Scattering of an electromagnetic wave by a structure consisting of a magnetodielectric body and thin conductors.pdf Введение Значительный интерес для решения проблем дефектоскопии, радиопеленгации, радиолокации, антенной техники и др. представляет изучение рассеяния электромагнитных волн в резонансной частотной области на структурах, состоящих из трехмерного магнитодиэлектрического тела и нескольких тонких близко расположенных по отношению к этому телу проводников. Анализ имеющейся в распоряжении автора литературы показывает, что имеется большое число зарубежных и отечественных работ, посвященных рассеянию электромагнитных волн на одиночных магнитодиэлектрических (диэлектрических) телах. В качестве примера можно привести работы [1-4]. Имеется также очень большое число работ, в которых рассматривается рассеяние электромагнитных волн на одном или нескольких тонких проводниках. К таким работам, в частности, относятся работы [5, 6]. Имеются также работы [7-9], в которых рассмотрено электромагнитное рассеяние на идеально проводящих структурах, состоящих из близко расположенных объемных тел и тонких проводников. Относительная малочисленность работ, посвященных рассеянию электромагнитных волн на структурах из близко расположенных тел (расстояние между телами много меньше длины волны), объясняется тем, что корректная постановка исследований подобного рода приводит к необходимости решения граничных задач теории рассеяния на системах трехмерных взаимодействующих (в электромагнитном смысле) тел. Как правило, такие задачи могут быть решены только численными методами. Последние могут быть основаны на использовании как уравнений Максвелла в дифференциальной форме, так и интегральных соотношений теории поля. Однако соответствующие вычислительные алгоритмы получаются чрезвычайно емкими по затратам ресурсов и времени ЭВМ. Для конечных методов это обусловлено необходимостью распространения вычислений на всю рассматриваемую область пространства, для методов интегральных уравнений - необходимостью вычисления большого числа поверхностных или объемных интегралов. В последние годы для решения задач электромагнитного рассеяния на системах взаимодействующих тел начали использовать метод вспомогательных источников [9-11]. В частности, в работе [9] метод вспомогательных источников использован для решения задач рассеяния на структурах, состоящих из объемных идеально проводящих тел и тонких проводников, в работе [10] - для решения задач рассеяния на структурах, состоящих из конечного числа трехмерных идеально проводящих тел, а в работе [11] - для решения задач рассеяния на структурах, состоящих из конечного числа трехмерных импедансных тел. В данной работе методом вспомогательных источников решена задача рассеяния электромагнитной волны на структуре, состоящей из магнитодиэлектрического тела и расположенных поблизости от него нескольких тонких проводников с конечными длинами. Приведены результаты численных расчетов, характеризующие влияние одного или двух тонких проводников на сечения рассеяния магнитодиэлектрического тела. 1. Формулировка задачи и метод ее решения Геометрия задачи показана на рис. 1. Рассмотрим стационарную задачу рассеяния электромагнитного поля на структуре, состоящей из объемного диэлектрического тела , ограниченного поверхностью , с диэлектрической и магнитной проницаемостями, и тонких проводников, ограниченных поверхностями ( ) и расположенных произвольным образом по отношению к телу (зависимость от времени выбрана в виде ). Под объемным телом будем понимать тело, максимальный и минимальный поперечный размеры которого сравнимы между собой, а под тонким проводником - идеальный проводник круглого сечения, диаметр которого конечен, но мал по сравнению с длиной проводника и длиной волны. Эта структура размещена в однородной безграничной среде с диэлектрической и магнитной проницаемостями , в декартовой системе координат с центром, выбранным внутри диэлектрического тела. Требуется найти рассеянное поле в . Рис. 1. Геометрия задачи Математическая постановка задачи имеет следующий вид: , ; (1) , на , ; (2) , , (3) где , и , - поля в областях и ; - единичный вектор нормали к поверхности ; ( ) - единичные векторы нормалей к поверхностям тонких проводников; ; - векторное произведение. Суть предлагаемого метода заключается в следующем. Аналогично тому, как это сделано в работе [4], введем (см. рис. 1) две вспомогательные поверхности и , подобные поверхности диэлектрического тела в смысле гомотетии с центром в точке расположенной внутри тела и являющейся началом системы координат. Если поверхность является центральной, то центр гомотетии выбираем так, чтобы он совпадал с центром поверхности. Поверхность расположена внутри диэлектрического тела и характеризуется коэффициентом гомотетии (подобия) , меньшим единицы; поверхность расположена вне тела и характеризуется коэффициентом подобия , большим единицы. Если , вспомогательные поверхности и совпадают с . Выберем на вспомогательной поверхности конечную совокупность точек , в каждой из которых разместим пару независимых элементарных электрических диполей с моментами и , а на вспомогательной поверхности - конечную совокупность точек , в каждой из которых разместим пару независимых вспомогательных электрических диполей с моментами и . Единичные векторы , выбраны в плоскоскости, касательной к в точке , а единичные векторы , - в плоскости, касательной к в точке . Предполагается, что диполи, размещенные на , излучают в однородную среду с параметрами , , а диполи, размещенные на , - в однородную среду с параметрами , . Внутри каждого из тонких проводников на его оси разместим непрерывно распределенный вспомогательный ток , аналогично тому, как это сделано в работе [9]. Представим неизвестное рассеянное поле в в виде суммы полей вспомогательных диполей, расположенных на вспомогательной поверхности , и вспомогательных токов: , , (4) , , , , а поле , в - в виде суммы полей вспомогательных диполей, расположенных на вспомогательной поверхности : , , (5) , , . В представлениях (4), (5) ; ; ; ; и - расстояния от точки на вспомогательной поверхности и точки на оси проводника с номером до точки наблюдения в ; - расстояние от точки на вспомогательной поверхности до точки в ; , ( ) и , ( ) - неизвестные дипольные моменты; и - числа точек размещения диполей на вспомогательных поверхностях и ; ( ) - неизвестные осевые вспомогательные токи; интегрирование в (4) проводится вдоль осей проводников . Представления (4), (5) удовлетворяют уравнениям Максвелла (1) и условиям излучения (3). Для того чтобы удовлетворить граничным условиям (2), необходимо соответствующим образом выбрать значения дипольных моментов , ( ) и , ( ) и распределения осевых токов ( ). Введем кусочно-постоянную аппроксимацию осевых токов. Разобьем линию каждого тока на малых участков, в пределах каждого из которых ток можно считать постоянным. Тогда выражение для в (4) приближенно можно записать в виде , (6) где - величина тока на -м участке проводника с номером ; - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением касательной в средней точке рассматриваемого участка. При таком подходе нахождение неизвестных распределений осевых токов сводится к нахождению значений элементов тока. Для определения величин дипольных моментов и элементов тока используем граничные условия (2), удовлетворяя им в соответствии с методом коллокаций. Пусть ( ) - точки коллокации на поверхности диэлектрического тела , а ( ) - точки коллокации на поверхности проводников ; - число точек коллокации на , а - число точек коллокации на . В силу предположения о малости диаметра проводника по сравнению с длиной проводника и длиной волны будем считать, что вкладом в рассеянное поле азимутальных составляющих токов на поверхностях тонких проводников можно пренебречь. Тогда для нахождения неизвестных , ( ), , ( ) и ( , ) получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с комплексной матрицей размерностью : , , , (7) , , , где - значение единичного вектора нормали в точке на поверхности диэлектрического тела; , и , - значения компонент внешнего и внутреннего полей в точке ; , - значения компонент возбуждающего поля в этой же точке; и - значения составляющих рассеянного и возбуждающего полей вдоль оси проводника с номером в точках коллокации на его поверхности. Решение системы (7) определяется путем минимизации функционала (8) . После решения задачи минимизации (определения неизвестных дипольных моментов , ( ), , ( ) и элементов тока ( , )) необходимые характеристики рассеянного поля определяются из (4). Контроль точности решения (4), (5) осуществляется путем вычисления относительного значения функционала (8) на сетке точек, промежуточных по отношению к точкам коллокации, выбираемых как на поверхности диэлектрического тела , так и на поверхностях всех проводников, входящих в структуру: , , (9) где - значение функционала (8) на указанной выше совокупности точек; - значение соответствующей нормы падающего поля на этой же совокупности точек; - число промежуточных точек на поверхности диэлектрического тела; - число промежуточных точек на поверхности проводника с номером . Область применимости метода, использованного для решения задачи, определяется областью применимости представлений полей, рассеянных тонкими проводниками, в виде полей осевых электрических токов. В работе [9] показано, что такое представление целесообразно использовать, если радиус тонкого проводника не превышает 0.2 ( < 0.03 ). Ограничения на геометрические размеры диэлектрического тела и длины проводников определяются возможностями компьютера, имеющегося в распоряжении пользователя. 2. Численные результаты Изложенный выше метод реализован в виде компьютерной программы для расчета компонент рассеянного поля и контроля точности полученного решения. Диэлектрическое тело может быть либо трехосным эллипсоидом, либо конечным цилиндром с эллиптическим поперечным сечением. Торцы цилиндра предполагаются скругленными половинками трехосных эллипсоидов. Максимальное число тонких проводников в структуре, предусмотренное программой, равно трем. Предполагается, что все проводники являются прямолинейными. Положение проводников относительно диэлектрического тела, а также их длина определяются заданием координат начальной и конечной точек проводника. Помимо типа геометрии диэлектрического тела и положения проводников, входными величинами являются значения геометрических параметров диэлектрического тела (в длинах волн), значения относительных диэлектрической и магнитной проницаемостей, возбуждающее поле , параметры подобия и , числа точек размещения диполей и , числа участков разбиения осевых токов, а также числа точек коллокации и на поверхностях диэлектрического тела и тонких проводников. Отметим, что на поверхности тонкого проводника точки коллокации размещаются только на его цилиндрической части; на торцах проводника точки коллокации не размещаются. Это означает, что мы пренебрегаем влиянием торцов на рассеянное поле. Сравнение результатов расчета бистатических сечений рассеяния, полученных при дополнительном размещении точек коллокации на торцах, с результатами, полученными при размещении точек коллокации только на цилиндрической части проводника, показали, что влиянием торцов на эту характеристику рассеянного поля действительно можно пренебречь, если длина проводника в 10 и более раз превышает его диаметр. Минимизация функционала (8) осуществляется методом сопряженных градиентов. Итерационный процесс останавливается при условии, если относительное изменение функционала (8) на каждой из десяти последних итераций не превышает заданного значения . При помощи данной программы выполнена серия вычислительных экспериментов, направленных на исследование влияния тонких проводников на бистатические сечения рассеяния и сечения обратного рассеяния диэлектрических тел. Некоторые результаты представлены ниже. Рис. 2. и 3 характеризуют влияние близко расположенного проводника на бистатическое сечение рассеяния эллипсоида с параметрами , , , . Длина проводника = , радиус проводника ( ). Полуоси эллипсоида , , ориентированы вдоль осей , , соответственно; проводник ориентирован вдоль оси и симметрично расположен относительно поверхности эллипсоида. Эллипсоид и проводник возбуждаются плоской волной, падающей вдоль оси , с вектором , ориентированным вдоль оси . Рис. 2 относится к случаю, когда проводник расположен со стороны падения возбуждающей волны (перед эллипсоидом), рис. 3 - к случаю, когда проводник расположен с противоположной стороны (в области тени). Кривые 1 на этих рисунках - это бистатическое сечение рассеяния одиночного эллипсоида; кривые 2 - бистатические сечения рассеяния эллипсоида и проводника, когда последний расположен на расстоянии , равном , от эллипсоида; кривые 3 - те же характеристики, когда проводник расположен на расстоянии , равном , от эллипсоида. Бистатические сечения рассеяния приведены в -плоскости (плоскость векторов и ); диаграмма рассеяния в -плоскости симметрична относительно оси , поэтому приведено сечение рассеяния только в полуплоскости . По оси абсцисс на рис. 2 и 3 отложены значения угла , по оси ординат - нормированные на квадрат длины волны значения сечения рассеяния в децибеллах. Рис. 2. Бистатические сечения рассеяния эллипсоида с параметрами , , , и такого же эллипсоида с расположенным со стороны падающего поля проводником длиной ; кр. 1 - одиночный эллипсоид; кр. 2 - эллипсоид с проводником, ; кр. 3 - эллипсоид с проводником, В соответствии с используемым методом для представления рассеянного поля используются вспомогательные источники в виде пар тангенциально-ориентированных диполей, расположенных на вспомогательных поверхностях и , которые также являются эллипсоидами, а также в виде тока, непрерывно распределенного вдоль оси проводника. Положения вспомогательных поверхностей характеризуются следующими значениями параметров подобия: , . Количества точек размещения диполей на внутренней и внешней вспомогательных поверхностях выбраны одинаковыми: ; распределены эти точки следующим образом. В каждом из 22 полусечений , отстоящих одно от другого на угловое расстояние , равномерно по углу выбраны 22 точки размещения диполей. Число точек коллокации на поверхности эллипсоида выбрано равным 968; алгоритм их размещения по углу выбран таким же, как для точек размещения диполей, но располагаются эти точки как в полусечениях точек размещения диполей, так и в полусечениях, проведенных посередине между ними. Линия тока внутри проводника разбита на 35 участков: . Число поперечных сечений , в которых размещены точки коллокации на поверхности проводника, выбрано также равным 35; в каждом сечении расположены четыре точки коллокации равномерно по азимутальному углу; . Рис. 3. То же, что на рис. 2, для случая, когда проводник расположен в области тени Результаты, представленные на рис. 2 и 3, позволяют сделать следующие выводы. Присутствие тонкого проводника в наибольшей степени влияет на сечения рассеяния в направлениях, относящихся к заднему полупространству ( ). Проводник, расположенный в области тени, влияет на бистатическое сечение рассеяния диэлектрического тела в меньшей степени, чем такой же проводник, расположенный на таком же расстоянии со стороны падения возбуждающей волны. Это объясняется тем, что в последнем случае токи, наводимые на проводнике падающей волной, больше по величине, чем токи, наводимые на проводнике ближним рассеянным полем эллипсоида, когда проводник находится в области тени. Наконец, как показывает сравнение кривых 1-3 между собой, величина сечения рассеяния существенно зависит от расстояния между поверхностью эллипсоида и проводником. Например, (см. рис. 2) при расположении проводника на расстоянии от поверхности эллипсоида сечение рассеяния в направлении равно -9 дБ, а при расположении этого же проводника на расстоянии равно -19 дБ (уменьшилось на 10 дБ). Рис. 4 и 5 характеризуют влияние двух близко расположенных проводников на бистатическое сечение рассеяния того же эллипсоида. Длины и радиусы проводников выбраны одинаковыми и равными, как и в предыдущем случае, и соответственно. Расстояние между проводниками равно . Как и в предыдущем случае, проводники ориентированы вдоль оси и симметрично расположены относительно поверхности эллипсоида. Структура возбуждается плоской волной, падающей вдоль оси , с вектором , ориентированным вдоль оси . Рис. 4 относится к случаю, когда проводники расположены со стороны падения возбуждающей волны, рис. 5 - к случаю, когда проводники расположены в области тени. Кривые 1 на этих рисунках - это би- статическое сечение рассеяния одиночного эллипсоида, кривые 2 - бистатические сечения рассеяния эллипсоида и проводников при , равном , кривые 3 - те же характеристики при . Во всех случаях расстояние между проводниками сохранялось неизменным и равным . Рис. 4. Бистатические сечения рассеяния эллипсоида с параметрами , , , и такого же эллипсоида с расположенными со стороны падающего поля двумя проводниками; кр. 1 - одиночный эллипсоид; кр. 2 - эллипсоид с проводниками, ; кр. 3 - эллипсоид с проводниками, Рис. 5. То же, что на рис. 4, для случая, когда проводники расположены в области тени Как и на рис. 2 и 3, бистатические сечения рассеяния приведены в -плоскости. Параметры подобия вспомогательных поверхностей выбраны такими же, как в случае одного проводника: , . Для того чтобы получить такое же значение невязки, как и в предыдущем случае, пришлось увеличить число точек размещения диполей на вспомогательных поверхностях и и число точек коллокации на поверхности эллипсоида: числа точек размещения диполей и на и выбраны равными 676, а число точек коллокации на поверхности эллипсоида - равным 1352. Точки размещения диполей на вспомогательных поверхностях распределены следующим образом. В каждом из 26 полусечений , отстоящих одно от другого на угловое расстояние , равномерно по углу выбраны 26 точек размещения диполей. Алгоритм размещения точек коллокации по отношению к точкам расположения диполей выбран таким же, как и в предыдущем случае. Число участков, на которые разбиты линии тока внутри проводников, число и координаты сечений проводников, в которых расположены точки коллокации, а также число точек коллокации в каждом сечении сохранены такими же, как и в предыдущем случае. Анализ результатов, представленных на рис. 4 и 5, приводит к выводам, аналогичным тем, которые были сделаны при рассмотрении влияния одного проводника. Заключение Таким образом, в данной работе методом вспомогательных источников решена задача рассеяния электромагнитной волны на структуре, состоящей из магнитодиэлектрического тела и расположенных поблизости от него нескольких тонких проводников с конечными длинами. Кратко описана программа, реализующая это решение. Приведены результаты численных расчетов, характеризующие влияние одного или двух тонких проводников на сечения рассеяния магнитодиэлектрического тела. Установлено, что присутствие тонких проводников в наибольшей степени влияет на сечения рассеяния в направлениях, относящихся к заднему полупространству ( ). Установлено также, что проводники, расположенные в области тени, влияют на бистатическое сечение рассеяния диэлектрического тела в меньшей степени, чем такие же проводники, расположенные на таком же расстоянии со стороны падения возбуждающей волны. Использованный для решения задачи метод может быть легко обобщен на структуры, содержащие два и более диэлектрических тел.

Скачать электронную версию публикации