Non-commutative integration of Klein - Gordon equation on external electromagnetic fields with functional arbitrariness.pdf Введение Точные решения релятивистских волновых уравнений необходимы для расчета квантовых эффектов. Примерами таких эффектов является рождение частиц в квантовой теории поля в сильных электромагнитных и гравитационных полях. В квантовой электродинамике в сильных электромагнитных полях взаимодействие зарядов с сильным электромагнитным полем приводит к эффекту рождения пар частица - античастица [1]. Поскольку такое взаимодействие необходимо учитывать непертурбативно, возникает необходимость использования точных решений уравнения Дирака в соответствующем электромагнитом поле [2]. Аналогичная картина возникает при рассмотрении взаимодействия частиц с сильными гравитационными полями [3]. Основным методом построения точных решений релятивистских волновых уравнений во внешних электромагнитных полях является метод разделения переменных (РП) [4-6]. Данный метод требует наличия полного набора операторов симметрии уравнения. Альтернативным методом построения точных решений релятивистских волновых уравнений является метод некоммутативного интегрирования (НИ). В отличие от метода РП метод НИ использует неабелеву алгебру линейных дифференциальных операторов симметрии первого порядка [7-11]. Впервые данный метод был предложен в работе [12] и для классических гамильтоновых систем он эквивалентен методу, предложенному А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко в работе [13]. Одно из различий методов РП и НИ заключается в том, что метод РП допускает функциональный произвол в выборе потенциалов волновых уравнений, в то время как метод НИ, как казалось ранее, такого произвола не предоставляет. Однако в работе [14] было замечено, что произвол в определении потенциалов волновых уравнений существует. Тем не менее дальнейших исследований по этой тематике не проводилось. В данной работе предложен метод обобщенного НИ (или обобщенной некоммутативной редукции). Этот метод позволяет определить функциональный произвол электромагнитного потенциала, допускающего некоммутативную редукцию по алгебре симметрии уравнения, которая вообще говоря, нарушается при включении электромагнитного поля. На основе предложенного метода в работе строятся электромагнитные потенциалы, обладающие функциональным произволом и допускающие некоммутативную редукцию уравнения Клейна - Гордона. Рассматриваются подгруппы группы Пуанкаре, допускающие просто-транзитивное действие на пространстве-времени Минковского. 1. Обобщенная некоммутативная редукция Пусть - -мерная вещественная связная группа Ли, - её алгебра Ли; - дуальное пространство алгебры (коалгебра). Введем локальные координаты в окрестности единицы группы Ли при помощи диффеоморфизма : для любого его локальные координаты: . Для краткости ниже мы принимаем обозначение , для . Обозначим через - левоинвариантные векторные поля на группе , - правоинвариантные векторные поля на группе , - левоинвариантные базисные формы Маурера - Картана на группе , - правоинвариантные базисные формы Маурера - Картана на группе. Здесь - координатные функции векторных полей относительно базиса в касательном пространстве в единице группы, - координатные функции форм относительно базиса в кокасательном пространстве в единице группы . Здесь и далее , латинские индексы отвечают базису алгебры, греческие индексы - координатному базису в касательном пространстве группы. (Право-) левоинвариантные векторные поля реализуют представление алгебры Ли в пространстве гладких функций и удовлетворяют коммутационным соотношениям , где - структурные константы алгебры относительно базиса . Рассмотрим уравнение вида (1) где , - симметричная вещественная -матрица; - вещественный -вектор-столбец; - след матрицы присоединенного представления алгебры Ли . Можно показать, что оператор является симметрическим относительно скалярного произведения в пространстве квадратично интегрируемых функций , определенного по правилу где - правоинвариантная мера Хаара на группе . Поскольку оператор уравнения (1) является квадратичным по правоинвариантным векторным полям, то для произвольного левоинвариантного поля выполнено и, следовательно, левоинвариантные поля являются операторами симметрии уравнения (1). Отметим, что в случае абелевой группы решение уравнения (1) легко определяется методом разделения переменных. В дальнейшем нас будет интересовать случай неабелевых групп Ли. При интегрировании уравнений типа (1) эффективным является метод некоммутативной редукции. Построим специальное неприводимое -представление [7] алгебры Ли по невырожденной орбите коприсоединенного представления алгебры Ли , представителем которой является ковектор общего положения . Обозначим через полное лагранжево подмногообразие к орбите и введем пространство функций , квадратично интегрируемых на относительно скалярного произведения (2) Здесь - весовая функция. Поскольку группа действует на орбите посредством коприсоединенного представления, то на лагранжево подмногообразие индуцируется данное действие группы. Обозначим функцию, которая определяет действие группы на многообразии . Пусть - некоторая карта многообразия, а - соответствующий координатный диффеоморфизм, где . Для произвольного элемента введем локальные координаты . Далее все выражения, связанные с многообразием , мы рассматриваем в локальных координатах. Как и для групп, далее принимаем для . Операторы -представления - это дифференциальные операторы первого порядка, косоэрмитовые относительно скалярного произведения (2). Они имеют вид [7] и реализуют представление алгебры Ли в пространстве функций . Рассмотрим семейство обобщенных функций, определенных системой уравнений (3) с начальным условием , где - обобщенная дельта-функция Дирака относительно меры . Функции удовлетворяют свойствам полноты и ортогональности [7, 15]: (4) (5) где спектральная мера и дельта-функция определяются из условий (4), (5). Функция является решением уравнения (6) Согласно методу некоммутативного интегрирования [7], решение уравнения (1) следует искать в виде (7) В этом случае уравнение (1) редуцируется к уравнению на функцию , которое с учетом (3) и (6) можно записать так: (8) Оператор является симметрическим относительно меры (2) на пространстве , если для операторов сопряженных операторам -представления выполнено условие . Далее меру мы выбираем так, чтобы последнее условие выполнялось. Если , то уравнение (8) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию . Можно показать, что решение системы уравнений (3) имеет вид (9) где - фактор однородного пространства ; - одномерное унитарное представление подгруппы , такой, что . Выражение (9) имеет место из-за связи метода некоммутативного интегрирования с методом орбит Кириллова [7, 15]. Функции являются ядрами операторов представления группы , индуцированного по орбите . Перейдем к обобщению некоммутативной редукции. Модифицируем уравнение (1): (10) где - оператор, определенный в (1); - произвольная функция на группе; - некоторое отображение. При интегрировании уравнения (10) будем искать решение в виде (7). Как и ранее, действие оператора переходит в действие оператора . Подробно рассмотрим слагаемое : Здесь мы использовали выражение (9). Рассмотрим алгебраическую систему уравнений (11) на групповые координаты . При решении системы (11) групповые координаты разделятся на два типа , где координаты из системы (11) выражаются, а координаты - нет. Пусть - решение системы (11), тогда в силу свойств дельта-функции имеем Таким образом, если и функция , и композиция функций не зависят от групповых координат , то уравнение (10) редуцируется к уравнению (12) где переменные играют роль параметров. Таким образом, некоммутативная редукция реализуется с точностью до функционального произвола. 2. Симметрии уравнения Клейна - Гордона во внешнем электромагнитном поле В работах [16, 17] было показано, что заданная алгебра операторов симметрии уравнения Клейна - Гордона на плоском пространстве-времени Минковского определяет электромагнитное поле, допускающее эту симметрию. Пусть задан потенциал электромагнитного поля , где , - координаты в пространстве-времени Минковского. Тогда уравнение Клейна - Гордона для заданного электромагнитного поля запишется в виде (13) где - компоненты метрического тензора пространства-времени Минковского. Операторы симметрии уравнения (13) существуют в классе линейных дифференциальных операторов первого порядка [16, 17] и имеют вид (14) где , - компоненты векторных полей Киллинга на пространстве Минковского; - гладкие функции на пространстве Минковского. Обозначим алгебру Ли, образованную векторными полями . Если действие группы на пространстве-времени Минковского является просто-транзитивным, то пространство-время Минковского можно отождествить с группой . В этом случае , а координаты можно считать координатами на . Далее мы рассматриваем алгебры, допускающие просто-транзитивное действие на пространстве-времени Минковского и отождествляем его с групповым многообразием . В работе [18] показано, что операторы (14) являются операторами симметрии уравнения (12), если выполнены условия (15) где - производная Ли вдоль векторного поля , и условия (16) где - координаты формы относительно базиса правоинвариантных форм Маурера - Картана группы Ли . Условие (15) говорит о том, что тензор электромагнитного поля инвариантен относительно группы . Уравнение (16) определяет операторы симметрии (14). При выполнении описанных выше условий операторы (14) образуют алгебру Ли , которая является центральным расширением алгебры , и если - структурные константы алгебры , то [18] (17) где функция не зависит от локальных координат и является 2-коциклом на алгебре . Образующими алгебры Ли являются , где . Рассмотрим преобразование Фурье по параметру : (18) При таком преобразовании действие операторов алгебры (17) естественным образом распространяется на функции , а именно: (19) Операторы (19) реализуют представление алгебры Ли в пространстве функций и являются левоинвариантными полями на группе . Разложим метрический тензор пространства-времени Минковского по базису правоинвариантных форм Маурера - Картана группы : (20) Произведем преобразование Фурье (18) в выражении (13) и сделаем замену (20). В итоге мы получим эквивалентное уравнение на функцию : (21) Введенные здесь операторы являются правоинвариантными векторными полями на группе . Решение уравнения (21) можно искать с помощью метода некоммутативной редукции, описанного в п. 1 данной работы. 3. Классификация внешних электромагнитных полей, допускающих некоммутативную редукцию уравнения Клейна - Гордона Введем следующие обозначения: Здесь - генераторы группы Пуанкаре; - генераторы, отвечающие группе Галилея. Выберем подалгебру алгебры Пуанкаре. Уравнение (15) позволяет построить электромагнитное поле, допускающее некоммутативную редукцию, а (16) - построить соответствующие операторы симметрии, которые образуют алгебру . Используя обобщенную некоммутативную редукцию, описанную в п. 1 на каждом шаге (для алгебры и алгебры ) можно построить электромагнитный потенциал, обладающий функциональным произволом и допускающий некоммутативную редукцию уравнения Клейна - Гордона. В табл. 1 приводятся потенциалы для подалгебр алгебры Пуанкаре, допускающие просто-транзитивное действие на пространстве Минковского [19]: - функциональный произвол электромагнитного потенциала, отвечающий подалгебре . Рассмотрены подалгебры, содержащие оператор . Таблица 1 № L Ненулевые компоненты потенциалов + + + Продолжение табл. 1 № L Ненулевые компоненты потенциалов + + + + + Окончание табл. 1 № L Ненулевые компоненты потенциалов + + + + , , , , , , , , , , Примечание. Здесь , - произвольные постоянные; - произвольные функции на пространстве-времени Минковского. Во второй колонке приведен электромагнитный потенциал, который допускает некоммутативное интегрирование по исходной подалгебре; в третьей колонке - компоненты электромагнитного потенциала, отвечающие условию (15) и допускающие функциональный произвол. Знак «+» в четвертой колонке говорит о разделении переменных с помощью операторов симметрии первого порядка. Заключение В работе проведена классификация электромагнитных полей, обладающих функциональным произволом и соответствующих просто-транзитивному действию векторов Киллинга на пространстве Минковского. Рассмотрены все подалгебры, допускающие просто-транзитивное действие и содержащие оператор симметрии . Из полученных результатов следует, что в классе полей, соответствующих просто-транзитивному действию векторов Киллинга, нет электромагнитных полей, допускающих некоммутативную редукцию уравнения Клейн - Гордона, но не позволяющих разделить переменные. Тем не менее возможность построения решений методом некоммутативного интегрирования позволяет получить решения в классе элементарных функций и эффективно вычислять функцию Грина уравнения в виде сумм по решениям [20]. Классификация электромагнитных полей, соответствующая всем остальным подалгебрам алгебры Пуанкаре, выходит за рамки настоящей работы и является отдельной задачей, решению которой будет посвящена отдельная работа.

Скачать электронную версию публикации