Electron radiation power in graphene.pdf Введение Графен является первым из открытых двумерных кристаллов [1]. Он обладает большой механической жесткостью [2], теплопроводностью [3] и мобильностью носителей заряда [4]. Также графен является ключом к пониманию свойств наноструктур, образующихся из него, например, таких, как нанотрубки, двухслойный графен и графит [4]. Электроны в графене обладают постоянной по модулю скоростью и нулевой эффективной массой [4, 5]. Линейный закон дисперсии справедлив для энергий электрона, не превышающих эВ. На сегодняшний день получены аналогичные графену по структуре двухмерные кристаллы: германен, борофен, фосфорен и силицен. Они не образованы на основе углерода и состоят из атомов германия, бора, фосфора и кремния соответственно. Методы получения графена, на сегодняшний день, становятся все эффективней и имеют перспективы выхода в промышленность с целью коммерческого использования [6, 7]. Одним из применений графена в промышленности является создание на его основе ТГц-транзисторов [8]. Излучение электронов в графене в сильных полях исследовалось в работах [9, 10]. Также изучено излучение электронов в гофрированном графене [11, 12] и в графеновых нанотрубках [13]. Было показано, что графен может служить источником ТГц-излучения [14]. В данной работе мы найдем точное решение уравнений движения электрона в графене в баллистическом режиме, т.е. на временах, много меньших времени свободного пробега, и вычислим полную мощность создаваемого им излучения. Для массивной частицы в электрическом и скрещенном полях излученная энергия за бесконечное время движения бесконечна. Однако для электрона в графене это не так. В постоянном электрическом и скрещенном полях частица излучает конечную энергию за бесконечное время. 1. Модель частицы с линейным законом дисперсии Динамику электрона в графене в квазиклассическом приближении можно описать, используя модель заряженной частицы с зарядом , которая имеет линейный закон дисперсии и стандартным образом взаимодействует с электромагнитным полем (см., например, [15]). Данная модель задается функционалом действия [16] (1) где - тензор напряженности электромагнитного поля, - метрика Минковского, - множитель Лагранжа, , см/с - скорость Ферми, с которой движется электрон в графене вблизи точек Дирака [4, 5]. Здесь и далее выбрана система единиц, в которой скорость света . Проварьировав функционал (1), получаем систему уравнений (2) (3) (4) . (5) В калибровке лагранжев множитель . Система уравнений (2) - (5) является хорошим приближением для квазиклассического описания динамики и излучения одного электрона в графене [15] на временах, много меньших , где - длина свободного пробега. Длина свободного пробега уменьшается с увеличением температуры. Так, для температуры 1.8 К, мкм, а для 200 К - мкм [17]. Ансамбль электронов создает плотность тока (6) где двойка появилась после суммирования по спинам электронов, (7) а - распределение Ферми - Дирака. При функция распределения подчиняется уравнению Лиувилля (8) для которого уравнения (2) - (4) являются характеристиками. При некогерентном сложении амплитуд излучения спектрально-угловое распределение, найденное для одной частицы, позволяет легко получить спектр излучения, создаваемого током (6). Предполагая, что электроны не вырываются из поверхности графена, ограничим рассматриваемую систему уравнений на плоскость, в которой лежит графен. Тогда (9) Будем считать, что внешнее электромагнитное поле постоянно и однородно. Тогда можно совершить поворот в плоскости графена так, чтобы компонента в новой системе координат была равна нулю. Пользуясь произвольностью в определении параметра , перейдем к так, что . Этот переход задается формулой (10) Далее будем работать в этой калибровке и штрихи у переменной и полей не ставим. 2. Общее решение Динамика существенным образом зависит от параметра (11) В зависимости от его значения имеются три режима: 1) ; 2) ; 3) . В первом случае: , (12) где мы воспользовались условием (2) и (13) Кроме того, введены безразмерные параметры (14) При существуют два особых случая: a) при решения уравнений движения (12), а также (17) для режима 2, описывают равномерное прямолинейное движение. В этом случае сила Лоренца, действующая на частицу, сонаправлена скорости частицы. В силу линейности закона дисперсии модуль скорости электрона является фиксированной величиной и сила, действующая вдоль его скорости, не приводит к ускорению; б) при сила, действующая на частицу, противоположно направлена скорости и электрон также движется равномерно и прямолинейно. Однако, в отличие от случая а), такой режим движения неустойчив. Любое малое возмущение траектории частицы приводит к тому, что частица под действием поля разворачивается и стремится при больших временах к устойчивому режиму движения а). Приближение линейного закона дисперсии (2) справедливо при . Это приводит к соотношению (15) Чем ближе траектория к прямолинейной, тем дольше электрон может описываться приближением линейного закона дисперсии. Помимо ограничения (15) необходимо, чтобы электрон при движении во внешнем электромагнитном поле оставался в образце графена и пройденный им путь был бы меньше длины свободного пробега, т.е. (16) где - характерный размер образца, который может варьироваться от 35 нм до величин порядка 10 мкм [5, 7]. Второй случай, , является аналогом скрещенного поля для электрона в вакууме. Решение уравнений движения имеет вид (17) где (18) Ограничения на параметр в этом режиме запишутся как (19) Как и в случае , это условие будет выполняться тем лучше, чем ближе траектория к прямолинейной, т.е. когда . Третий режим, , отвечает случаю, когда доминирует магнитное поле. Траектория, соответствующая этому случаю: (20) где (21) Как и для обычного электрона в вакууме [18], энергия и скорость сохраняются при . Условие имеет вид (22) Оно не зависит от , а , входят в него только в виде комбинации . Система уравнений (2) - (4) в случае постоянного поля, , имеет интеграл движения . (23) Он является аналогом интеграла движения для заряженной частицы в пространстве Минковского в постоянном и однородном электромагнитном поле [19]. 3. Излучаемая энергия Полная энергия, излучаемая в единицу лабораторного времени, дается формулой Лармора: (24) Наличие сохраняющейся величины (23) позволяет упростить вычисления (24) и получить простое выражение (25) в котором вся зависимость от траектории содержится только в , а параметр имеет вид (14). Для траектории , , мощность излучения запишется как (26) Энергия, излученная за интервал времени , равна (27) где и определены в формуле (15). Особенностью рассматриваемой модели является то, что при полная излученная энергия за любой интервал времени, в том числе бесконечный, конечна при . Если и имеет место случай б) (см. п. 2), то излученная энергия стремится к бесконечности. В частном случае, при , излученная энергия за бесконечное время конечна и равна . (28) Данная формула применима при . Интеграл (27) очень быстро насыщается и уже при дает энергии, излученной за интервал времени . Подставляя в условие (15), получаем ограничения на начальную энергию и угол влета (29) В режиме излученная энергия за интервал времени запишется как (30) где (31) За бесконечное время излученная энергия конечна и равна (32) Данная формула применима, когда (33) При излученная энергия за бесконечное время уже не конечна. За периодов будет излучено (34) Если электрическое поле отсутствует, то и (34) переходит в (35) Излученная энергия не зависит от начального угла влета. Как можно видеть из (35), при излучение частицы в магнитном поле подавлено множителем по сравнению с излучением в электрическом поле (35). Мощность излучения (27), (30), (34) нужно рассматривать на временах не меньших, чем время формирования излучения. В нерелятивистском случае время формирования излучения порядка , где - круговая частота излученного фотона. Максимум излучения приходится на частоты порядка характерного масштаба изменения траектории относительно . Из (12), (17) и (20) получаем (36) Время формирования излучения должно быть меньше времени свободного пробега, т.е. (37) Это приводит к ограничениям на начальную энергию электрона для каждого из случаев (38) В частности, для мкм и электромагнитных полей, таких, что эВ/см, имеем эВ при и эВ при . Заключение Была рассмотрена модель заряженной частицы, обладающей эффективной нулевой массой. В размерности 2+1 данная ситуация реализуется при низких энергиях в графене [5, 4]. Было получено общее решение квазиклассических уравнений движения (2) - (4) в постоянном однородном электромагнитном поле. Изучены условия применимости рассматриваемого подхода к описанию динамики и излучения в графене. Показано, что при начальном угле влета электрон не ощущает действующую на него силу Лоренца и движется равномерно и прямолинейно. Если при этом (случай б)), то такой режим движения не является устойчивым. Любое малое возмущение приводит к тому, что электрон отклоняется от прямолинейной траектории и стремится при больших временах к равномерному и прямолинейному движению, отвечающему , (случай а)). Режим движения а) является аттрактором для электрона в графене в постоянном однородном внешнем электромагнитном поле при . Найдены явные выражения для излучаемой энергии в трех режимах движения. Показано, что при излучаемая энергия за бесконечное время остается конечной. Это связанно с тем, что электрон быстро выходит в режим а), в котором он движется равномерно и прямолинейно. При излученная энергия (34) расходится за бесконечное число периодов . Данная ситуация схожа со случаем заряженной частицы, движущейся в магнитном поле [18]. В чисто магнитном поле электрон в графене движется по окружности. Его излучение является синхротронным и на гармонике c номером состоит из закрученных фотонов с проекцией полного момента импульса на ось равной , где знак определяется направлением движения электрона в графене [20].

Скачать электронную версию публикации