The scattering of charge carriers in the impurity ions in the heterostructure InAs/AlSb.pdf Введение В ранних работах [1, 2] исследовалось квантовое время релаксации при таких доминирующих механизмах рассеяния носителей двумерного электронного газа (ДЭГ) в гетероструктуре InAs/AlSb, как рассеяние на шероховатостях гетерограницы, а также электрон-электронное рассеяние. Основное внимание уделялось квантовому времени межподзонной релаксации электронов. Был сделан вывод, что уширение уровней Ландау является причиной ограничения осцилляций Шубникова - де Гааза и позволяет определить малоугловое рассеяние двумерных носителей. Основную постановку задачи о рассеянии носителей заряда на ионах примеси в квантовом пределе осуществили Стерн и Ховард в [3, 4]. В ходе работы авторы установили, что атомы примеси создают энергетические уровни размерного квантования вблизи границ разрешённых зон в пределах запрещённой зоны. Поэтому атомы примеси легко переходят в ионизированное состояние и при низких температурах являются основным источником возмущения в гетероструктуре InAs/AlSb. Проведённый в рамках исследования квантово-механический расчёт потенциалов рассеяния и матриц плотностей позволил разработать теоретическую модель и получить качественные результаты. Объектом теоретического исследования является гетероструктура InAs/AlSb с двумя заполненными подзонами размерного квантования. Это даёт возможность оценить транспортное время для каждой из энергетических подзон. На основании аналитических исследований и гипотез, изложенных в работе [3], создана теория, с помощью которой удалось описать поведение двумерных носителей и дать численную оценку квантово-механическим явлениям в гетероструктуре InAs/AlSb с одной и двумя заполненными подзонами. В работе предложен новый теоретический метод расчёта времени релаксации. В ходе проведенного исследования установлено, что метод позволяет вносить в свою структуру изменения, связанные с условиями постановки задачи. С учётом данной особенности предложенный метод расчёта времени релаксации является универсальным и может служить для описания процессов переноса в квантовых ямах (КЯ) с более сложной формой потенциального рельефа. Предполагается, что разработанная теория может быть использована для исследования процессов переноса двумерных носителей в КЯ с несимметричным распределением вероятности волновых функций. Теоретическая модель Изучаемые структуры были выращены методами молекулярно-лучевой эпитаксии [5]. В легированных образцах электроны в КЯ InAs поставлялись из двух -слоев теллура (Te), расположенных на расстоянии 15 нм от гетерограницы InAs/AlSb. Зонная диаграмма гетероструктуры AlSb(-Те)/InAs/AlSb(-Те) представлена на рис. 1. Рис. 1. Зонная диаграмма структуры AlSb(-Те)/InAs/AlSb(-Те) Изотропия двумерной поверхности Ферми даёт возможность использовать аппарата тензорного исчисления для реализации математической модели. Для легированной гетероструктуры InAs/AlSb с двумя заполненными подзонами время релаксации определяется через упрощённое кинетическое уравнение Больцмана [1] (1) где - компонента тензора рассеяния, характеризующая вклад первой и второй подзоны в процессы рассеяния с транспортным временем ; - положение энергетических подзон, отсчитываемых относительно уровня Ферми , причём (2) В общем случае компоненты тензора рассеяния выражаются через формулу [4] (3) или, вводя обозначения (4) получим для компонент тензора рассеяния . (5) Так как процесс рассеяния на атомах примеси эластичен, то члены интегрируются в нуль. Получаем окончательную формулу для расчёта компонент тензора: . (6) С учетом введённых обозначений время релаксации при рассеянии на ионах донорной примеси на каждой из подзон размерного квантования определяется формулами (7) где - изменение волнового вектора, обусловленное упругим рассеянием от i к j подзоне. Согласно правилу Маттисена, полное время жизни, ограничивающее подвижность двумерных носителей, при данном механизме рассеяния даётся формулой [6] . (8) Здесь - концентрации примеси на первой и второй подзонах размерного квантования соответственно. На основе экспериментальных данных распределение концентрации примеси на подзонах будем определять через нормальное распределение Гаусса (9) где - среднеквадратическое отклонение координаты; - положение легирующего слоя; - концентрация примеси в -слое. Компоненты тензора вычислим через соотношения: (10) Квадрат матричного элемента рассеяния на ионизированных атомах примеси [3] (11) Связь обратной матрицы диэлектрической проницаемости с потенциалами рассеяния выражается формулой , (12) где - матричный элемент экранированного и неэкранированного кулоновского потенциала соответственно; - матрица диэлектрической проницаемости в приближении хаотических фаз; - статическая диэлектрическая проницаемость; - диэлектрическая постоянная; - положение первой и второй подзон вдоль оси z. Формфактор определяется следующим выражением [7]: (13) Искажения потенциального рельефа за счёт дефектов кристаллической решётки также в значительной мере влияют на столкновительный характер двумерных электронов. Легирование гетероструктуры InAs/AlSb -слоем приводит к появлению индуцированного заряда у положительных ионов примеси Te. Быстро изменяющиеся потенциалы приводят к тому, что необходимо учитывать эффект экранирования. Для решения поставленной задачи об учёте эффекта экранирования воспользуемся первым приближением теории возмущений в рамках теории экранировки Линдхарда и разложим волновую функцию по потенциалу (14) Здесь - потенциал; - волновой вектор в фазовом пространстве. Согласно определению, фурье-компонента определяется через интеграл вида (15) В линейном приближении индуцированный заряд выражается формулой [8] (16) где - равновесная функция Ферми - Дирака. Следовательно, экранированный потенциал точечного заряда с волновым вектором k выражается через диэлектрическую проницаемость формулой (17) Диэлектрическую проницаемость определим по формуле Линдхарда, учитывающую эффект экранирования [4]: (18) где - функция статической поляризации, являющаяся частным случаем матрицы статической поляризации. В пределе медленно изменяющихся потенциалов и при низких температурах формула, выражающая диэлектрическую проницаемость, является частным случаем формулы Линдхарда. Запишем её в матричном виде (19) Матрица статической поляризации и формфактор выражаются соответственно [9] (20) Здесь - подзонные волновые функции; - функция Хевисайда; (21) - эффективная масса электрона. В квантовой яме симметрия волновых функций приводит к тому, что формфактор отличен от нуля только в том случае, когда сумма индексов четная. Выпишем матричные элементы, определяющие рассеяние в первой подзоне размерного квантования. Матрица диэлектрической проницаемости имеет вид (22) В данном случае, когда , матрица статической поляризации выражается формулой (23) Согласно математическому определению функции Хевисайда (24) в условиях данной задачи (25) где и (26) Следовательно, ступенчатая функция и . В переделе малых значений формфактор . С учётом полученных формул и выводов формулы приобретают вид (27) (28) Рассматривая процесс рассеяния на второй подзоне размерного квантования, можем аналогично записать матрицу диэлектрической проницаемости и матричный потенциал рассеяния в виде (29) (30) (31) (32) (33) (34) Можем оценить, ограничиваясь членами второго порядка малости, изменение волнового вектора (35) где (36) Обсуждение результатов В ходе аналитического исследования из графиков зависимости осцилляций Шубникова - де Гааза от магнитного поля удалось определить время релаксации двумерных электронов в активном слое InAs . Из теоретических расчётов было получено время релаксации с учётом двух заполненных подзон для основной и возбужденной и общее время жизни (табл. 1). Концентрации примеси на основной и возбуждённой подзонах размерного квантования, полученные в рамках исследования теоретическими методами исчисления, представлены в табл. 2. Таблица 1 Аналитические и теоретические данные, полученные в ходе исследования, для серии образцов гетероструктур AlSb(-Tе)/InAs/AlSb(-Те) Серия образцов Аналитический расчёт Теоретический расчёт 1012, с  10-18, см-3  1012, с  10-18, см-3  10-17, см-3  1010, с  1010, с 1 1.90 0.86 1.78 0.01 0.02 1.56 0.82 2 0.71 1.50 0.57 0.22 0.18 1.12 0.74 3 0.41 2.00 0.39 0.54 1.30 0.86 0.53 4 0.29 2.40 0.20 0.87 2.29 0.47 0.28 Таблица 2 Расчётные времена жизни носителей ДЭГ в гетероструктуре AlSb(-Tе)/InAs/AlSb(-Те) Серия образцов  1014, с  10-18, см-3  10-17, см-3 1 1.85 0.01 0.02 2 0.64 0.22 0.18 3 0.38 0.54 1.30 4 0.26 0.87 2.29 В ходе работы установлена зависимость транспортного времени от общей концентрации примеси c учетом двух подзон размерного квантования (рис. 2). Математическими методами обработки числовых данных, а именно интерполяционными методами, была построена зависимость теоретических значений времен релаксации от общей концентрации положительных доноров на подзонах. Для оценки достоверности полученных значений в рамках теории проведено сравнение аналитических и теоретических данных. На рис. 2 изображено два графика. Светлые маркеры обозначают аналитические значения , темные - теоретические значения , которые лежат в пределах доверительного интервала равного 15 %. Из рис. 2 видно, что аналитические точки на графике находятся в пределах доверительного интервала теоретических значений, что свидетельствует о хорошем согласовании теории и эксперимента. Анализируя рис. 2, можно сделать вывод, что зависимость времени релаксации от общей концентрации примеси в гетероструктуре InAs/AlSb подчиняется экспоненциальному закону. Установленная зависимость транспортного времени от концентрации согласуется с фундаментальными положениями [5] и результатами эксперимента [6]. Качественный анализ рис. 2 позволяет сделать вывод, что с увеличением концентрации примеси в образцах транспортное время жизни, ограничивающее подвижность двумерных носителей, уменьшается [10]. В результате теоретического исследования транспортного времени для каждой из подзон размерного квантования установлено, что для всех образцов выполняется условие . Данный результат подтверждает гипотезу о том, что внешнее возмущение воспринимается электронами, локализованными вблизи гетерограницы. Максимумы квадрата вероятности волновой функции электрона в квантовой яме, находящегося на второй подзоне, располагаются ближе к гетерогранице, чем максимумы основной подзоны. Следовательно, носители заряда в возбуждённой подзоне оказываются в более сильном поле действия ионов донорной примеси и первыми вступают в механизм упругого рассеяния. Рис. 2. Зависимость транспортного времени от концентрации примеси Те в гетероструктуре AlSb(-Tе)/InAs/AlSb(-Те) Оценку времени релаксации при рассеянии двумерного электронного газа на ионах примеси применительно к данной гетероструктуре InAs/AlSb можно получить из упрощённой формулы, записанной в виде (37) Здесь - ширина квантовой ямы; - ширина пространственного заряда; - волновой вектор Томаса - Ферми; - толщина спейсера; - расстояние от центра волновой функции электрона до гетерограницы, причем атомы примеси удалены от двумерного электронного газа на расстояние (38) где (39) Результаты расчетов , выполненных на основе формулы (37), представлены в табл 2. Сравнивая данные табл. 1 и 2, видно, что значения времени релаксации , рассчитанные на основании формулы (37), менее близки по точности к , чем те, которые вычислены с помощью матричного метода В. Гейзенберга и М. Борна, . Данное несогласование обусловлено тем, что приведённая формула не учитывает экранированный кулоновский потенциал. Достаточно хорошую оценку эффекта экранировки можно получить, воспользовавшись формулой для радиуса действия поля иона примеси в месте своей дислокации [5] (40) где - равновесная функция распределения электронов; - плотность состояний; - диэлектрическая проницаемость. В борновском приближении, когда , из формулы (40) получим для радиуса экранировки (41) где - радиус действия потенциала; - масса падающей частицы; - рассеивающий потенциал. Потенциал в точке, отстающей от произвольно дислоцированного иона донорной примеси на расстояние , выражается формулой (42) при этом потенциал рассеяния даётся выражением (43) Заключение Установлено, что одним из доминирующих механизмов в гетероструктуре AlSb(-Tе)/InAs/ /AlSb(-Те) является рассеяние носителей двумерного электронного газа на ионизированных атомах примеси Te. В ходе научного исследования удалось дополнить и усовершенствовать существующую теорию для механизмов упругого рассеяния носителей ДЭГ в гетероструктуре AlSb(-Tе)/InAs/ /AlSb(-Те). Разработана теоретическая модель при использовании потенциалов рассеяния и матриц плотностей с элементами теории экранировки Линдхарда для экранированного и неэкранированного кулоновского потенциала. Изложенный в работе квантово-механический расчет позволил в условиях воздействия на движение электронов различных внутрисистемных и внешнесистемных факторов оценить флуктуационные изменения параметров, характеризующих процессы переноса в гетероструктуре AlSb(-Tе)/InAs/AlSb(-Те). В рамках модели получены теоретические значения, время жизни двумерных носителей заряда при рассеянии на ионах примеси составляет порядка 10-12 с. В ходе исследования гетероструктур получены численные значения концентрации примеси на подзонах, а также качественно проанализированы данные транспортного времени, полученные из теории и эксперимента. Проведённый расчёт транспортного времени ДЭГ, учитывающий заполнение двух подзон размерного квантования в InAs/AlSb, предоставил возможность изучить кинетику двумерных электронов, а также оценить вклад каждой подзоны размерного квантования в общее время релаксации. Установлено, что разработанная теория с достаточной точностью описывает изучаемые эффекты двумерных носителей в гетероструктуре InAs/AlSb и может служить основой для изучения процессов переноса в гетероструктурах с различными типами потенциального рельефа.

Скачать электронную версию публикации