Physical characteristics of free oscillations of scalar fields with zero effective energy and Euclidean cycles in cosmol.pdf Введение В [1] была предложена и частично исследована космологическая модель, основанная на асимметричном скалярном дублете, то есть система, состоящая из двух скалярных полей, классического (Φ) и фантомного () с потенциалом типа Хиггса. В [2-8] было проведено всестороннее качественное и численное моделирование космологической модели, основанной на классическом и фантомном скалярных полях. Результаты этих исследований позволили одному из авторов ** выдвинуть предположение о существовании в таких моделях предельных Евклидовых циклов с эффективной нулевой энергией, к которым стремится система в будущем (классическое поле), либо в прошлом (фантомное поле). При этом Вселенная становится глобально Евклидовой, хотя скалярные поля отличны от нуля и осциллируют, находясь в устойчивом динамическом равновесии. В [9-11] был проведен анализ поведения космологических моделей вблизи Евклидовых циклов и представлены дополнительные аргументы в пользу их существования. Поскольку предельный Евклидов цикл представляет собой свободные колебания скалярных полей с нулевой эффективной энергией, соответствующей Евклидовой Вселенной, возникает проблема детального исследования этих колебаний, которая и будет изучена в рамках представленной статьи. Во избежание в дальнейшем недоразумений подчеркнем, что наличие скалярного дублета не является необходимым условием для возникновения Евклидовых циклов, такие циклы могут возникать и в моделях с одиночными полями [12, 13]. Здесь, как и в ряде предыдущих статей, мы будем проводить численное моделирование с помощью расширенного авторского пакета программ DifEqTools, специально предназначенного для исследования нелинейных динамических систем [14]. 1. Основные соотношения космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете Динамические уравнения космологической модели, основанной на асимметричном скалярном дублете, в безразмерных переменных имеют вид (подробности см. в [2, 3]) (1) где штрихом обозначены производные по безразмерному времени , : (2) - эффективная энергия скалярного дублета с учетом космологической постоянной , - потенциальная энергия Хиггса соответствующих скалярных полей;  и  - константы их самодействия; m и m - их массы квантов; ; . Для того чтобы система дифференциальных уравнений (1) имела вещественное решение, необходимо положительное значение эффективной энергии системы с учетом космологической постоянной: . (3) Границы запрещенных областей в фазовом пространстве для динамической системы (1) определяются алгебраическим уравнением ; (4) движение динамической системы вдоль этих границ соответствует предельным Евклидовым циклам и описывается свободными колебаниями скалярных полей. В дальнейшем, как и в цитированных выше статьях, мы будем конкретизировать полевые модели парой упорядоченных списков - списком параметров модели и - списком начальных условий. 2. Характеристики свободных колебаний скалярных полей с нулевой энергией Как отмечалось в цитированных выше работах, уравнения динамические (1) можно рассматривать как уравнения нелинейных колебаний в потенциальном поле 4-го порядка по потенциалам и нелинейным коэффициентом трения . На границе запрещенной области (4) «трение» исчезает и динамические уравнения (1) принимают вид уравнений свободных, несвязанных между собой колебаний (5) Связь свободных колебаний в предельных Евклидовых циклах устанавливается лишь интегральным условием (4). Поскольку следствием уравнений свободных колебаний является сохранение полной энергии каждого поля, и : (6) (4) принимает вид интегрального условия на эти константы, т.е., в конечном итоге, на значения элементов списков : . (7) Интегрируя (6): в промежутке между точками поворота , (8) получим, удваивая результат, выражения для периодов свободных колебаний полей: , (9) где интегралы берутся между двумя точками поворота (8), находящимися в общей области доступности. В зависимости от параметров полевой модели и полной энергии решение (8) может определять 0, 2 или 4 точки поворота. По своему смыслу в выражениях под радикалами в формулах (9) содержится кинетическая энергия колебаний (для фантомного поля - с отрицательным знаком, ): . На всем отрезке между точками поворота, где эта величина обращается в нуль, она должна быть положительна. Вследствие известной теоремы Ролля на промежутке (или ) существует точка , в которой кинетическая энергия принимает экстремальное значение. Поэтому для обеспечения неотрицательности выражений под знаком радикалов в (9) между ближайшими точками поворота необходимо, чтобы этот экстремум был максимумом функции (или минимумом функции ). Вычисляя первые производные от этих функций, найдем экстремальные точки: . (10) Таким образом, при (11) могут существовать 3+3 экстремальные точки, при нарушении одного из условий (11) - 1+3 либо 3+1 экстремальная точка, при нарушении обоих условий (11) - только 1+1 нулевая экстремальная точка. Вычисляя вторые производные функций и , придем к следующему выводу: (12) откуда следует, что для обеспечения вещественности радикалов в (9) на интервалах между соседними точками необходимо и достаточно выполнение условий: A) , если между соседними точками находится только нулевая точка (всего 2 точки поворота); B) , если между соседними точками находится только точка (всего 4 точки поворота). Обратимся поэтому к анализу формул (8) для координат точек поворота. Из этих формул следует, что при 1. или - точки поворота отсутствуют (движение инфинитно, либо невозможно); 2. или - существуют 2+2 симметричные точки поворота в случае выполнения условий (11); 3. или - существуют 4+4 симметричные поворотные точки; 4. или - существуют 2+2 симметричные поворотные точки. Далее, поскольку свободные колебания скалярных полей строго периодичны, им соответствуют дискретные спектры, определяемые рядами Фурье: При этом спектр энергии колебаний, , определяется выражением . Подчеркнем то обстоятельство, что свободные колебания строго периодичны, но не гармоничны. Именно фактор ангармоничности приводит к появлению достаточно широких энергетических спектров колебаний. 3. Результаты численного моделирования свободных колебаний скалярного дублета На размещенных ниже рисунках представлены некоторые результаты численного моделирования космологических свободных колебаний как скалярного дублета, так и одиночных скалярных полей с нулевой эффективной энергией. Фазовые траектории показаны на фоне запрещенных областей , выделенных серым цветом. При изменении параметров и начальных условий можно наблюдать следующие 4 типа запрещенных областей (рис. 1). Рис. 1. Схема эволюции запрещенных областей в плоскости , запрещенные области выделены серым цветом. В плоскости запрещенная область получается инверсией этих рисунков - запрещенными становятся внешние области 3.1. Характеристики одиночных скалярных полей и скалярного дублета Прежде всего, сделаем одно замечание. Поскольку свободные нулевые колебания классического и фантомного скалярного полей независимы с точностью до одного условия на параметры и начальные условия (4), то и все характеристики колебаний этих полей при одних и тех же параметрах и начальных условиях для каждого поля, кроме эффективной энергии колебаний, не зависят от того, одиночные ли эти поля или входят в состав дублета. Продемонстрируем сначала тот факт, что процесс прилипания фазовых траекторий к границам запрещенных областей не является уникальным свойством скалярного дублета, но присущ в равной степени и одиночным скалярным полям. Для этого рассмотрим случай . На рис. 2 и 3 показаны фазовые траектории одиночных скалярных полей для системы с одинаковыми фундаментальными параметрами. Кроме того, на этих рисунках продемонстрирован факт стремления траекторий к границам запрещенных областей при . Начальные условия для этих случаев следующие: рис. 2: пунктирная линия - ; сплошная линия (на границе) - ; рис. 3: сплошная линия - ; (на границе), - пунктирная линия; 4-й и 3-й типы запрещенных областей фазового пространства. Рис. 2. Фазовая траектория одиночного клас¬сического скалярного поля Рис. 3. Фазовая траектория одиночного фан¬том¬ного скалярного поля На этих рисунках начальные и конечные точки фазовых траекторий отображены черными кружками и квадратиками соответственно. Таким образом, пунктирная траектория классического скалярного поля начинается в нижнем правом секторе рис. 2, а заканчивается в верхнем правом секторе рисунка. Сплошная траектория также начинается и заканчивается в этих секторах, скользя лишь вдоль границы правой запрещенной области. Пунктирная траектория фантомного поля на рис. 3, наоборот, не выходит из правой половины рисунка, в то время как сплошная траектория скользит вдоль границы запрещенной области в обеих половинках диаграммы. Рассмотрим теперь движение скалярного дублета с теми же фундаментальными параметрами, но с начальными условиями, соответствующими весьма малым значениям эффективной энергии: . На рис. 4 и 5 показаны фазовые траектории полей дублета, а на рис. 6 и 7 - соответствующие конфигурационные траектории. Как видно, эти случаи соответствуют типам 2 и 3 запрещенных областей. Рис. 4. Фазовая траектория дублета в плоскости Рис. 5. Фазовая траектория дублета в плоскости Рис. 6. Конфигурационная траектория классического поля в дублете Рис. 7. Конфигурационная траектория фантомного поля в дублете На рис. 8 и 9 показаны зависимости периодов колебаний классического и фантомного полей от производных и , а на рис. 10 и 11 - энергетические спектры колебаний. Рис. 8. Зависимость периода колебаний классического поля в дублете от Z Рис. 9. Зависимость периода колебаний фантомного поля в дублете от z Рис. 10. Энергетический спектр колебаний классического поля в дублете Рис. 11. Энергетический спектр колебаний фантомного поля в дублете Мы видим, что, во-первых, спектры колебаний почти сплошные и, во-вторых, что они имеют несколько пиков, соответствующих степени ангармонизма колебаний. Однако заметим, что этот случай не является типичным. Типичным случаем является почти сплошной спектр с единственным максимумом, что мы продемонстрируем ниже. 3.2. Тип 3/3 топологии фазового пространства, Рассмотрим следующий набор фундаментальных параметров: . На рис. 12 и 13 показаны фазовые траектории полей дублета, а на рис. 14 и 15 - соответствующие конфигурационные траектории. На первый взгляд кажется, что эти траектории принципиально не отличаются от рассмотренных выше. Однако это не так, что показывает детальный спектральный анализ (рис. 16 и 17). Рис. 12. Фазовая траектория дублета в плоскости Рис. 13. Фазовая траектория дублета в плоскости Рис. 14. Конфигурационная траектория клас¬сического поля в дублете Рис. 15. Конфигурационная траектория фантомного поля в дублете На рис. 16 и 17 энергетический спектр аппроксимировался больмановским распределением: , (13) где - значение распределения в максимуме, - энергия колебаний, - энергия колебаний в максимуме. Более определенно, энергия колебаний равна , (14) где - период колебаний (формулы (9), рис. 8 и 9). Как видно из рис. 16 и 17, спектр колебаний имеет некоторое превышение по сравнению с больцмановским распределением в области высоких энергий. Далее, для больцмановского распределения величина равна полуширине распределения. С физической точки зрения эта величина играет роль температуры распределения. Заметим, что, как показали исследования, больцмановский вид спектра является наиболее типичным для широкого диапазона значений фундаментальных параметров системы. Рис. 16. Энергетический спектр колебаний классического поля в дублете. Линия - распределение Больцмана: Рис. 17. Энергетический спектр колебаний фантомного поля в дублете. Линия - распределение Больцмана: Заключение Таким образом, проведенные исследования показали, что ангармонизм свободных колебаний вблизи гиперповерхности нулевой энергии является источником термализации энергетического спектра свободных колебаний скалярного дублета. С другой стороны, энергетический спектр остается дискретным. Этот спектр можно интерпретировать на языке квантовой теории поля как спектр масс рождаемых скалярных бозонов. Действительно, энергия частиц равна . Однако волновая функция частиц , где описывается формулой (14), не зависит от ее координат, т.е. , но тогда .

Скачать электронную версию публикации