Diffraction-ray optics of femtosecond laser pulses under normal dispersion conditions in air.pdf Введение Фундаментальные исследования распространения фемтосекундных лазерных импульсов в оптических средах на сегодняшний день нашли применение в решении широкого круга прикладных задач, к которым относятся и задачи атмосферной оптики [1]. В частности, для фемтосекундной оптики атмосферы важно передавать лазерную энергию на протяженных трассах, проводить дистанционное зондирование окружающей среды и разряд грозовых облаков. Основой для решения данных задач являются особенности распространения фемтосекундных лазерных импульсов - их самофокусировка и филаментация. Указанные явления обусловлены пространственно-времен¬ной модуляцией фазы и амплитуды светового поля, что приводит к значительным изменениям спектральных, энергетических и пространственных характеристик излучения. Так, при распространении фемтосекундных лазерных импульсов формируются нелинейные фокусы, образуются плазменные каналы, происходит генерация суперконтинуального свечения, конической эмиссии и терагерцового излучения [2]. Согласно результатам исследований, выполненных в [3], в некоторых случаях распространение фемтосекундных лазерных импульсов происходит в условиях сильного влияния дисперсии групповой скорости (ДГС). Так, например, в [4, 5] указано, что дисперсия противодействует коллапсу импульса. В связи с тем, что основная часть исследований атмосферы с помощью фемтосекундных лазеров проводится в видимой и ближней инфракрасной областях спектра, особая актуальность изучения влияния ДГС на самофокусировку и филаментацию лазерных импульсов связана с нормальной дисперсией. Имеющиеся же на сегодняшний день результаты исследований роли ДГС в формировании картины самофокусировки и филаментации в основном касаются аномальной дисперсии, характерной для распространения импульсов из указанных областей спектра в конденсированных средах, например в плавленом кварце [6] и стекле K8 [7]. Следует также отметить, что для оценки роли ДГС важное значение имеет уровень мощности, поскольку, в соответствии с [3], считается, что при мощностях чуть больше критической [2] дисперсия воздуха может остановить самофокусировку излучения. Это связано с тем, что при самофокусировке импульсов указанной мощности для миллиметровых лазерных пучков может реализоваться ситуация, когда дисперсионная длина окажется наименьшим масштабом из характерных продольных длин задачи [8, 9], что приведет к падению пиковой мощности и, таким образом, к невыполнению условий самофокусировки. Учитывая вышеизложенное, представляет интерес рассмотреть более детально и для более широкого набора входных параметров импульса влияние ДГС на распространение фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе в условиях самофокусировки и филаментации. Перспективным методом для анализ указанных явлений является метод дифракционно-лучевых трубок (ДЛТ). Его развитие можно проследить, начиная с работы [10]. Данный метод позволяет оценить перераспределение энергии, происходящее между различными временными слоями лазерного импульса, получить соотношения для приближенной оценки явления, что важно для прогнозирования распространения фемтосекундных лазерных импульсов в атмосфере [1]. Цель данной работы - изучение дифракционно-лучевой картины распространения фемтосекундных импульсов титан-сапфирового лазера в воздухе в условиях влияния ДГС. В основе метода ДЛТ лежит представление лазерного пучка в виде множества вложенных друг в друга трубок, каждая из которых характеризуется конечным сечением, а также отсутствием энергообмена и пересечений с соседними ДЛТ. Это позволяет рассматривать каждую такую трубку в качестве световой структуры, т.е. области в лазерном пучке, для которой характерна выполнимость определенных энергетических соотношений. При распространении лазерного излучения форма данных трубок изменяется, что позволяет судить о характере физических процессов, происходящих с излучением. Эффективность использования данного метода в задачах распространения фемтосекундных лазерных импульсов к настоящему времени продемонстрирована в [11, 12]. Основные соотношения дифракционно-лучевой оптики самофокусировки и филаментации лазерных импульсов В соответствии с [1, 13] за основу для проведения численного моделирования было взято параболическое уравнение для медленно меняющейся комплексной амплитуды электрического поля U(x, y, z; t) световой волны. Ее связь с напряженностью поля Е(x, y, z; t) определяется из соотношения Е(x, y, z; t) = U(x, y, z; t)exp(- iω0t + ik0z). Здесь x, y - координаты поперечного вектора r ; z - продольная координата; t - время; ω0, k0 = n0ω0 / c - центральные частота и волновое число лазерного излучения, где - показатель преломления невозмущенной среды, ε0 - ее диэлектрическая проницаемость, с - скорость света в вакууме. Начальный профиль поперечного распределения амплитуды лазерного излучения с плоским фазовым фронтом задавался гауссовской функцией где U0 - начальное значение комплексной амплитуды электрического поля. Значения длительности импульса tp и начального радиуса пучка R0 определялись по уровню е-1. В системе координат, движущейся с групповой скоростью импульса vg, уравнение для U(x, y, z; t) имеет вид . (1) В (1) использована замена переменной t → t - z/vg. Другие обозначения имеют следующий смысл: - лапласиан по поперечным координатам; - коэффициент дисперсии групповой скорости; k = n0ω / c - волновое число на частоте ω; - добавка к показателю преломления среды за счет кубичной нелинейности (эффект Керра) с учетом мгновенной и инерционной составляющих; ; n2 - коэффициент кубичной нелинейности; β - коэффициент, учитывающий вклад каждой из этих составляющих; δ(t) - дельта-функция Дирака; Λ(t - t´) - функция молекулярного отклика; - добавка за счет нелинейности высших порядков, М - число удерживаемых слагаемых в выражении для высших нелинейностей, - коэффициент нелинейности высших порядков; - добавка за счет рефракционной нелинейности плазмы, ρе - плотность электронов, - критическая плотность плазмы; τс - среднее время свободного пробега электрона; - нелинейный коэффициент поглощения, характеризующий потери энергии излучения на фотоионизацию; WI - скорость (вероятность) фотоионизации газа с плотностью нейтральных атомов (молекул) ρnt; σс, ΔEi - сечение каскадной ионизации и потенциал ионизации молекулы соответственно; - интенсивность излучения [14]. В данном случае используется параболическая форма дисперсионного соотношения, что справедливо для разреженных газов: , где параметр . Таким образом, правая часть уравнения (1) описывает влияние линейных эффектов дифракции пучка и частотной дисперсии воздуха, а также нелинейную поляризуемость среды в интенсивном оптическом поле, что приводит к амплитудно-фазовой самомодуляции. К числу наиболее существенных нелинейно-оптических эффектов относятся электронный и молекулярный эффект Керра, нелинейная рефракция и поглощение в формирующейся в канале пучка плазме, а также нелинейность высших порядков по полю. Плотность электронов ρe в газовой среде определяется из скоростного уравнения , (2) правая часть которого учитывает полевой тип ионизации среды (многофотонная/туннельная ионизация). Скорость фотоионизации среды WI вычислялась по модели Переломова - Попова - Терентьева [15]. В качестве среды распространения рассматривалась непоглощающая воздушная смесь кислорода (20 %) и азота (80 %). Для излучения титан-сапфирового лазера на длине волны λ0 = 800 нм, которое будет в дальнейшем использоваться при проведении численного моделирования, значения коэффициентов в (1), (2) в соответствии с [14] были взяты следующими: n2 = 3.2∙10-23 м2/Вт, β = 1/2, М = 4, фс2/см, τc = 350 фc, σс = 5.52•10-24 м2, ΔEi = 12.1 эВ (кислород) и 15.6 эВ (азот). Переход от комплексного поля U(r , z; t) к действительным амплитуде А(r , z; t) и фазе φ(r , z; t) волны, U = Аеiφ, позволяет в рамках амплитудно-фазового подхода получить основные соотношения дифракционно-лучевой оптики. В рамках данного подхода уравнения для амплитуды и фазы записываются с использованием характеристических дифференциальных уравнений для переменных Rd, z, τdis. В результате уравнения для мгновенного дифракционного Rd и «временнóго» τdis лучей представляются через фазу волны φ в следующем виде: (3) Каждый дифракционный луч (ДЛ) Rd представляет собой пространственную траекторию, касательная к которой совпадает с нормированным на интенсивность волны вектором Умова - Пойнтинга. Множество близкорасположенных ДЛ формирует ДЛТ. Временные лучи показывают направление перераспределения интенсивности между временными слоями внутри импульса при его распространении. Проведя усреднение по времени, можно ввести усредненную координату ДЛ , (4) где - плотность энергии световой волны. Влияние дисперсии групповой скорости на филаментацию фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе Для определения влияния дисперсии на распространение фемтосекундных лазерных импульсов были построены дифракционно-лучевые картины для мгновенных ДЛ, соответствующих центральному временному слою импульса τ = (t - z/vg) /tp = 0 (рис. 1). Траектории мгновенных ДЛ определены по известному профилю фазы волны φ при решении уравнений ДЛ (3). Моделирование проводилось для импульсов длительностью tp = 20 и 100 фc с относительной пиковой мощностью η = Р0/Рсr = 6 (Р0 - пиковая мощность в импульсе; Рсr = 3.2 ГВт - критическая мощность самофокусировки) для пучков радиусом R0 = 1 мм, что соответствует одиночной филаментации. На рис. 1 радиус ДЛТ нормирован на начальный радиус пучка R0, а продольная координата z - на длину Рэлея исходного пучка , равную половине длины дифракции. Рис. 1. Зависимость относительных радиусов ДЛТ вдоль трассы для пучка радиусом R0 = 1 мм, длительностью импульса tр = 20 (а) и 100 (б) фс и относительной пиковой мощностью η = 6 Для наглядности на рис. 1 жирными линиями выделены ДЛТ, соответствующие энергетически пополняющим. Данные трубки формируют нелинейный фокус, содержат энергию, необходимую для поддержания филаментации, а после ее окончания определяют границы постфиламентационного светового канала. Для импульсов длительностью 100 фс зависимость характеристик энергетически пополняющей трубки от начальных параметров лазерного излучения была определена в работе [11]. Сравнивая значения радиусов энергетически пополняющих ДЛТ на рис. 1, следует отметить, что при уменьшении длительности лазерного импульса со 100 до 20 фс радиус данной трубки увеличивается. Это обусловлено выравниванием значения мощности для различных временных слоев импульса: уменьшением мощности в центральном временном слое и ее увеличением на переднем по сравнению со случаем нулевой дисперсии. Кроме того, в условиях влияния дисперсии для импульсов малой относительной мощности радиус энергетически пополняющей ДЛТ может превосходить начальный радиус лазерного пучка, что в случае отсутствия дисперсии (см. [11]) характерно только для субмиллиметровых лазерных пучков. Кроме того, установленное в работе [11] постоянство радиуса энергетически пополняющей трубки для миллиметровых лазерных пучков и импульсов длительностью в сотни фемтосекунд, т.е. при отсутствии дисперсии, не наблюдается в случае влияния ДГС. Рис. 1 также демонстрирует уменьшение длины области филаментации лазерных импульсов вследствие влияния ДГС. Если для импульсов длительностью 100 фс (рис. 1, б) область филаментации располагается от первого до третьего фокуса, а ее длина составляет около 1.5LR, то для 20 фс импульсов (рис. 1, а) формируется лишь один нелинейный фокус, вблизи которого располагается область филаментации длиной 0.2LR. Этот результат согласуется с данными, полученными в работе [16], где было показано, что в условиях влияния ДГС длина области филаментации сокращается. В условиях влияния ДГС трубки также сильнее деформируются. Они входят в нелинейный фокус и выходят из него под меньшими углами относительно нормали к оси распространения. В результате угловые расходимости наиболее интенсивной части пучка и постфиламентационного канала увеличиваются в среднем в 2 раза по сравнению со случаем без дисперсии, описание которого дано в работе [17]. Сравнение дифракционно-лучевых картин, построенных для импульсов длительностью 20 и 100 фс, также позволило проанализировать влияние ДГС на координату нелинейного фокуса пучка, которая определяет начало области филаментации, характеризуемой определенным (заданным) уровнем плотности свободных электронов лазерной плазмы ρе > 1020 м-3. Как будет показано далее, из-за влияния дисперсии среды эта ситуация может и не реализоваться. На рис. 2 представлена зависимость нормированной на длину Рэлея координаты нелинейного фокуса zf/LR от начального радиуса лазерного пучка для центрального временного слоя лазерных импульсов (τ = 0) длительностью tр = 20 и 100 фс с относительной пиковой мощностью η = 6. Рис. 2. Зависимость нормированной координаты нелинейного фокуса от начального радиуса лазерного пучка с относительной пиковой мощностью η = 6 для импульсов длительностью tр = 20 (сплошная кривая) и 100 фс (пунктирная кривая) Для импульсов длительностью 100 фс при фиксированной начальной пиковой мощности увеличение начального радиуса пучка с субмиллиметровых до миллиметровых значений приводит к приближению нормированной на длину Рэлея координаты нелинейного фокуса к началу трассы, и стабилизации значения указанной координаты для миллиметровых лазерных пучков. При усилении влияния ДГС для импульсов длительностью 20 фс нормированная координата нелинейного фокуса удаляется при тех же значениях радиуса пучка (область I на рис. 2). При этом для лазерных пучков миллиметрового радиуса изменяется сам характер зависимости zf /LR от R0: нормированная координата нелинейного фокуса возрастает при увеличении начального радиуса лазерного пучка (область II на рис. 2). Это говорит об усилении дисперсионных эффектов для пучков с бόльшим начальным радиусом. Так, для лазерного пучка радиусом R0 = 3 мм при длительности импульсов в 20 фс нормированная на длину Рэлея координата нелинейного фокуса увеличивается более чем в 2 раза по сравнению с импульсами длительностью 100 фс. Отдельного внимания заслуживает то, что увеличение нормированной координаты нелинейного фокуса при учете ДГС, о котором упоминалось выше, наблюдается лишь для некоторых временных слоев лазерного импульса вблизи центрального слоя (τ = 0) и на интегральной картине, построенной для ДЛ, усредненных по времени. Для демонстрации этого факта на рис. 3 построена зависимость нормированной координаты нелинейного фокуса для разных временных слоев лазерного импульса длительностью tр = 20 фс с относительной пиковой мощностью η = 6 (а) и 9 (б) для пучков различного начального радиуса для моделей среды с ДГС и без нее. Рис. 3. Зависимость нормированной координаты нелинейного фокуса для разных временных слоев лазерного импульса с относительной пиковой мощностью η = 6 (а) и 9 (б) для пучков различного начального радиуса. Сплошные кривые построены для результатов, полученных с учетом ДГС, пунктирные - без нее На рис. 3 видно, что изменение мощности в ДЛТ, связанное с дисперсией, непосредственно сказывается на координате нелинейного фокуса. В силу того, что центральные временные слои импульса характеризуются большей мощностью по сравнению с передними и задними слоями, то нелинейный фокус в центральных временных слоях приближается к началу трассы. Это демонстрируют пунктирные линии на рис. 3, построенные для случая без дисперсии. При этом самофокусировка заднего фронта импульса наступает раньше, чем переднего, вследствие влияния нелинейной рефракции в сформированной центральными слоями плазме. В случае учета ДГС в расчетной модели значение мощности в различных временных слоях импульса будет выравниваться за счет перетока мощности из предшествующих временных слоев импульса в текущие [13]. Следствием этого является более плавное изменение нормированной координаты нелинейного фокуса (сплошные кривые на рис. 3). Для пучка радиусом R0 = 3 мм фокус во всех временных слоях импульса достигается практически в одной точке по трассе, поскольку в этом случае дисперсионное расплывание подавляет самофокусировку и филаментация не реализуется. При этом для отдельных периферийных временных слоев может наблюдаться ситуация, когда нормированная координата нелинейного фокуса будет меньше в случае учета дисперсии, например при τ = -0.7 для радиуса пучка R0 = 1 мм (рис. 3), а также для более ранних временных слоев импульса. Рис. 4. Зависимость максимальной концентрации свободных электронов при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе от начального радиуса пучка c относительной пиковой мощностью η = 6 (квадраты) и 9 (звездочки). Сплошные кривые построены для результатов, полученных с учетом ДГС, пунктирные - без нее Отдельно следует отметить, что в случае учета дисперсии не все нелинейные фокусы будут соответствовать началу области филаментации даже для центрального временного слоя. Для иллюстрации этого факта на рис. 4 построена зависимость максимальной концентрации свободных электронов при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе от начального радиуса пучка, жирной прямой линией отмечен уровень концентрации свободных электронов, превышение которого соответствует филаментации. Из рис. 4 видно, что при учете дисперсии (сплошные кривые) с увеличением начального радиуса лазерного пучка происходит резкое уменьшение плотности плазмы в пучке, что свидетельствует о невысокой интенсивности излучения в области нелинейного фокуса, уровня которой оказывается недостаточно для формирования высокоинтенсивных плазменных каналов. Другими словами, в условиях влияния ДГС с увеличением начального радиуса лазерного пучка происходит срыв филаментации даже при больших значениях сверхкритической мощности. При этом увеличение относительной пиковой мощности в импульсе приводит к тому, что указанный срыв наблюдается для лазерных пучков большего начального радиуса. Так, из рис. 4 видно, что при мощности в импульсе η = 6 срыв происходит для лазерного пучка радиусом R0 = 1.25 мм, а при η = 9 - уже при R0 = 2.2 мм. Эволюция мощности в дифракционно-лучевых трубках при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе в условиях влияния дисперсии групповой скорости Для объяснения роли дисперсии при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе была рассмотрена эволюция мощности в ДЛТ. Известно, что распространение излучения в дисперсионной среде происходит в условиях фазовой модуляции, к которой в нелинейной среде добавляется еще и фазовая самомодуляция. В связи с этим высокие значения интенсивности излучения в нелинейной среде усиливают роль дисперсии. Поскольку ДГС приводит к модуляции фазы волны в среде, то это отражается на интенсивности, мощности, длительности импульса, а также структуре и размере филамента. В рамках дифракционно-лучевого подхода в работе [13] было получено уравнение эволюции мощности в ДЛТ Pd, которое имеет вид , (5) где - функция источника, характеризующая изменение вдоль трассы плотности потока энергии, запасенной за счет дисперсии в предыдущих временных слоях импульса; - усредненный по сечению σ коэффициент поглощения. В (5) первый член в правой части уравнения описывает изменение мощности за счет фазовой модуляции, а второй - нелинейные потери. Соотношение (5) демонстрирует, что изменение мощности в ДЛТ Pd происходит за счет потерь, вызванных образованием плазмы, и перераспределения энергии внутри импульса и не связано с энергообменом между соседними трубками. Вторая производная по времени от фазы волны определяет чирп импульса, который возникает за счет ДГС, керровской и плазменной нелинейностей. Величина чирпа будет зависеть от интенсивности излучения и изменяться для разных временных слоев лазерного импульса. В результате неизбежная потеря мощности в ДЛТ может компенсироваться притоком мощности из предшествующих временных слоев импульса. В этом случае в трубке может восстанавливаться (или устанавливаться) мгновенный баланс сил фокусирующей и дефокусирующей нелинейностей, поддерживая филаментацию. В случае отсутствия ДГС мощность в трубке остается практически постоянной или уменьшается на участках, где происходит активное образование плазмы. Для периферийных временных слоев, которые характеризуются меньшей мощностью по сравнению с центральными, нормированная координата нелинейного фокуса должна сдвигаться по трассе от источника лазерного излучения, что демонстрируют пунктирные кривые на рис. 3, построенные для случая без ДГС. При наличии же дисперсии наблюдается дополнительный приток мощности из предшествующих временных слоев импульса. Вследствие этого на краях импульса мощность в трубке в отдельных точках трассы увеличивается. В результате нормированная координата нелинейного фокуса приближается к началу трассы (сплошные кривые для R0 = 1 и 2 мм на рис. 3, б). Следует отметить, что наличие дисперсии сказывается только на краях импульса, где наблюдается увеличение нормированной на длину Рэлея координаты нелинейного фокуса по сравнению со случаем, когда дисперсия отсутствует (рис. 3). Для центральных временных слоев лазерного импульса при наличии ДГС вследствие фазовой модуляции интенсивность будет уменьшаться, а фокус сдвигаться дальше по трассе от источника лазерных импульсов. Заключение Рассмотрено распространение мощных фемтосекундных импульсов титан-сапфирового лазера длительностью 100 и 20 фс в воздухе на основе метода дифракционно-лучевых трубок. Показано, что при уменьшении длительности импульса увеличиваются радиус энергетически пополняющей дифракционно-лучевой трубки, которая непосредственно влияет на характеристики процесса, и угловая расходимость постфиламентационного светового канала. Установлено, что для миллиметровых лазерных пучков для более коротких лазерных импульсов в условиях влияния нормальной дисперсии нормированная на длину Рэлея координата нелинейного фокуса в центральных временных слоях лазерного импульса и на интегральной картине возрастает при увеличении начального радиуса лазерного пучка. Показано, что в условиях влияния дисперсии даже при больших значениях сверхкритической мощности при увеличении начального радиуса лазерного пучка происходит срыв филаментации. Для объяснения роли ДГС при распространении фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе рассмотрена эволюция мощности в ДЛТ.

Скачать электронную версию публикации