On numerical modeling of nonlinear theory equations for stimulated Mandelshtam - Brillouin scattering in plasma.pdf Введение По линейной теории вынуждённого рассеяния Мандельштама - Бриллюэна (ВРМБ), когда не учитывается генерация высших гармоник ионно-звуковых волн и поле волны накачки считается постоянным, интенсивность рассеянного излучения нарастает по экспоненциальному закону. В экспериментах такая зависимость обычно не наблюдается, что свидетельствует о важности нелинейных эффектов при ВРМБ. В разреженной плазме следует прежде всего учитывать нелинейность возбуждаемых ионно-звуковых волн, как это показано в работе [1]. Учёт генерации второй гармоники [2, 3] показал, что эта нелинейность снижает интенсивность рассеянного излучения. Позднее теория ВРМБ в плазме развивалась в работах [4-6]. В настоящей работе рассмотрено численное решение уравнений нелинейной теории ВРМБ в однородной и неоднородной плазме с учётом генерации второй гармоники звуковой волны и истощения волны накачки. В отличие от работ [2, 3, 5], где пренебрежено диссипацией звуковых волн, мы исследовали случай сильной диссипации, когда длина свободного пробега звуковых волн мала по сравнению с размерами области взаимодействия волн. В отличие от работы [6], где не учитывалось истощение (изменение волны накачки), но звук считался сильнозатухающим, мы рассматриваем влияние изменения амплитуды падающей волны на коэффициент отражения и интенсивности взаимодействующих волн. Основные уравнения Для рассмотрения ВРМБ используем систему уравнений для амплитуд основной звуковой волны, её второй гармоники и амплитуд рассеянной и падающей волн: ; (1) ; (2) ; (3) , (4) где возмущения концентрации электронов в основной звуковой волне (индекс 1) и в гармонике (индекс 2); - соответственно коэффициенты затухания звуковых и рассеянных волн; - коэффициенты нелинейной связи волн; волновое число, частота и амплитуда волны накачки; заряд, масса и концентрация электронов; масса и зарядовое число ионов; - скорость ионно-звуковой и рассеянной волны; разность фаз взаимодействующих с волной накачки рассеянных (волновое число ) и звуковых (волновое число k) волн, возникающая из-за неоднородности плазмы, Система уравнений (1) - (4) может быть получена из уравнений гидродинамики плазмы в СВЧ-поле [7]. При её выводе предполагалось, что частоты рассеянной ( ) и звуковой ( ) волн связаны с частотой волны накачки ( ) распадным условием : в дальнейшем мы рассмотрим стационарную задачу и отбросим слагаемые с производными по времени. Чтобы избавиться от фазового множителя, в уравнениях (1) - (4) введем новые функции: . Рассмотрим решение системы уравнений (1) - (4) в приближении достаточно сильного затухания звуковых волн, когда можно пренебречь производными . Условием справедливости этого приближения является неравенство . В неоднородной плазме взаимодействие волн происходит вблизи резонансной точки, в которой выполнено распадное условие по волновым векторам ( ). Выбрав эту точку за начало координат, можно в ее окрестности записать , где L - масштаб, на котором становится порядка k0. В результате после несложных алгебраических преобразований из (1) - (4) следуют уравнения для интенсивностей рассеянной и падающей волн: ; (5) , (6) где тепловая скорость электронов; . Соотношение, связывающее интенсивности рассеянной волны, звуковой волны и поле падающей волны, имеет вид . (7) Уравнения (5) - (7) позволяют рассмотреть процесс ВРМБ как в однородной , так и в неоднородной плазме при учёте генерации второй гармоники звуковой волны и истощения волны накачки в приближении сильного затухания звуковых волн. Слагаемое в правых частях уравнений (5), (6) возникает из-за учёта нелинейности звуковых волн и неоднородности плазмы. Условием малости второй гармоники по сравнению с первой гармоникой звуковой волны является . Прежде чем переходить к решению уравнений (5) - (7), обсудим входящие в них параметры. Величина пропорциональна отношению длины волны накачки к длине свободного пробега звуковых волн . Если диссипация звуковых волн определяется затуханием Ландау [12, 13] на электронах, то . Аналогичный смысл для рассеянных волн имеет величина где эффективная частота столкновений электронов с тяжёлыми частицами. Величина характеризует неоднородность плазмы. Величина связана с масштабами, на которых изменяются гидродинамические характеристики плазмы (плотность, температура, скорость течения). Однородная плазма. В однородной плазме вопрос о коэффициенте отражения в приближении заданной волны накачки на базе уравнений (5) - (7) обсуждался в работе [6]. Учтём теперь уравнение для интенсивности падающей волны. В отсутствие генерации второй гармоники звуковой волны система уравнений (5) - (7) имеет точное аналитическое решение только в пределе [9]. Вопрос о коэффициенте отражения с учётом нелинейности звуковых возмущений и истощения волны накачки в пределе рассматривался в работе [9], где показано, что в диссипативном приближении учёт генерации второй гармоники звуковой волны и истощения волны накачки снижают коэффициент отражения. В пределе уравнения (5) - (7) в линейном приближении решались численно в [10]. Показано, что с увеличением диссипации рассеянных волн коэффициент отражения уменьшается. При учете генерации второй гармоники звуковой волны, согласно уравнению (7), поле звуковой волны связано с полем рассеянной и волны накачки приближенным соотношением . (8) Подставляя соотношение (8) в уравнения (5), (6), получим ; (9) . (10) Уравнения (9), (10) определяют пространственную зависимость интенсивностей рассеянной волны и волны накачки в нелинейном приближении. Если выполнено условие то из (9), (10) следуют результаты линейной теории. Уравнения (9), (10) решались численно при значениях с граничными условиями и На рис. 1 представлены результаты численного расчета для коэффициента отражения в линейном и нелинейном приближении. Видно, что учет нелинейности звуковых возмущений снижает коэффициент отражения. На рис. 2 также представлены результаты зависимости R от диссипации рассеянных волн в линейном и нелинейном режиме. Видно, что нелинейность второй гармоники в сильнозатухающем приближении звуковых волн существенно снижает коэффициент отражения. Рис. 1. Зависимость коэффициента отражения R от координаты в линейном (кр. 1) и нелинейном приближении (кр. 2) Рис. 2. Зависимости коэффициента отражения R от диссипации рассеянных волн без генерации второй гармоники (кр. 1) и с её учетом (кр. 2) Неоднородная плазма. В неоднородной плазме общие уравнения нелинейной теории (5) - (7) не имеют аналитического решения. В линейном приближении, когда не учитывается генерация второй гармоники звуковой волны, отбросим слагаемые в правых частях (5), (6), а в фигурной скобке (7) удержим те слагаемые, которые не содержат величину . Тогда для интенсивностей и получим следующие уравнения: ; (11) . (12) Из уравнений (11), (12) следует, что неоднородность плазмы слабо проявляется, если для всех значений пространственной координаты выполнено условие Если же выполняется обратное неравенство , то можно говорить о влиянии неоднородности плазмы на процессы ВРМБ. Следовательно, существует пороговый размер неоднородности плазмы , который определяется величиной . Уравнения (11), (12) решались численно при значениях При этом изменяется в пределах Результаты численного расчета для коэффициента отражения от толщины неоднородной плазмы при различных значениях диссипации рассеянных волн приведены на рис. 3. Кривая 1 соответствует случаю . Видно, что с увеличением диссипации коэффициент уменьшается. Учтем теперь нелинейность ионно-звуковых волн и в фигурной скобке оставим слагаемые, линейные по y. Тогда поле ионно-звуковой волны будет связано с полем рассеянной и волны накачки соотношением , (13) где введены следующие обозначения: . Если выполнены условия , то из (13) следует , и мы получим выражения (11), (12). Рис. 3. Зависимость коэффициента отражения от толщины слоя неоднородной плазмы при различных значениях диссипации рассеянных волн: Подставляя выражение (13) в уравнения (5) и (6), получим нелинейные дифференциальные уравнения для интенсивностей рассеянной волны накачки: ; (14) . (15) Уравнения (14), (15) решались численно при параметрах На рис. 4 представлена зависимость коэффициента отражения от толщины неоднородной плазмы при различных значениях диссипации рассеянных волн, а на рис. 5 - сравнение расчетов в нелинейном и линейном приближениях. Из рис. 5 следует, что, в отличие от линейной теории, учет нелинейности звуковых волн в неоднородной плазме приводит к возрастанию интенсивности рассеянного излучения и, следовательно, к увеличению коэффициента отражения. Причина этого состоит в том, что дополнительная нелинейная диссипация звука ведет к расширению области взаимодействия волн и в результате к увеличению рассеяния. Следует подчеркнуть, что этот вывод согласуется с результатами работы [6], где в приближении заданной волны накачки и сильной диссипации звуковых волн учет нелинейности второй гармоники в неоднородной плазме привел к возрастанию рассеянного излу- чения. Рис. 4. Зависимость коэффициента отражения R от толщины слоя неоднородной плазмы при различных значениях диссипации рассеянных волн в нелинейном приближении: кр. 1 - 0; кр. 2 - 510-4; кр. 3 - 10-3; кр. 4 - 1.510-3 Рис. 5. Зависимость коэффициента отражения R от толщины слоя неоднородной плазмы в линейной (кр. 1) и нелинейной (кр. 2) теории Приведем сопоставление с экспериментальными результатами. В работе [14] при интерпретации экспериментальных данных высказывалось мнение, что основным нелинейным механиз- мом, который приводит к стабилизации вынужденного рассеяния, является нелинейность звуковых волн. Используя параметры, приведенные в этой работе: , если вычислить по обычной формуле для частоты кулоновского столкновения [15], то найдем , а величина равна При численных расчетах коэффициент отражения равен . В эксперименте при плотности потока энергии было получено значение . Следовательно, теоретические оценки дают несколько завышенное значение для коэффициента отражения. Это различие указывает на то, что в экспериментах имеются дополнительные факторы, влияющие на ВРМБ, и их необходимо учитывать в теоретической модели. Выводы 1. Показано, что в однородной плазме учет генерации второй гармоники в сильнозатухающем приближении существенно снижает коэффициент отражения. 2. Определены зависимости коэффициента отражения от диссипации рассеянных волн и толщина однородной плазмы в линейном и нелинейном приближении. 3. Получена система дифференциальных уравнений для интенсивностей взаимодействующих волн в приближении сильной диссипации звуковых волн в неоднородной плазме. 4. Определен пороговый размер неоднородности плазмы, при котором её учет становится существенным. Показано, что этот размер зависит от отношения длины свободного пробега звуковых волн к длине волны накачки. 5. Показано, что учет нелинейности звуковых волн в неоднородной плазме приводит к увеличению коэффициента отражения по сравнению с линейной теорией из-за расширения области резонансного взаимодействия волн.

Скачать электронную версию публикации