами распространяющихся нормальных волн. Необычное «отрицательное преломление» имеет место, если среды поддерживают волны противоположного типа (прямая и обратная нормальные волны). Идентификатором типа волны служит величина , где является единичным вектором направления потока энергии (совпадает с направлением луча в геометрической оптике), а является единичным вектором направления движения фазового фронта волны [7]. В обычной прозрачной электромагнитной среде с положительными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей распространяются прямые волны, для которых , а в метаматериале с двумя отрицательными проницаемостями распространяются обратные волны, для которых . В электродинамике монохроматические нормальные волны характеризуются волновым вектором , а также сонаправленным ему вектором рефракции : , , (11) где - волновое число для вакуума. Вместо уравнений (1) и (3) следует записать , (12) а вместо (2) применить формулу , (13) где принято во внимание, что падающая волна должна переносить энергию к границе раздела, а прошедшая волна - отводить свою энергию от этой границы. Формулы (1), (3) и (12) следуют из граничных условий непрерывности касательных составляющих напряжённостей волновых полей на поверхности раздела сред, для чего показатели экспонент комплексных амплитуд падающей, отражённой и преломлённой волн должны совпадать: . Так как радиус-вектор находится на поверхности раздела, то , и поэтому . Для того чтобы оперировать на векторном уровне при отыскании вектора рефракции преломлённой волны , следует бивекторное уравнение (12) скалярно умножить слева на орт нормали и затем использовать тождество вида . В результате получим , . (14) Скаляр является, таким образом, мерой отклонения направления распространения прошедшей волны от направления падающей волны. Вычисляя модули бивекторов в (12), имеем соотношение , откуда следует . (15) С другой стороны, , поэтому, принимая во внимание (13), находим , (16) где задан формулой (15). Согласно (14), направление преломлённой волны вычисляется по формуле или, с учётом (16), как . (17) Формула (17) согласуется с формулой (34) из [13], справедливой только для случая положительного преломления, если положить . Применительно к лучевым направлениям и формула (17) переходит в формулу . (18) Из (18), в частности, следует, что в случае комплементарных сред ( ) направление преломлённого луча действительно является отрицательным, так как оно прямо противоположно направлению отражённого луча: . Законы Снеллиуса - Декарта требуют модификации в том случае, если на границе раздела сред размещена метаповерхность, то есть оптически тонкий слой метаматериала с металлическими включениями специальной формы. Метаповерхность искажает первоначальное фазовое распределение волнового поля на границе, воздействуя тем самым на рассеянные поля. Может быть создано такое поверхностное расположение включений, которое обеспечивает в плоскости падения заданный постоянный фазовый градиент в направлении вектора вдоль метаповерхности [27]. Вызванное метаповерхностью дополнительное отклонение направления преломлённого луча связано с известным фазовым параметром метаповерхности по формуле [9]. Закон преломления (12) в результате принимает вид , и дальнейшие алгебраические выкладки производятся по аналогии с выводом формулы (17). Альтернативой применению формул (17) и (18), которую предоставляет геометрическая алгебра , является прямой поворот вектора направления падающей волны на некоторый угол с использованием спинора. Как следует из формулы (12), плоскость падения задаётся единичным бивектором , (19) ему соответствует дуальный вектор нормали к плоскости падения . Спинор поворота вокруг вектора в плоскости бивектора имеет вид . (20) Спинор в изоморфен кватерниону У. Гамильтона. Следует иметь в виду, что направление бивектора зависит от знака скалярного произведения : если , то поворот от к происходит по часовой стрелке (то есть в отрицательном направлении). Если же , то отрицательное направление поворота заменяется на положительное. Очевидно, что произведение оказывается инвариантным относительно выбора направления нормали к границе сред. Аналогичный поправочный множитель был введён в работе [12] под названием «функция вогнутости». Таким образом, формула поворота от направления падения к направлению преломления имеет вид , . (21) В случае положительного преломления (обычный закон Снеллиуса) угол отклонения рассчитывается по формуле , (22) и если преломление происходит в менее плотную среду ( ), то поворот происходит в положительном направлении (против хода стрелки часов). При отрицательном преломлении в комплементарную среду происходит отрицательный поворот (по часовой стрелке) на угол , где является углом положительного преломления. Формула (21) подходит и для описания зеркального отражения; в этом случае происходит положительный поворот на угол . В присутствии метаповерхности угол поворота при преломлении вычисляется вместо (22) по формуле . (23) Геометрическая алгебра, таким образом, является полезным средством математического описания явлений отражения и преломления волн. Она расширяет возможности векторного исчисления применительно к трассировке оптических лучей, в том числе при наличии на трассе метаповерхностей и сред со свойствами электромагнитных (оптических) метаматериалов.

Скачать электронную версию публикации