The radiation losses of a relativistic charge moving in a vacuum near a dielectric radiator.pdf Традиционно под черенковским механизмом (излучение Вавилова - Черенкова) подразумевается излучение заряда, пролетающего через прозрачную среду со скоростью v, превышающей скорость света в среде c/n (n = ε1/2 - показатель преломления, ε - диэлектрическая проницаемость среды) [1]. В этом случае потери энергии на излучение в спектральном диапазоне λ ± ∆λ на длине прямолинейной траектории L определяются известным образом [2]: (1) где α = 1/137 - постоянная тонкой структуры; ћc = 0.2 эВ•мкм - константа конверсии; β = v/c. Черенковский механизм реализуется и в случае, когда заряженная частица пролетает в вакууме вблизи диэлектрика [3-5]. Авторы указанных работ рассматривали задачу, где заряд пролетал вдоль плоской бесконечной среды (рис. 1, а). В многочисленных экспериментах, в которых исследовался данный механизм излучения, использовались радиаторы конечной толщины [6-10]. В этом случае кулоновское поле релятивистского заряда с поперечным размером ~ γλ (γ - лоренц-фактор заряда) взаимодействует с передней входной гранью радиатора (рис 1, б) и генерирует дифракционное излучение (ДИ) [11]. Очевидно, что в рассматриваемом случае радиационные потери должны формироваться за счёт обоих механизмов. Рис. 1. Схема генерации ИВЧ для заряда, пролетающего над: а - бесконечным радиатором; б - конечным радиатором Радиационные потери ИВЧ для бесконечного диэлектрического радиатора Рассмотрим радиационные потери для геометрии, представленной на рис. 1, а. Спектрально-угловое распределение излучения Вавилова - Черенкова для фиксированного полярного угла излучения Θch = arccos(1/βn) записывается в виде [5] Здесь азимутальный угол  отсчитывается от нормали к поверхности радиатора (т.е. от оси y' (см. рис. 1, а)), вдоль которой движется заряд; ω = 2πс/λ; h - расстояние между траекторией заряда и поверхностью радиатора (импакт-параметр). На рис. 2 приведены азимутальные распределения ИВЧ для кварца n = 1.46 (а) и алмаза n = 2.43 (б), рассчитанные по формуле (2), которые иллюстрируют зависимость от энергии заряженной частицы. При сравнении азимутального распределения ИВЧ двух представленных веществ видно, что с увеличением показателя преломления распределение по азимуту сужается. Следует отметить слабую зависимость интенсивности ИВЧ от лоренц-фактора. Рис. 2. Азимутальные распределения ИВЧ для различных значений лоренц-фактора частицы Чтобы получить потери, аналогичные выражению (1), необходимо проинтегрировать выражение (2) по азимуту. Радиационные потери из (2) можно представить в виде , (3) где L - толщина радиатора; I - результат интегрирования по азимуту (-π/2 <  < π/2) в фигурных скобках в (2). Для распределений, представленных на рис. 2, интегралы I и отношения радиационных потерь (1) и (3) приведены в табл. 1. Расчёт проводился для следующих параметров: L = 50 мкм, λ = = 0.5 мкм, ∆λ = 0.1 мкм. Таблица 1 Величина параметра Лоренц-фактор γ Кварц (n = 1.46), h = 10 мкм Алмаз (n = 2.43), h = 10 мкм I 5000 7.414•10-7 7.848•10-7 500 7.518•10-7 8.10•10-7 ∆W0 / ∆W 5000 1.124•106 1.662•106 500 1.108•106 1.609•106 Из соотношения ∆W0 / ∆W (табл. 1) радиационных потерь, рассчитанных для традиционного ИВЧ (1) и по формуле (3), для указанных условий следует отметить, что для геометрии (см. рис. 1, а) происходит подавление излучения Вавилова - Черенкова примерно на 6 порядков. Радиационные потери ИВЧ для конечного диэлектрического радиатора При рассмотрении геометрии, представленной на рис. 1, б, как отмечалось выше, необходимо учитывать вклад дифракционного излучения, которое так же, как и ИВЧ, может рассматриваться как проявление единого поляризационного механизма [11]. Излучение возникает в материале радиатора при динамической поляризации электронных оболочек кулоновским полем пролетающего заряда. В работах [12-14] была развита модель, позволяющая рассчитывать поле излучения, возбуждаемое пролетающим зарядом (модель поляризационных токов). В работе [15] была использована указанная модель для расчёта характеристик ИВЧ в вакууме, которое генерируется зарядом, пролетающим по оси вакуумного канала в коническом диэлектрике. Далее описывается подход, позволяющий рассчитывать характеристики ИВЧ в среде по этой модели. Магнитное поле поляризационного излучения может быть в общем случае записано в виде [12] (4) Здесь c - скорость света в вакууме; j(0) pol (r, ω) = σ(ω)Ee(r, ω) - плотность поляризационного тока, наведенного кулоновским полем заряженной частицы; σ(ω) = (ε-1)ω/4πi - проводимость среды мишени; Ee(r, ω) - фурье-образ кулоновского поля заряженной частицы (например, электрона); - функция Грина, где r - радиус-вектор, определяющий координату точки излучения, а r - радиус-вектор, направленный в точку наблюдения. Интегрирование проводится по всему объёму мишени VT. Рассмотрим излучение в волновой зоне (r >> λ) для радиатора длиной L с полубесконечными размерами в направлении - y' и бесконечными вдоль - x' (см. рис. 1, б), где выражение (4) упрощается, если разложить функцию Грина: (5) Здесь - волновой вектор в направлении излучения; Θ,  - полярный и азимутальный углы в среде соответственно. Предположим, что в выбранной декартовой системе координат заряженная частица движется в положительном направлении оси z' с постоянной скоростью вдоль мишени на расстоянии h от неё. Полный фурье-образ плотности тока равномерно движущегося заряда имеет вид (6) Здесь e - элементарный заряд; v = {0, 0, v} - вектор скорости заряженной частицы. В этом случае полный фурье-образ электрического поля электрона , которое удобно использовать для нахождения частичного фурье-образа , необходимого для решения задачи, может быть записан следующим образом: (7) Частичный фурье-образ имеет вид [13] (8) Подставляя выражение (8) в (5), можно легко вычислить двойной интеграл и получить магнитное поле поляризационного излучения в среде радиатора: (9) где вектор . Знаменатель в последнем множителе перед экспонентой соответствует так называемому «черенковскому полюсу», который для радиатора конечной толщины L не даёт расходимости из-за наличия множителя в числителе. Спектрально-угловая плотность излучения в веществе записывается в виде (10) На рис. 3 приведены распределения ИВЧ по полярному углу  для фиксированного азимутального угла  = 0° (в плоскости y'oz' (см. рис. 1, б), перпендикулярной поверхности диэлектрика, вблизи которой пролетает частица). Расчёты проводились по формуле (10) для кварца (n = 1.46) и алмаза (n = 2.43) и двух значений лоренц-фактора (γ = 500, 5000). Максимум распределения соответствует углу Θch = arccos(1/βn), как и ожидалось Рис. 3. Угловые распределения ИВЧ для фиксированного азимутального угла  = 0° На рис. 4 приведены соответствующие азимутальные распределения ИВЧ, вычисленные для фиксированных углов  = ch по формуле (10). Рис. 4. Азимутальные распределения ИВЧ в максимуме Радиационные потери определяются по формуле (11) Радиационные потери, вычисленные для того же интервала длин волн (∆λ/λ = ±0.2), рассчитывались по формуле (11) после интегрирования по полярному (в интервале  = {ch - 0.3° ÷ ch + + 0.3°}) и азимутальному углу ( = {-0.3° ÷ 0.3°}). Расчёт проводился для следующих параметров: L = 50 мкм, λ = 0.5 мкм, ∆λ = 0.1 мкм, h = 10 мкм. Результаты приведены в табл. 2. Таблица 2 γ = 5000 Кварц (n = 1.46) Алмаз (n = 2.43) ∆W0, эВ 2.447 3.829 ∆W, эВ 2.176•10-6 2.303•10-6 ∆We, эВ 1.669•10-3 6.216•10-3 Для радиатора, имеющего входные грани (см. рис. 1, б), зависимость интенсивности как функция от расстояния (импакт-параметра h) между траекторией частицы и поверхностью диэлектрика для дифракционного излучения аппроксимируется экспонентой ~ exp[-4πh/βγλ] [11]. Для максимума ИВЧ подобная зависимость также описывается экспонентой, однако аргумент экспоненты более сложный (см. формулу (9)): . (12) Отметим, что для геометрии радиатора (см. рис. 1, а) экспоненциальный множитель, стоящий в выражении (2), имеет такой же вид, как и выражение (12). Автор работы [16] получил оценку полных потерь энергии на ИВЧ для заряда, пролетающего вдоль поверхности бесконечного радиатора, которые обратно пропорциональны квадрату импакт-параметра. На рис. 5 приведены расчётные зависимости радиационных потерь на ИВЧ в оптическом диапазоне (0.4-0.6 мкм) для радиатора с входными гранями как функция от расстояния между траекторией частицы и поверхностью диэлектрика. Рис. 5. Радиационные потери энергии на ИВЧ в видимом диапазоне для кварца n = 1.46 (a) и алмаза n = = 2.43 (б) в зависимости от импакт-параметра Из аппроксимации видно, что радиационные потери энергии в зависимости от импакт-параметра имеют нелинейный характер (так же как и в случае геометрии рис. 1, а), что может указывать на то, что потери энергии заряженной частицы на поляризацию среды определяются не только экспоненциальным фактором (см. формулу (8)), описывающим «спадание» напряженности кулоновского поля в вакууме, но и «перестройкой» этого поля при входе в диэлектрик [17]. Следует отметить, что численные оценки потерь энергии в видимом диапазоне, выполненные по формулам, полученным в работе [17], дают результат, заниженный на 1-2 порядка по сравнению с нашим подходом. Заключение В работе показано, что интенсивность излучения черенковского механизма для радиатора с учётом краевых эффектов на 2-3 порядка превышает интенсивность ИВЧ для радиатора бесконечных размеров (не имеющего входных граней). Это связано с тем, что «перестройка» кулоновского поля частицы при прохождении области, прилегающей к передней грани радиатора, приводит к заметному росту интенсивности излучения.

Скачать электронную версию публикации