Effect of barodiffusion on the distribution of velocity and concentration during biological fluid filtration through a c.pdf Введение При изучении многих физических явлений приходится иметь дело с движением жидкостей в пористых средах. Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, мягкие ткани, а также искусственные материалы: строительные (бетон, кирпич), пищевые (хлеб), керамика, металлические детали и т.д. Характерная особенность всех этих материалов - способность накапливать в себе жидкость и позволять ей двигаться под действием внешних сил. Один из важнейших аспектов жизни напрямую зависит от движения жидкостей через пористые среды. Так обмен жидкостью в клетках и тканях и другие незаметные извне движения управляют транспортом питательных веществ к клеткам и выводом продуктов метаболизма из организмов. Важнейшей количественной характеристикой пористых тел является их пористость, определяемая как доля объема тела, приходящаяся на поры, или объем пор в единице объема материала. Способность пористой среды пропускать жидкость характеризуется проницаемостью. Ее определение тесно связано с основным законом движения жидкости в пористой среде, называемом законом Дарси. В качестве альтернативы соотношениям Дарси, Форхгеймера и др. при описании динамики жидкости в пористых средах используется уравнение Бринкмана. В него входит коэффициент проницаемости, который зависит только от свойств пористой среды и определяется, в основном, геометрией порового пространства. Наиболее полный обзор теоретических и экспериментальных работ по конвекции в пористых средах представлен в [1]. В работе [2] дан краткий обзор уравнений сохранения импульса, энергии и массы при фильтрации жидкости в пористой среде. Предложены выражения для вычисления подвижностей частиц, молекул и ионов при различных процессах фильтрации в произвольной пористой среде. В литературе имеется достаточно много работ, посвященных переносу жидкости в пористых биологических материалах, в том числе, например, течение крови в артериях и капиллярах. В работе [3] авторы моделируют смешанную конвекцию в плоских и цилиндрических микроканалах. Показано, что с увеличением пористости скорость потока уменьшается, а профили скорости становятся более плоскими. Сравнение количественных результатов для кругового и плоского каналов показало, что форма поперечного сечения канала оказывает существенное влияние на теплообмен и течение жидкости. Перенос жидкости в пористых средах может происходить как по конвективному, так и по диффузионному механизму, которые определяются соответственно скоростями жидкости в поровом пространстве и химическими градиентами концентрации [4-8]. В зависимости от характеристик потока и диффузионных процессов может доминировать либо один процесс, либо оба процесса могут происходить одновременно. В настоящей работе предложена и численно исследована модель фильтрации биологической жидкости в цилиндрическом слое с учетом бародиффузии. Постановка задачи При фильтрации жидкости через цилиндрический слой толщиной с заданными значениями давления и концентраций на внешнем и внутреннем радиусе цилиндра модель фильтрации для стационарного режима течения жидкости имеет вид [9] ; (1) ; (2) ; . где - давление; - относительная массовая концентрация; - пространственная переменная; - коэффициент диффузии; - коэффициент концентрационного расширения; - коэффициент изотермической сжимаемости; В - коэффициент переноса при градиенте давления, ; - молярная масса диффузанта; - температура; - универсальная газовая постоянная; - плотность смеси; - проницаемость слоя; - вязкость; - внутренний радиус цилиндра; - внешний радиус цилиндра. Перейдем к безразмерным переменным , , , , , в которых задача примет вид ; (3) ; (4) , ; (5) ; . В результате обезразмеривания возникают три безразмерных комплекса: - отношение скоростей для диффузии и фильтрации, и - коэффициент связности (бародиффузия). Анализ результатов Задача решена численно по специально разработанному алгоритму, сочетающему метод простых итераций и метод прогонки. В расчетах использованы следующие значения параметров [10- 14]: = 1, = 0.8, , , . При вычислениях варьировались следующие безразмерные комплексы: , , , и . Все численные расчеты проведены для двух случаев: связной ( ) и несвязной ( ) моделей и для двух размеров пористого слоя и 0.25. Установившийся режим течения может быть диффузионным ( ) и конвективным ( ). Влияние режима течения жидкости в пористой стенке цилиндра для трех размеров толщины стенки показано на рис. 1. Скорость линейно уменьшается с координатой как при конвективном (рис. 1, а, линии III-1), так и при диффузионном (рис. 1, а, линии III-2) режимах течения и при малой толщине стенки цилиндра. В случае толстой стенки цилиндра (рис. 1, а, линии I) режим течения не влияет на распределение скорости. При данном наборе параметров коэффициент связности наибольшее влияние оказывает на распределение скорости и концентрации в конвективном режиме и при (рис. 1, линии III-1). Рис. 1. Скорость (а) и концентрация (б) в цилиндрическом слое при фильтрации жидкости в конвективном (1) и диффузионном (2) режимах течения при разной толщине стенки цилиндра: I - ; II - ; III - ; ; ; сплошные линии - ; символы - Размер пористого слоя цилиндра существенно влияет на распределение скорости и проявление бародиффузии ( - сплошные линии). Уменьшение размера пористого цилиндрического слоя приводит к увеличению скорости в нем (рис. 2, а, линии II). Из рис. 1 следует, что чем меньше размер этого слоя, тем больше отличается связанная и несвязанная модели. Величина скорости в конвективном режиме больше, чем в диффузионном при любом размере толщины стенки цилиндра. Чем больше толщина стенки цилиндра, тем сильнее начинает влиять кривизна на распределение скорости, которое становится нелинейным (рис. 2, а, линии I). Коэффициент сжимаемости жидкостей имеет низкое значение и поэтому оказывает незначительное влияние (на рисунках не представлено). Вследствие явления концентрационного расширения распределения давления и скорости зависят от типа примеси (что отражает величина и знак коэффициента концентрационного расширения). Профиль скорости в конвективном режиме и при изменяется на противоположный при изменении знака коэффициента концентрационного расширения (рис. 2, а, линии II). Этот результат качественно согласуется с результатом для плоского слоя. В диффузионном режиме при любом размере пористого слоя практически не влияет на распределение скорости и концентрации (рис. 2, в, г). Бародиффузия влияет тем значительнее, чем больше отличаются коэффициенты концентрационного расширения диффузанта и растворителя ( - линия II-1 или - линия II-3 (рис. 2, а)). Перепад давления оказывает влияние на распределение скорости и концентрации. При уменьшении перепада давления скорость уменьшается и в конвективном (рис. 3), и в диффузионном режимах (на рисунке не приведено). Бародиффузия оказывает наибольшее влияние в конвективном режиме при большем перепаде давления и (рис. 3, а, линии I-1 и квадраты). Распределение концентрации в конвективном режиме и остается нелинейным при любом перепаде давления (рис. 3, б, линии II), а при и уменьшении перепада давления распределение скорости становится линейным (рис. 3, б, линии I-3 и треугольники). В диффузионном режиме перепад давления не оказывает влияния на распределение концентрации при любой толщине стенки цилиндра (на рисунке не приведено). Рис. 2. Скорость (а, в) и концентрация (б, г) в цилиндрическом слое при фильтрации жидкости в конвективном (а, б) и в диффузионном (в, г) режимах при разных значениях коэффициента концентрационного расширения: 1 - ; 2 - ; 3 - ; I - ; II - ; ; сплошные линии - ; символы - Рис. 3. Скорость (а) и концентрация (б) в цилиндрическом слое при фильтрации жидкости в конвективном режиме при разном перепаде давления: 1 - 2 - 3 - I - ; II - ; ; ; сплошные линии - ; символы - Наибольшее влияние бародиффузия ( ) оказывает на распределение скорости и концентрации в конвективном режиме и при малой толщине стенки цилиндра (рис. 4). При увеличении концентрация незначительно увеличивается. В диффузионном режиме бародиффузия практически не влияет при любом . Рис. 4. Скорость (а) и концентрация (б) в цилиндрическом слое в конвективном режиме при разных значениях параметра ; ; ; сплошные линии - ; символы - Заключение В работе представлена модель течения жидкости в пористом цилиндрическом слое с учетом концентрационного расширения, сжимаемости и бародиффузии. Распределение скорости и концентрации для разной толщины стенки цилиндра значительно отличается. Показано влияние режимов течения биологической жидкости. Влияние параметров модели на распределение скорости и концентрации при малой толщине слоя цилиндра качественно аналогично в плоском слое. В конвективном режиме и при малой толщине стенки цилиндра бародиффузия влияет значительнее, чем в диффузионном режиме. Выявленные нелинейные эффекты могут представлять интерес для биофизических приложений, когда наблюдается отклонение от классических законов фильтрации при малых скоростях течения. Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. профессору А.Г. Князевой за важные замечания и советы при формулировке задачи, проведении исследования и оформлении результатов.

Скачать электронную версию публикации