Mathematical modeling of complex oscillations of flexible micropolar mesh cylindrical panels.pdf Введение Микро- и наноразмерные панели и оболочки широко используются в электромеханических системах, в медицине для изготовления биологически совместимых имплантатов, венозных шунтов. Это приводит к необходимости создания надежных математических моделей поведения подобных механических объектов на основании теорий, учитывающих масштабные эффекты. На сегодняшний момент исследований размернозависимого поведения сетчатых пластин и оболочек недостаточно [1-3]. В настоящей работе построена математическая модель сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых цилиндрических панелей. Материал панели - псевдоконтинуум Коссера со стесненным вращением частиц. Сетчатая структура учтена по теории Г.И. Пшеничного [4]. Постановка задачи Объектом исследования является прямоугольная цилиндрическая панель под действием поперечного распределенного давления, занимающая в пространстве область . Панель состоит из семейств густо расположенных ребер одного материала, что позволяет использовать континуальную модель Г.И. Пшеничного [4]. В работе рассматривается неклассическая континуальная модель на основе среды Коссера, где наряду с обычным полем напряжений учитываются также и моментные напряжения. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. Определяющие соотношения для материала панели примем в виде , (1) где - компоненты тензора напряжений; - компоненты тензора моментов высшего порядка; - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона; - дополнительный независимый параметр длины. Уравнения движения элемента гладкой панели, эквивалентной сетчатой, граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - Остроградского c учетом кинематических гипотез Кирхгофа - Лява и теории Кармана. Напряжения, возникающие в эквивалентной гладкой панели, связанные с напряжениями в ребрах, составляющих углы с осью абсцисс, имеют следующий вид: , , , , (2) , где - расстояние между ребрами j-го семейства; - толщина ребер, напряжения с индексом j относятся к ребрам. Физические соотношения для сетчатой пластины определяются на основании метода множителей Лагранжа: (3) В дальнейшем будем рассматривать панель с двумя семействами ребер (рис. 1): , , . (4) Рис. 1. Геометрия сетки С учетом безразмерных параметров: , , , , , , , , , , , , где - коэффициент диссипации среды; - плотность материала панели; - геометрический параметр кривизны; - внешняя нормальная нагрузка; и - ее интенсивность и частота; - время. Уравнения движения элемента рассматриваемой микрополярной сетчатой цилиндрической панели в перемещениях примут следующий вид (черта над безразмерными переменными опущена) [5]: (5) Начальные условия - нулевые. Граничные условия - жесткая заделка: (6) Для сведения дифференциальной задачи в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по пространственным координатам используем два принципиально различных метода: метод конечных разностей с аппроксимацией и метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях. В методе Бубнова - Галеркина компоненты перемещений возьмем в виде , , (7) . Полученная задача Коши решается методами типа Рунге - Кутты различного порядка точ- ности. Численный эксперимент Статика Запишем параметры численного эксперимента: . Для задач статики результаты получены методом Бубнова - Галеркина (МБГ) и конечных разностей с аппроксимацией (МКР) через решение динамической задачи методом установления. Результаты для прогибов совпадают с точностью в среднем 6 % (таблица). В таблице приведены прогибы в центральной точке панели в зависимости от величины нормальной нагрузки и значения дополнительного независимого параметра длины, связанного с учетом моментных напряжений. Данные таблицы показывают, что учет моментных напряжений приводит к увеличению жесткости панели на изгиб. Сопоставление решений МБГ и МКР МБГ МКР МБГ МКР 50 0.706085 0.632008 0.408115 0.453051 100 1.064390 1.035240 0.761739 0.843749 150 1.306090 1.356300 1.050303 1.153250 200 1.493150 1.574170 1.285030 1.396780 250 1.648070 1.751540 1.498890 1.339711 300 1.781560 1.927580 1.782970 1.842285 350 1.899640 2.083400 1.814020 1.815840 400 2.006020 2.179400 1.910820 1.925040 450 2.103190 2.242110 2.010720 2.024610 500 2.192860 2.349290 2.154390 2.116370 550 2.276330 2.440570 2.286960 2.201660 Динамика Изучение нелинейной динамики механических структур обычно основывается на сигналах, спектрах Фурье, модальных и фазовых портретах, автокорреляционных функциях. При этом не рассматривается вопрос о влиянии продольных волн на характер нелинейных колебаний, что часто приводит к ошибочным выводам о характере колебаний. В настоящей работе показано, что кроме характеристик прогиба следует изучать характер колебаний продольных волн, это позволит составить более точную картину характера колебаний системы. На основе решения динамической задачи МКР при разбиении . Показана необходимость такого подхода. Было проведено исследование влияния расстояния между ребрами сетки на амплитудно-частотные характеристики прогиба и перемещений. Параметры эксперимента: , , , , , , , , . Был получен гармонический сигнал и спектр Фурье для прогиба, в то время как для перемещений и сигнал и спектр соответствовали квазипериодическим колебаниям. Было проведено исследование геометрии сетки (расстояния между ребрами семейств) на характер колебаний цилиндрической сетчатой микрополярной панели. Показано, что увеличение расстояния между ребрами приводит к увеличению прогиба и уменьшению частоты колебаний продольной волны (рис. 2). Сигнал Спектр Фурье для , Сигнал Спектр Фурье для , Рис. 2. Сигнал и спектр Фурье в зависимости от Заключение В работе построена математическая модель колебаний гибкой микрополярной сетчатой цилиндрической панели, находящейся под действием внешней нормальной распределенной нагрузки. Для статики проведено сравнение решений различными численными методами (МБГ и МКР), показано, что отличие в результатах составляет 6 %. Численный эксперимент демонстрирует, что учет моментных напряжений приводит к увеличению жесткости панели на изгиб. Обоснована необходимость изучения распространения продольных волн. Показано, что увеличение расстояния между ребрами приводит к увеличению прогиба и уменьшению частоты колебаний продольной волны.

Скачать электронную версию публикации