Spin effects at the photon emission by “two-dimensional” hydrogen-like atom.pdf Введение Эффект излучения фотона водородоподобным атомом является ключевой задачей как обычной «трехмерной» квантовой механики и КЭД [1], так и в пролонгации на «двумерное» пространство с «двумерным» в плоскости атомом. Интерес к таким «низкоразмерным» атомам связан с принципиальной возможностью их экспериментальной реализации, подобно получению «двумерных» атомов в фазе бозе-конденсата в эксперименте авторов работы [2]. Как показано в работах [3-5], при рассмотрении этих вышеупомянутых вопросов в обычном «трехмерном» пространстве нетривиальную роль могут играть спиновые эффекты, зависящие, в свою очередь, от выбора спиновых операторов в рамках теории Дирака и при разложении по релятивистскому параметру , . В предложенной нами в этих работах схеме учета спиновых эффектов вероятность однофотонного излучения для аналога -линии серии Лаймана (т.е. при любом ) не меняется по сравнению с теорией Шредингера [6], однако правила отбора «по » могут и измениться, хотя строго это нами не доказано. Кроме того, в этом подходе возможна и более наглядная по сравнению с общепринятой интерпретация так называемых контактных и спин-орбитальных поправок к энергии. Эта же программа уже частично реализована нами и для «двумерного» водородоподобного атома при наиболее естественном выборе спинового оператора, проектирующего спин на плоскость «движения» [7, 8]. Представляет интерес, по аналогии с работой [9], другой выбор этого оператора, проектирующего спин на ось . Конкретно, в данной работе на основании сравнения результатов вычислений по теории Дирака с использованием указанных спиновых операторов и в теории Шредингера мы демонстрируем адекватность нашего выбора спинового состояния [8] по сравнению с подходом авторов [9], как на это и было предварительно указано в работе [8]. С этой целью сначала найдем эквивалентный [9] вид спинового оператора в рамках развиваемого нами подхода к учету спиновых состояний. Как и в работах [7, 8], или ранее в «трехмерном» случае, в [3, 4] решение уравнения Дирака , (1) , (1а) , ищем в виде . (1б) При этом после подстановки (1б) в (1) с учетом (1а) для «промежуточного» спинора получается уравнение , (1в) где , (1г) , , (1д) причем оператор и его матричные элементы имеют порядок по отношению к . Таким образом, в пренебрежении вкладом ~ все компоненты спинора удовлетворяют «двумерному» уравнению Шредингера . Нормированное решение этого уравнения получается из решения соответствующего «трехмерного» уравнения [10] с помощью приведенных в работах [11, 12] переобозначений (см. также, например, [13]) и в выражении через вырожденную гипергеометрическую функцию имеет вид , , , (2) , (2а) , , ; , (2б) , (2в) , , (2г) а значение энергии равно . (3) Выберем cпиновый оператор как оператор проектирования на ось [13], как это было декларировано выше (в нашей работе [8] он был выбран как оператор проектирования на ось ): , . (4) Подобно работе [8], спинор выбираем как собственную функцию этого оператора: , = ; , . (5) Конкретные значения констант , как будет видно, в нашей постановке задачи несущественны. Далее для нахождения дираковского спинора, согласно уравнению (1б), представим оператор при использовании стандартного представления -матриц с точностью до несущественного в данном случае общего множителя в «безразмерной» форме [8] , , (6) где - единичная и нулевая матрицы , а дифференциальный оператор . (6а) После подстановки (5), (6) в (1б) находим для дираковского спинора , . (7) При вычислении фигурирующих далее в работе «электронных скобок» вида , , как легко видеть, вклады ~ будут содержать , аналогично ситуации в работе [8], и соответствующие компоненты спиноров (7) в нашем приближении по можно сразу заменить на «0», так что , . (7а) 1. Матричный элемент процесса однофотонного излучения «двумерным» водородоподобным атомом Для вычисления элемента -матрицы , (8) , , (8a) соответствующего процессу излучения по обычному лагранжиану КЭД , , , (8б) как и в [8], введем для дальнейшего удобства обозначение (9) для «электронных скобок» без переворота спина. При этом легко видеть, что переходы с переворотом спина в данном приближении по отсутствуют, т.е. . В этом коренное отличие от работы [8], когда такие переходы имеют тот же порядок по , что и переходы без переворота. Для величины же после элементарных вычислений с использованием представления (7а) получаем . (10) Выбирая состояния линейной поляризации фотона через сферические углы его импульса , имеем для ортогональных поляризаций , (11a) , . (11б) При этом для «электронно-фотонного» матричного элемента, соответствующего поляризации (11а) и определяемого как + , получается выражение . (12) Переходя далее в к безразмерной радиальной функции и безразмерной переменной и опуская в лидирующем приближении по [8] «фотонный экспоненциальный фактор» , матричный элемент (8a) запишем в виде . (13) Введем также для дальнейшего удобства следующие обозначения интегралов по : , , (14) , , (14a) , (14б) и с факторизацией характерных множителей имеем тогда после элементарного интегрирования по в (13) . (15) Для величины с использованием определений (12) - (15) и представления (2) решения «двумерного» уравнения Дирака получается выражение , (16) . (16а) При получении этого выражения в (13) было выполнено также трансляционное преобразование переменной , при котором пределы интегрирования не меняются вследствие периодичности подынтегрального выражения (см., например, [14]). Для преобразования выражения (16) учтем, что в квадратных скобках (16) можно заменить , после чего с использованием (14а), (14б) и определения (16а) приводим его к более удобному виду . (17) 2. Вероятность процесса однофотонного излучения «двумерным» водородоподобным атомом Стандартными методами [13] легко получить следующее выражение вероятности однофотонного излучения при используемом в работе выборе спиновых операторов: , . (18) Как и в [8], матричный элемент излучения фотона с поляризацией (11б) получается из матричного элемента (12), соответствующего поляризации (11a), формальной заменой , , и для этого типа поляризации для отличных от нуля переходов получается формально совпадающее с [8] выражение . (19) Полная же вероятность, усредненная по начальному спиновому состоянию и просуммированная по конечному и по поляризации фотона, очевидно, должна быть определена следующим образом: {the sum over initial and final spin states} , (20) т.е. с учетом (19) имеем {the sum over initial and final spin states} . (20а) Отсюда с использованием (18) и при установленном выше в лидирующем приближении по отсутствии переходов с переворотом спина получаем . (21) Как и в [8], вычисление интегралов по в общем виде не представляется возможным, и следует рассмотреть основной переход , . В этом случае с учетом вида необходимого интеграла [8] (22) и значения получаем из (21) для вероятности этого основного перехода в предположении адекватности использования представления (5) спинора как собственной функции оператора (4) в случае «двумерного» водородоподобного атома . (23а) С другой стороны, значение вероятности этого же перехода при проектировании спина на ось , находящуюся в плоскости «двумерного» атома, найдено в работе [8]: , (23б) так что . (24) 3. Обсуждение Как показано в работе [8], значение (23б) совпадает с результатом при использовании теории Шредингера [6], что является достаточно веским аргументом в пользу адекватности используемого в [8] представления спинового оператора . Поскольку, как следует из (24), , то это означает неправомочность использования в качестве спинового оператора для электрона в «двумерном атоме», т.е. и отсутствие состояний с ориентацией спина перпендикулярно «плоскости такого атома». Это ставит под сомнение результаты работы [9], как и утверждалось в п. 1. Окончательный ответ на поставленный в работе вопрос могло бы дать измерение ширины основной спектральной линии «двумерного» атома в эксперименте типа проведенного авторами [2] с атомами , поскольку, согласно (24), она должна отличаться примерно на порядок при использовании спиновых операторов и .

Скачать электронную версию публикации