Adomian decomposition method for a two-component non-local reaction-diffusion model of the Fisher - Kolmogorov - Petrovs.pdf Введение Исследования моделей динамики реакционно-диффузионных (РД) систем, взаимодействующих с окружающей средой, позволяют выявлять факторы, управляющие РД-процессами, что создает предпосылки для широкого спектра приложений не только в физике нелинейных явлений, но и в биофизике. Особое место в биофизических исследованиях занимает изучение воздействий активных веществ на рост клеточных популяций (см., например, [1, 2]). Примером может служить двухкомпонентная РД-модель, описывающая динамику микробиологической, в том числе клеточной, популяции, взаимодействующей с активным веществом, окружающим популяцию [3]. Система модельных уравнений включает нелокальное обобщение известного уравнения Фишера - Колмогорова - Петровского - Пискунова (Фишера - КПП) для популяционной плотности и уравнение диффузии для плотности активного вещества. Оба уравнения содержат дополнительные члены, описывающие взаимное влияние популяции и активного вещества. В [3] двухкомпонентная система модельных уравнений решалась численно. Аналитический двухпараметрический метод построения приближенных решений для данной системы уравнений предложен в [4], в котором к исходной системе применена теория возмущений по малому параметру взаимодействия популяции и активного вещества, и метод квазиклассических асимптотик ВКБ - Маслова [5, 6] для решения нелокального уравнения Фишера - КПП, определяющего главный член ряда теории возмущений. В [7] к нелокальному обобщенному уравнению Фишера - КПП применялся итерационный метод построения приближенных решений, разработанный Дж. Адомианом, называемый методом разложения Адомиана (Adomian Decomposition Method (ADM)) [8, 9]. Метод Адомиана широко применяется в нелинейных задачах для нахождения приближенных решений модельных уравнений различных типов, включая обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных и интегродифференциальные уравнения [10-14]. Методы квазиклассических асимптотик и разложения Адомиана применительно к нелокальному обобщенному уравнению Фишера - КПП, как видно из [4, 7], позволяют строить приближенные решения, исходя из различных предположений и, таким образом, взаимно дополняют друг друга. В квазиклассическом приближении в роли малого асимптотического параметра выступает коэффициент диффузии в уравнении Фишера - КПП. Асимптотическое решение строится в специальном классе функций, сосредоточенных в окрестности фазовой траектории динамической системы моментов искомого решения [4]. Для нахождения решений функциональные коэффициенты в уравнении Фишера - КПП разлагаются в степенные ряды в окрестности фазовой траектории. В ADM коэффициент диффузии не предполагается малым и не требуется разложения коэффициентов уравнения. В данной работе, являющейся продолжением [4, 7], предложена методика построения приближенного решения задачи Коши в аналитическом виде для двухкомпонентной РД-системы типа Фишера - КПП, рассмотренной в [3]. На первом этапе, следуя [4], к системе применяется метод возмущений по малому параметру взаимодействия популяции и активного вещества. На втором этапе решения уравнений, определяющих члены ряда теории возмущений, строятся итерационным методом Адомиана, следуя [7]. Особенностью применения ADM к уравнениям рассматриваемой модели в данной работе является выбор линейного оператора диффузии в качестве обратимого линейного оператора, используемого в ADM для построения итерационной процедуры, определяющей члены разложения решения рассматриваемого уравнения. Приближенные решения строятся в классе функций, убывающих на бесконечности. Обратный оператор на таком классе функций выражается в терминах диффузионного пропагатора [7]. Общая методика построения приближенных решений проиллюстрирована на примере решения задачи Коши с начальными функциями гауссова вида. В п. 1 приведена система уравнений рассматриваемой модели и основные выражения, представляющие решение задачи Коши в виде ряда теории возмущений по малому параметру взаимодействия популяции и активного вещества. В п. 2 дано описание ADM применительно к решению задачи Коши для нелокального обобщенного уравнения Фишера - КПП, определяющего главный член ряда теории возмущений в классе убывающих функций в соответствии с [7] и получены итерационные соотношения для первой поправки ряда теории возмущений. В п. 3 общая методика построения приближенного решения проиллюстрирована примером. В заключении дано обсуждение полученных результатов. 1. Двухкомпонентная реакционно-диффузионная модель Рассмотрим одномерную двухкомпонентную РД-систему уравнений, описывающую динамику популяционной концентрации , взаимодействующей с раствором активного вещества, окружающего популяцию и описываемого концентрацией . Отметим, что мы используем термин «концентрация» (плотность числа частиц) как синоним термина «плотность» (хотя в литературе эти термины часто различают, подразумевая под плотностью массу в единице объема). Запишем систему уравнений модели в безразмерной форме, следуя обозначениям работ [3, 4, 7]: ; (1) . (2) Здесь , , , - частные производные по соответствующим переменным; и - коэффициенты диффузии; - параметр взаимодействия популяции и активного вещества в терминах плотностей и соответственно; темп воспроизводства популяции (автокатализ) характеризуется функцией, зависящей от времени ; - параметр нелинейности. Функции и предполагаются убывающими вместе со своими частными производными по при достаточно быстро, так, что встречающиеся ниже интегралы существуют. Интегральное слагаемое в уравнении (1) описывает нелокальные конкурентные потери, что учитывается отрицательным знаком перед интегралом в (1). Вещественная функция в интеграле конкурентных потерь, зависящая от координат и пространственных точек, называется функцией влияния. Функция максимальна при и убывает с увеличением расстояния между точками. Величина максимума характеризует степень конкурентного взаимодействия в популяции. Размер области, в которой функция существенно отлична от нуля, характеризует степень нелокальности взаимодействия. Параметр выделяют для удобства, если, например, нормировать функцию на единицу. Из этих же соображений в уравнениях (1) и (2) явно выделен параметр в слагаемых и в уравнениях (1) и (2), которые моделируют самосогласованное взаимодействие популяции и активного вещества. Отрицательный знак перед в уравнении (1) показывает, что действие активного вещества с плотностью подавляет рост популяции, снижая скорость роста плотности . Отрицательный знак перед в уравнении (2) означает снижение плотности вещества, окружающего популяцию за счет его потребления популяцией. Вид выражений и в уравнениях (1) и (2) соответственно определяется характером взаимодействия популяции и активного вещества в конкретной системе, например, ; (3) , (4) где параметры и введены как размерные факторы. Функция вида (3) моделирует «накопленное» за временной отрезок действие вещества с плотностью на популяцию с плотностью . Такая модель использовалась, например, в [15] при исследовании воздействий активных веществ, подавляющих рост клеточных популяций. В [4] наряду с (3), (4) рассматривалась более простая модель, в которой взаимодействие описывалось выражением (4) и . (5) В выражении (5) предполагается, что потребление вещества популяцией происходит при непосредственном контакте. Отметим, что при уравнение (1) переходит в уравнение Фишера - КПП с нелокальными конкурентными потерями, описываемыми функцией влияния , для которого итерационный метод Адомиана рассматривался в [7]. Уравнение (2) при переходит в уравнение диффузии с коэффициентом диффузии . Применим метод возмущений к решению задачи Коши для системы (1), (2) в предположении малости параметра , следуя обозначениям [4]. Будем предполагать, что начальные функции и для системы (1), (2), определяемые равенствами , , (6) убывают на бесконечности, . Решение системы (1), (2) представим в виде рядов ; (7) . (8) Подставим (6) - (8) в систему (1), (2) и приравняем нулю члены при одинаковых степенях параметра , получим уравнения на функции , , Ограничимся первым порядком теории возмущений, в которой в (7), (8) учитываются члены нулевого и первого порядков, Главные члены рядов (7), (8), функции , определяются следующими уравнениями: ; (9) . (10) Для первых поправок теории возмущений, функций , в (7), (8), уравнения имеют вид ; (11) . (12) Начальные условия (6) для уравнений (8) - (12) запишем в виде ; (13) ; (14) ; (15) . (16) Задача Коши для линейного однородного уравнения диффузии (10) с ненулевым начальным условием (14) и аналогичная задача для неоднородного уравнения (12) с нулевым начальным условием (16), определяющие главный член и первую поправку ряда теории возмущений (8) соответственно, решаются стандартными методами [16]. Ключевым звеном в решении исходной задачи Коши для РД-системы (1), (2) с начальными условиями (6) является решение задачи (9), (13) для однородного нелокального уравнения Фишера - КПП (9), определяющей главный член ряда теории возмущений (7), и решение задачи (11), (15) для линейного нелокального уравнения, определяющей первую поправку ряда (7). Для решения задачи (9), (13) в [7] применялся метод разложения Адомиана в классе функций, убывающих на бесконечности. Далее этим методом построим приближенное решение задачи Коши (11), (15), используя результаты [7]. 2. Метод разложения Адомиана для нелокальных уравнений Общая схема метода разложения Адомиана применительно к нелокальному уравнению Фишера - КПП в классе функций, убывающих на бесконечности, , подробно обсуждалась в [7]. Приведем кратко основные результаты работы [7], необходимые для решения уравнений (9) и (11) с начальными условиями (13) и (15) соответственно, определяющих решение (7) в первом порядке теории возмущений. Кроме того, мы получим решения уравнений диффузии (10) и (12) для первых членов ряда (8). Введем следующие обозначения. Положим , (17) где , - операторы частного дифференцирования по соответствующим переменным, параметр и функция имеют такой же смысл, как в уравнении (1). Диффузионный пропагатор для оператора (17) дается выражением [16-18] . (18) При получим известный пропагатор для оператора диффузии уравнения (10), где следует положить : . (19) На функциях , убывающих при , определим оператор выражением . (20) Из (17) - (20) следует , ; (21) , , (22) где - дельта-функция Дирака; - единичный оператор. Введем линейный интегральный оператор , (23) где - функция влияния в уравнении (1). В обозначениях (17) - (23) нелокальное уравнение Фишера - КПП (9), следуя [7], запишем в виде , (24) где параметр в операторе (17) заменен на , а задача Коши (9), (13) может быть представлена в форме интегрального уравнения . (25) Здесь есть начальная функция (13). В соответствии с ADM [7-10] решение уравнения (25) ищется в виде ряда , (26) члены которого, , находятся с помощью итерационных соотношений ; (27) . (28) Отметим, что выражение представляет собой полином Адомиана для уравнения (24). В общем случае, если в уравнении имеется нелинейный член вида с нелинейным оператором , действующим на некоторую функцию , то полином Адомиана определяется выражением [8, 9] , (29) где , - некоторый формальный параметр. В уравнении (24) . Следуя приведенной выше схеме, решение задачи Коши (11), (15), определяющее первую поправку ряда теории возмущений (7), представим в виде интегрального уравнения . (30) В соответствии с ADM [7-10] решение уравнения (30) ищется в виде ряда, аналогичного (26): . (31) Из уравнения (30) и разложений (26) и (31) получим следующие итерационные соотношения для : ; (32) ; (33) … . Здесь, по аналогии с (29), обозначено . (34) Например, для функции вида (3) имеем , . В (34) подставлено разложение (26), определяющее функцию . Для функции , которая определяется уравнением диффузии (10) и начальным условием (14), разложения, аналогичного (26), не требуется, поскольку для имеется точное выражение [16]: , (35) где имеет вид (19), в котором положено . Для первой поправки ряда теории возмущений (8), определяемой уравнением (12) и начальным условием (16), можно записать [16] . (36) Здесь имеет вид разложения (26). 3. Гауссовы начальные условия и функция влияния Проиллюстрируем изложенную выше методику решения задачи Коши для РД-системы (1), (2) на простом примере. Для этого воспользуемся результатами работы [7], где функция влияния в (1) выбиралась в виде гауссоиды: . (37) Здесь параметр характеризует амплитуду пика гауссоиды при , а параметр - ширину гауссоиды. Применительно к функции влияния характеризует степень нелокальности взаимодействия в популяции. Начальные условия (6) также выберем в гауссовом виде, что представляет интерес с физической точки зрения и упрощает вычисление интегралов по пространственным переменным. Следуя обозначениям [7], для функции в (6) положим . (38) Функцию выберем в виде . (39) Здесь параметры , , , имеют смысл, аналогичный соответствующим параметрам гауссоиды (37); - координата пиков гауссоид (38), (39). Для простоты мы рассматриваем случай, когда положения пиков гауссоид (38), (39) совпадают. Запишем решение (7), (8) в первом порядке теории возмущений: ; (40) . (41) Функции и даются выражениями (35) и (36) соответственно. Функции и в (40) найдем из разложений (26) и (31), ограничиваясь первым порядком: ; (42) . (43) Функции , , в разложения (40) - (43) находились в [4, 7]. Так как они необходимы для нахождения остальных членов разложений, мы приведем их ниже. Из (19), (35), (39) найдем функцию [4]: . (44) Из выражений (18), (20), (27), (38) находим [4, 7] . (45) C помощью (23), (37), (45) вычислим выражение [7] . (46) Введем следующие обозначения: ; (47) . (48) Отсюда и из выражений (18), (20), (23), (28), (45) получим . (49) Здесь имеет вид (47), . (50) Из (4), (19), (36), (44) - (49) найдем функцию : , (51) где обозначено , (52) , дается выражением (50). Вычислим для функции взаимодействия вида (5). В соответствии с (32) получим . (53) Из (34) для функции взаимодействия вида (5) имеем . Тогда , согласно (33), определяется выражением . (54) Вычислим входящее в (54) выражение . С помощью (23), (37), (53) запишем , (55) где определено выражением (52), Представим правую часть равенства (54) в виде трех интегралов , (56) вычислив которые, найдем искомое выражение для : , (57) где обозначено , . (58) Здесь применено равенство (55) , (59) где использовано обозначение . Выражения (44), (45), (49), (51), (53), (44) и (56) - (59) представляют в аналитическом виде приближенное решение задачи Коши для системы (1), (2) с начальными условиями (38), (39) с функцией влияния (37). Отметим, что в результате принятого упрощения о совпадении центров начальных распределений (38) и (39) разложения (40) - (43) выражаются в виде комбинаций гауссоид с центрами в точке , но с различными, зависящими от времени амплитудами и дисперсиями. Тем не менее наличие свободных параметров в найденном решении позволяет исследовать взаимное влияние компонент и в рамках сделанных предположений. Заключение В работе предложена методика построения приближенного решения задачи Коши для одномерной самосогласованной двухкомпонентной нелокальной реакционно-диффузионной системы уравнений (1), (2) в классе убывающих на бесконечности функций. На первом этапе приближенное решение для уравнений системы находится методом теории возмущений первого порядка по малому параметру взаимодействия популяции и активного вещества. Получены уравнения для главного члена и первой поправки рядов теории возмущений. Нахождение членов ряда теории возмущений для плотности активного вещества не вызывает затруднений, так как они определяются линейным уравнением диффузии, решение которого находится стандартным методом [16]. Ключевым в предложенной методике является применение метода разложения Адомиана к нелокальным РД-уравнениям, определяющим члены ряда теории возмущений для популяционной плотности. Особенностью применения метода Адомиана в данной работе является выбор оператора диффузии в качестве линейного обратимого оператора, входящего в оператор уравнения. Обратный оператор в классе функций, убывающих на пространственной бесконечности, выражается в терминах диффузионного пропагатора. В данном методе приближенные решения нелокальных уравнений для популяционной плотности представлены в виде разложений в ряды. С помощью метода Адомиана получены итерационные соотношения для членов этих рядов, определяющих приближенное решение искомой задачи Коши в аналитической форме. Предложенная в работе методика может быть применена к исследованию аналитическими методами РД-систем с различными типами взаимодействий. РД-модели служат теоретической основой исследований внешних и самосогласованных воздействий растворов активных веществ на рост клеточных популяций (см., например, [15, 19]). В этой связи также можно отметить дискуссию об особых свойствах сильно разбавленных растворов активных веществ (см., например, [20, 21]). В частности, в некоторых работах отмечалось, что свойства растворов некоторых веществ при определенных условиях могут отличаться от свойств обычных растворов вследствие проявления фрактальных свойств при низких концентрациях [22, 23]. Фрактальность среды формирует особый вид нелокальности в физических свойствах системы. Моделирование физических процессов в системах с фрактальными свойствами проводится на основе математического аппарата дробного дифференцирования и интегрирования [24, 25]. Рассмотренная в работе РД-модель допускает учет фрактальных свойств с помощью введения дробных производных в оператор диффузии. Предложенная в работе методика применима к РД-моделям с дробными производными [26].

Скачать электронную версию публикации