Statially homogeneous models of Stackel spaces of type (2.1).pdf Как известно, пространственно-однородные модели пространства-времени играют большую роль при построении реалистичных моделей развития Вселенной в любых метрических теориях гравитации. Одним из важных инструментов изучения подобных моделей является изучение геодезических линий в данных пространствах, в том числе и изотропных (световых). С этой точки зрения в исследовании пространственно-однородных моделей интерес представляют возможности аналитического интегрирования в этих моделях уравнения эйконала и уравнения движения пробных частиц в формализме Гамильтона - Якоби методом разделения переменных. Пространства, допускающие существование систем координат, в которых уравнения движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби интегрируются методом полного разделения переменных, называют штеккелевыми (в честь Пауля Штеккеля, Paul Stäckel, см. [1]). Пространства, допускающие полное разделение переменных в уравнении эйконала, называют конформно-штеккелевыми пространствами. Согласно общей теории штеккелевых пространств (ШП), разработанной В.Н. Шаповаловым [2], данные пространства определяются так называемым «полным набором» полей Киллинга, состоящим из векторов Киллинга и тензоров Киллинга второго ранга, соответствующих наборам интегралов движения пробных частиц и отвечающих некоторым алгебраическим условиям. Краткое описание основных результатов теории ШП можно найти в работе [3]. Получаемые пространственно-однородные модели, допускающие интегрирование уравнения эйконала (излучение) и уравнения движения пробных частиц (пылевая материя), представляют интерес как для классической теории гравитации Эйнштейна, так и для других модифицированных метрических теорий гравитации [4], в том числе и для сравнительного анализа поведения данных моделей в различных модифицированных теориях гравитации. В данной работе мы рассмотрим штеккелевы пространства типа (2.1), которые допускают два коммутирующих вектора Киллинга в «полном наборе», поэтому в привилегированной СК (где допускается разделение переменных) метрика ШП типа (2.1) может быть записана так, что зависит только от двух переменных - и : , (1) где ; функция является в случае конформно-штеккелевых пространств произвольной функцией всех четырех переменных, а в случае штеккелевых пространств типа (2.1) имеет вид . Переменные, от которых метрика в привилегированной СК не зависит, называют игнорируемыми (циклическими) переменными. Для ШП функция действия пробных частиц может быть записана в привилегированной системе координат в «разделенном» виде. В той же системе координат допускает полное разделение переменных и уравнение эйконала, причем метрика будет отличаться от наличием произвольного конформного фактора . Для штеккелевых пространств типа (2.1) c метрикой (1) в привилегированной СК для функции действия пробных частиц имеем (игнорируемые переменные входят линейно) (2) Здесь - функция действия пробной частицы; - метрика пространства-времени; - масса пробной частицы. Причем функции и являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений: ; (3) (4) где - постоянные параметры пробных частиц, а точка означает обыкновенную производную от функции одной переменной. Таким образом, в рассматриваемых моделях пространства-времени мы можем проинтегрировать в квадратурах уравнения движения пробных частиц и излучения в гравитационном поле. В случае уравнения эйконала вектор (где - функция эйконала) задает волновой вектор излучения, а уравнения задают волновые поверхности излучения (фронт волны). Классы пространственно-однородных моделей ШП типа (2.1) При выделении из семейства штеккелевых пространств типа (2.1) пространственно-однородных моделей мы предполагаем, что число попарно коммутирующих векторов Киллинга рассматриваемых моделей остается равным двум, так что метрика в привилегированной СК зависит от двух неигнорируемых переменных, а коммутирующие векторы Киллинга и из полного набора ШП (2.1) можно представить в виде (5) Заметим, что вектор - изотропный, а вектор - пространственно-подобный. Дополнительные два вектора Киллинга, обеспечивающие пространственную однородность моделей, . (6) Рассматриваемые модели, допускающие в привилегированной СК зависимость метрики от одной из неигнорируемых переменных только через конформный фактор, отнесены нами к подтипу B, в отличие от тех, где присутствует зависимость от обеих неигнорируемых переменных и отнесенных нами к подтипу A. Модели типа B относятся к пересечению штеккелевых пространств типа (2.1) и множества конформно-штеккелевых пространств типа (3.1) и рассмотрены нами ранее в работе [5]. Пространства, допускающие интегрирование уравнений движения пробных частиц методом полного разделения переменных в формализме Гамильтона - Якоби, позволяют строить точно интегрируемые гравитационные модели как в теории Эйнштейна, так и в модифицированных теориях гравитации с разными видами материи [6-11]. В данной работе для каждой рассматриваемой модели типа A далее будет проведено интегрирование уравнений Эйнштейна с космологической постоянной  и тензором энергии-импульса чистого излучения с плотностью энергии и волновым вектором : (7) Для моделей, отвечающих уравнениям Эйнштейна (7), далее будут также явно проинтегрированы уравнение эйконала и уравнение движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби. Модель A.1 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Для данного класса пространственно-однородных моделей ШП (2.1) получаем (8) Метрика и дополнительные векторы Киллинга рассматриваемой модели могут быть записаны в виде (9) где - постоянный параметр модели. Для пространственно-временного интервала имеем (10) Коммутаторы векторов Киллинга модели A.1 имеют вид где причем - векторы подгруппы пространственной однородности. Знакоопределенность метрики на орбитах подгруппы пространственной однородности накладывает ограничения на область допустимых значений используемых координат: . Скалярная кривизна постоянна и отрицательна ( ), тензор Вейля . Модель относится к типу III по классификации Бианки и типу N по классификации Петрова. Если ввести новые переменные , то интервал (11) Для метрики (9) уравнения Эйнштейна (7) приводят к условию , таким образом, решения полевых уравнений для модели A.1 отсутствуют. Модель A.2 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Для данного класса пространственно-однородных моделей ШП (2.1) получаем ; (12) (13) где - постоянный параметр модели. При пространство допускает три попарно коммутирующих вектора Киллинга и вырождается в штеккелево пространство типа (3.1), этот случай мы не рассматриваем. Знакоопределенность метрики на орбитах группы пространственной однородности приводит к ограничениям на область разрешенных значений используемых координат: Отсюда следует, что . Пространственно-временной интервал представим как (14) Коммутаторы векторов Киллинга модели A.2 имеют вид . Скалярная кривизна постоянная и отрицательная ( ), компоненты тензора Вейля пропорциональны Модель относится к типу III по классификации Бианки и типу N по классификации Петрова. Решение уравнений Эйнштейна (7) для метрики (13) дает следующий результат: (15) Таким образом, получаем пространственно-однородную Вселенную с космологической постоянной , заполненную излучением с плотностью энергии и волновым вектором Интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби и уравнения эйконала для модели A.2 Проинтегрируем для метрики (13) уравнения Гамильтона - Якоби (3), (4) и получим явный вид функции действия пробной частицы (2) (при ): (16) где - постоянные параметры движения пробных частиц; - произвольная функция постоянных. При движении пробной частицы вдоль координаты могут быть точки поворота. При точек поворота нет; при - две точки поворота с разными знаками и «запрещенная» зона по между ними (инфинитное движение в по от точек поворота противоположных знаков); при - четыре точки поворота (две разрешенных зоны движения по с разными знаками - в этом случае получаем две области финитного движения пробной частицы по ). Функция эйконала для метрики (13) (при ) находится в следующем виде: (17) При точек поворота по нет. При имеются две точки поворота и «запрещенная» зона между ними (инфинитное движение по в от точек поворота противоположных знаков). В частном случае, когда постоянная движения обращается в нуль, уравнение (4) приводит к условиям на постоянные (18) Действие при приобретает вид (19) Если ввести новую переменную , то для интервала получим ( - изотропная переменная) (20) Для функции действия пробной частицы в пространстве-времени с метрикой (20) получаем (при ) (21) В частном случае, когда постоянная движения пробной частицы обращается в нуль, для функции действия частицы получим - движение частицы с постоянным импульсом вдоль координаты . Модель A.3 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Для данного класса пространственно-однородных моделей ШП (2.1) имеем ; (22) (23) Постоянные - постоянные параметры модели. При гармонические функции заменяются на гиперболические: Если ввести новую переменную , то для интервала получим (24) Коммутаторы векторов Киллинга модели A.3 имеют вид Скалярная кривизна постоянная и отрицательная ( ), все компоненты тензора Вейля пропорциональны множителю . Модель относится к типу III по классификации Бианки и типу N по классификации Петрова. Решая уравнения Эйнштейна (7) для метрики (23), получаем (25) Таким образом, получаем пространственно-однородную Вселенную с интервалом (24), с космологической постоянной , заполненную излучением с плотностью энергии и волновым вектором При и/или при тензор Вейля обращается в нуль и рассматриваемая модель пространства-времени вырождается - становится вакуумной и конформно-плоской. Интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби и уравнения эйконала для модели A.3 (гармонические функции в метрике) Интегрируя уравнение Гамильтона - Якоби для (гармонические функции в метрике), получим для функции действия пробных частиц (2) при : ; (26) ; (27) (28) Постоянные определяются начальными условиями движения пробной частицы. Заметим, что при достижении в движении частицей по координате максимального значения скорость изменения функции действия пробных частиц по (нулевая компонента четырех-импульса пробных частиц) меняет знак. Таким образом, - точка поворота движения пробных частиц по координате . Для получаем . (29) В вырожденном случае, когда , из уравнений движения пробной частицы следует условие (так как функция не постоянная). Тогда функция принимает тривиальный вид (движение частицы с постоянным импульсом вдоль ) (30) Для функции эйконала получаем выражение ( ) (31) Интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби и уравнения эйконала для модели A.3 (гиперболические функции в метрике) Интегрируя уравнение Гамильтона - Якоби для (гиперболические функции в метрике), получим . (32) При движение пробных частиц по переменной имеет точки поворота : . (33) Тогда для функции действия пробных частиц имеем (где - произвольная функция параметров) (34) Для функции эйконала получаем выражение (35) Модель A.4 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Данная модель - единственная протранственно-однородная модель при . Метрику и дополнительные векторы Киллинга можно записать в следующем виде: ; (36) (37) Если ввести переменную , то интервал примет вид (38) где - изотропная волновая переменная. Коммутаторы векторов Киллинга модели A.4 выглядят так: (39) Знакоопределенность метрики на орбитах подгруппы пространственной однородности накладывает ограничения на область допустимых значений используемых координат: Скалярная кривизна постоянна и отрицательна ( ), тензор Вейля . Модель имеет тип D по классификации Петрова и относится к типу III по классификации Бианки. Решения уравнений Эйнштейна с чистым излучением (7) для модели A.4 c метрикой (37) отсутствуют. Заключение Проведена классификация пространственно однородных моделей пространства-времени, допускающих существование привилегированных систем координат, относительно которых уравнение движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби и уравнение эйконала допускают точное интегрирование методом полного разделения переменных по типу (2.1). В классификацию не включены подмножества пространств, относящихся к конформно-штеккелевым пространствам типа (3.1), которые были получены нами ранее в работе [5]. Всего получено 4 модели рассматриваемого типа. Все полученные модели относятся к типу III по классификации Бианки. Модель A.4 относится к типу D по классификации Петрова, остальные модели имеют тип N по Петрову. Модель A.4 относится к волноподобным моделям, т.е. моделям пространства-времени, метрики которых в привилегированной системе координат (где возможно разделение переменных) зависят от волновой изотропной переменной. Полученные модели могут быть применены не только в теории гравитации Эйнштейна, но и в других модифицированных метрических теориях гравитации. Полученные модели пространства-времени допускают два точных решения уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и тензором энергии-импульса чистого излучения, которые получены в явном виде (для двух моделей - A.1 и A.4 - решения уравнений Эйнштейна с чистым излучением отсутствуют). Для полученных пространственно-однородных моделей Вселенной с излучением и космологической постоянной найден явный вид функции эйконала и вид полных интегралов для функции действия пробных частиц.

Скачать электронную версию публикации