A new approach to calculation of secular frequencies in the dynamics of near-Earth object in orbits with large eccentric.pdf Введение Традиционно исследование вековых резонансов осуществляется с помощь аналитической [1- 4] или численно-аналитической [5, 6] методик. И в том, и в другом случаях для вычисления вековых частот используются приближенные аналитические формулы, полученные для орбит с малыми эксцентриситетами [7]. Особенностью влияния вековых, в первую очередь, апсидально-нодальных резонансов, является рост эксцентриситета [8]. В этом случае применение аналитических формул для описания эволюции резонансных соотношений оказывается некорректным, хотя при изначально малом эксцентриситете эти формулы позволяют установить сам факт наличия векового резонанса. Однако, в тех случаях, когда начальный эксцентриситет велик, эти формулы могут давать оценки, далекие от реальности. При применении численного моделирования движения представляется более целесообразным вычислять значения вековых частот с той же точностью, с которой вычисляются элементы орбиты, используя для этого уравнения Ньютона - Эйлера [7]. В качестве демонстрационного материала в настоящей работе используются результаты исследования динамической эволюции околоземных космических объектов из различных областей околоземного пространства, в том числе, на вытянутых и приполярных орбитах. Сопоставляются результаты, полученные по новой уточненной методике, с результатами, полученными по ранее применяемой [5, 6]. Структура экспериментов описана в [8-10]. Моделирование динамической эволюции объектов проводилось на интервале времени 100 лет с помощью модифицированной версии «Численной модели движения систем ИСЗ», реализованной на кластере ТГУ «СКИФ Cyberia». Описание последней версии можно найти в работе [11]. 1. Модифицированная методика исследования вековых резонансов Традиционно для выявления и исследования вековых резонансов в динамике околоземных объектов используется методика, представленная ниже. Условия возникновения вековых резонансов выводятся с использованием аргументов возмущающих функций для однократно и двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел, записанных в виде (1) где предполагается что . Обозначения элементов стандартные, индекс «0» говорит о том, что элементы относятся к начальной эпохе . Условие возникновения резонанса может быть сформулировано следующим об- разом: (2) Выражения (1) принято называть резонансными или критическими аргументами, а выражения (2) - резонансными соотношениями. При этом вековые частоты в движении спутника определяются влиянием сжатия Земли, притяжением Луны, Солнца и имеют вид (3) Традиционно эти частоты вычисляются с использованием известных формул [7]: ; (4) (5) Здесь - экваториальный радиус Земли, - большая полуось, эксцентриситет наклонение орбиты и среднее движение спутника, - большая полуось, эксцентриситет, наклонение орбиты и среднее движение третьего тела, - отношение масс третьего тела и Земли - целочисленные индексы. Формулы (4), (5) были получены авторами для почти кругового движения. Когда начальный эксцентриситет велик или в процессе эволюции эксцентриситет стремительно растет, что характерно для действия апсидально-нодальных резонансов, применение этих формул может оказаться некорректным. Процедура выявления того или иного резонанса в орбитальной динамике объекта сводится к исследованию степени малости соотношений (2) для различных наборов индексов l, p, , и . Далее для тех же значений индексов рассматривается эволюция во времени соотношений (1), так называемых резонансных (или критических) аргументов. Это необходимо [12, 13] для того, чтобы установить, какой характер имеют резонансные конфигурации: устойчивый при либрационном изменении соотношений (1) или неустойчивый при циркуляционном изменении. Типы апсидально-нодальных резонансов, связанных с Луной и Солнцем, можно найти, например, в [14]. При исследовании долговременной эволюции во времени соотношений (1) и (2) значения элементов орбиты спутника определяются с помощью численного моделирования. Мы предлагаем распространить эту процедуру и на вычисление всех частот, входящих в формулы (2), и для вычисления частот в движении околоземного объекта использовать точные уравнения Ньютона - Эйлера (6) где S, T, W - возмущающие ускорения, записанные в орбитальной системе координат и связанные с правыми частями уравнений движения известными соотношениями [7]. А вековые частоты возмущающих тел получать из фонда координат больших планет с использованием производной от интерполяционного полинома Лагранжа 12-го порядка: (7) Таким образом, аналитический подход используется только на стадии выявления условий возникновения резонанса из соотношения (2) и формирования соответствующих таблиц резонансных соотношений [8,14]. При этом мы исходим из того, что осреднение не меняет природы возмущений, но позволяет выделить из них резонансные составляющие. Далее все оценки осуществляются с использованием численных методов. В настоящей работе мы будем рассматривать только апсидально-нодальные резонансы, так как именно они приводят к значительному росту эксцентриситетов орбит во времени [6, 8]. Как будет показано на примерах, такой подход дает ряд преимуществ. Он позволяет выявлять наличие резонанса при больших эксцентриситетах на начальной стадии движения и следить за эволюцией резонансного соотношения на всем интервале прогнозирования при его стремительном росте. Этот подход может быть полезен и в тех случаях, когда приближенные формулы дают неуверенный результат. 2. Сопоставление методик Численное моделирование во всех рассматриваемых в работе примерах осуществляется на столетнем интервале времени с учетом влияния центрального притяжения и гармоник геопотенциала до восьмого порядка и степени, а также возмущений от Луны и Солнца [11]. Как уже упоминалось выше, моделирование динамической эволюции объектов проводилось с помощью модифицированной версии «Численной модели движения систем ИСЗ». В численную модель была добавлена возможность при необходимости вычислять вековые частоты спутника по точным формулам, используя уравнения Ньютона - Эйлера. Сопоставление методик будем производить на примере выявления и исследования резонанса Лидова - Козаи [15, 16], который является резонансом первого порядка и трактуется [17] как резонанс между вековыми частотами движений перицентра и узла орбиты спутника, возникающими под действием возмущений. Этот резонанс зависит от величины наклонения спутника к орбите третьего тела, поэтому его часто называют геометрическим. Результаты исследования представлены на рис. 1-4, причем материал расположен следующим образом. На рис. 1, а приведены, сверху вниз, эволюция наклонения (i) орбиты объекта к экватору центрального тела, изменение эксцентриситета (е), эволюция большой полуоси орбиты объекта (а). На рис. 1, б также сверху вниз расположены оценка изменения резонансного соотношения во времени, полученная с использованием приближенных аналитических формул (4), (5), та же оценка, полученная по точным формулам (6), и эволюция во времени соответствующего резонансного аргумента. Рассмотрим, прежде всего, случаи слабого роста эксцентриситета. Пример, когда совпадение оценок не вызывает сомнения, приведен на рис. 1. Здесь и аналитическая и численная оценки показывают прохождение резонансного соотношения через нулевое значение. Аналитическая оценка является осредненной и имеет небольшое количество переходов через ноль, кроме того, она в какой-то степени повторяет колебания наклонения и эксцентриситета (см. формулы (4) и (5)). Численная оценка свободна от таких ограничений и дает большое количество прохождений резонансного соотношения через нулевое значение. При этом разброс у численной оценки даже больше, чем у аналитической. На рис. 2 представлены данные по объекту с незначительным ростом эксцентриситета на всем интервале прогнозирования. Здесь оценка, полученная по аналитической методике, вызывает сомнения. Резонансное соотношение не проходит через нулевое значение, но колеблется в области малых значений. В то же время резонансный аргумент либрирует на всем интервале времени. Точная оценка показывает, что резонансное соотношение колеблется в достаточно широкой полосе значений, многократно проходя через нулевое значение. Рис. 1. Пример совпадения оценок для объекта с малым ростом эксцентриситета: а - эволюция основных элементов орбиты объекта; б - резонанс Лидова - Козаи , оценки резонансных характеристик описаны в основном тексте Рис. 2. Сравнение методик при незначительном росте эксцентриситета: а - орбитальная эволюция; б - оценки резонансных характеристик, резонанс Лидова - Козаи На рис. 3 и 4 приведены данные, которые позволяют сравнить рассматриваемые методики на примерах выявления резонанса Лидова - Козаи в движении объектов с различными скоростями роста эксцентриситета. На рис. 3 приведены данные по объекту, у которого эксцентриситет растет стремительно в первые 50 лет эволюции, а затем в движении наблюдается эффект Лидова - Козаи, сопровождающийся перекачкой энергии между эксцентриситетом и наклонением орбиты. На рис. 4 представлены данные, которые позволяют сравнить методики на примере выявления резонанса Лидова - Козаи в динамике объекта, имеющего большой начальный эксцентриситет. У данного объекта, начальный эксцентриситет равен 0.6 и эффект Лидова - Козаи наблюдается в динамике объекта на всем интервале численного моделирования. Рис. 3. Сравнение методик при значительном росте эксцентриситета: а - орбитальная эволюция; б - резонанс Лидова - Козаи Приведенные на рис. 3, 4 данные говорят о том, что использование приближенных аналитических формул для вычисления вековых частот не дает точного представления о характере изменения этих частот для орбит с большим или быстро растущим эксцентриситетом. В то время как точная методика позволяет проследить наличие резонанса на всем исследуемом интервале вре- мени. Рис. 4. Сравнение методик при большом начальном эксцентриситете: а - орбитальная эволюция; б - резонанс Лидова - Козаи Заключение Таким образом, в настоящей работе предложен новый подход к выявлению и исследованию вековых резонансов в динамике околопланетных объектов. Аналитическая методика используется только на стадии выявления резонансных соотношений, которые могут проявиться в динамике рассматриваемых объектов. Для этого используются аргументы возмущающей функции в однократно и двукратно осредненной задаче трех тел. Моделирование орбитальной эволюции и вычисление всех вековых частот, которые имеются в динамике конкретного объекта, производится численно. Именно численная оценка вековых частот по точным формулам отличает этот подход от методики, использованной в наших предыдущих работах. Сопоставление двух методик показало, что при исследовании объектов со слабым ростом изначально почти нулевого эксцентриситета методики дают одинаково надежный результат. В случае быстрого роста эксцентриситета, что характерно для объектов на приполярных орбитах, оценки, получаемые точным методом, более надежны. При исследовании динамики объектов с большим начальным эксцентриситетом новый подход также предпочтителен. Кроме того, этот подход может быть полезен в сложных случаях, когда аналитические оценки частот противоречат поведению резонансного аргумента.

Скачать электронную версию публикации