Exact plane-wave solution of equations of gravitation theory with massive graviton.pdf Введение Уравнения гравитационного поля в общей теории относительности Эйнштейна представляют собой уравнения гиперболического типа. Возмущения метрики в этой теории распространяются со скоростью света. Это дает основание утверждать, что гравитон в общей теории относительности является безмассовой частицей. Однако в научной литературе появились работы [1-5], в которых рассматриваются теории гравитации с массивным гравитоном. В этих теориях используются два метрических тензора: псевдоевклидова пространства-времени , которое рассматривается как экспериментальный факт [4], и псевдориманова пространства-времени , по геодезическим которого движется вещество. Уравнения гравитационного поля в этих теориях являются лагранжевыми и имеют вид (1) где - тензор Риччи по метрике ; - тензор энергии-импульса вещества; - тензор, ответственный за массу гравитона и различный в разных теориях. Так, например, в релятивистской теории гравитации [2] этот тензор достаточно простой в то время как в теории гравитации Виссера [3] он имеет значительно более сложный вид: где и - определители метрических тензоров и соответственно . Подразумевается, что масса гравитона должна быть настолько мала, чтобы влияние члена в уравнениях (1) не сказывалось на результатах выполненных к настоящему времени гравитационных экспериментов в слабом гравитационном поле Солнечной системы. В частности, в релятивистской теории гравитации принято [6], что г, в то время как в теории гравитации Виссера полагается [3], что кг. К настоящему времени проведены некоторые исследования свойств теорий гравитации с массивным гравитоном: изучены свойства духовой моды в массивной теории гравитации [7], найдены космологические ограничения на массу гравитона [8]. Однако для выяснения статуса теорий гравитации с массивным гравитоном в физической картине мира необходимо, в первую очередь, найти какие-нибудь точные решения уравнений (1). Тогда анализ полученных решений может позволить установить, в каких случаях и в чем проявляется влияние массивного члена на ход физических явлений и улучшает или, наоборот, ухудшает он свойства решения с общетеоретической точки зрения. В связи с этим интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (1) встретило серьезные математические сложности; достаточно сказать, что ни в одной теории гравитации с массивным гравитоном до сих пор не найдено вакуумное решение уравнений (1), соответствующее решению Шварцшильда [9] в общей теории относительности. Единственные точные решения получены в релятивистской теории гравитации для случаев, когда источником гравитационного поля являются плоские электромагнитная [10] и скалярная [11] волны. Поэтому следует пытаться искать новые точные решения в этих теориях. Цель настоящей работы - интегрирование уравнений теории гравитации Виссера в случае, когда источником гравитационного поля является плоская волна безмассового скалярного поля. Скалярное поле в современной теоретической физике широко используется при построении космологических моделей [12], астрофизических объектов [13] и при изучении нелинейных взаимодействий [14, 15]. Поэтому вполне естественно использовать это поле для изучения решений нелинейной теории гравитации с массивным гравитоном. Решение уравнений поля Рассмотрим плотность функции Лагранжа безмассового скалярного поля [16]: Подставляя это выражение в функцию действия и варьируя ее по полю получим общековариантное уравнение для скалярного поля (2) Тензор энергии-импульса безмассового скалярного поля, являющийся источником для гравитационного поля, примет вид Подставляя это выражение в уравнения гравитационного поля (1) теории гравитации Виссера, получим (3) Предположим, что скалярное поле имеет вид плоской волны, распространяющейся вдоль оси : Уравнение ее фронта в псевдоримановом пространстве-времени, как и любого безмассового поля, согласно [9], запишем так: (4) где - эйконал. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , естественно предположить, что , где постоянная определяет скорость распространения поверхности постоянной фазы в пространстве (фазовой скорости волны). Тогда уравнение (4) примет следующий вид: где штрих означает производную по . Так как то получаем соотношение (5) Введем обозначения: (6) Тогда выражение (5) запишем как (7) В силу симметрии задачи для компонент и имеем Остальные компоненты метрического тензора равны нулю. Несложно найти определитель контравариантного метрического тензора : Поэтому отличные от нуля ковариантные компоненты метрического тензора примут вид (8) В качестве метрического тензора возьмем метрический тензор пространства Минковского, ненулевые компоненты которого в декартовых координатах инерциальной системы отсчета имеют значения: , Используя выражения (6) - (8), запишем уравнения (3) покомпонентно. Нетривиальными среди них оказываются только четыре: (9) Эта система уравнений несовместна, если . При из уравнений системы (9) получим одно уравнение: Отсюда следует, что (10) В рассмотренном нами случае при использовании галилеевских координат плоского фонового пространства-времени ненулевые компоненты метрического тензора псевдориманова пространства-времени можно записать в виде (11) Если теперь подставить выражения (11) в уравнение (2) для скалярного поля, то оно выполнится тождественно при любом выборе Выражения (10) и (11) представляют собой точное решение системы уравнений для скалярного поля (2) и уравнений теории гравитации Виссера (3) для случая, когда тензор энергии-импульса задается плоской скалярной волной, распространяющейся в положительном направлении оси z. Из этих выражений следует, что гравитационное поле, создаваемое плоской скалярной волной, целиком предопределяется произвольной функцией , выбор которой означает выбор определенного волнового пакета скалярной волны. Геодезическое движение массивных и безмассовых частиц в гравитационном поле плоской скалярной волны Решение задачи о гравитационном поле плоской скалярной волны (10) содержит массу гравитона в качестве параметра. Поэтому, изучая законы движения частиц в гравитационных полях, можно понять роль массы гравитона и выяснить, насколько предположение о неравенстве ее нулю согласуется с объективной реальностью. Для этого изучим геодезическое движение массивных и безмассовых частиц в гравитационных полях (10) и (11). Поместим начало декартовой системы отсчета в точку, в которой в начальный момент времени находилась рассматриваемая частица. Ориентируем оси координат так, чтобы импульс частицы в момент времени лежал в плоскости . Обозначая угол, который этот импульс при составляет с осью , через приходим к следующим начальным условиям: (12) где - модуль импульса частицы при . Запишем уравнения Гамильтона - Якоби для рассматриваемого случая: (13) Здесь - для безмассовой частицы и - для массивной частицы. Решение уравнений Гамильтона - Якоби (13) в координатах и фонового псевдоевклидова пространства-времени имеет вид (14) где и - параметры разделения переменных. Согласно общей теории, дифференцирование функции действия (14) по координатам и дает выражения для ковариантных компонент импульса частицы , а дифференцирование по параметрам , и и приравнивание полученных выражений произвольным константам дает уравнение движения: (15) Используя начальные условия (12), из этих выражений получим Подставляя эти соотношения в выражения (15), запишем зависимость импульса частицы от времени и ее закон движения так: Таким образом, в гравитационном поле (11), которое, согласно уравнениям теории гравитации Виссера, создается плоской скалярной волной, массивная и безмассовая частицы при одинаковых начальных условиях движутся по различным траекториям и величина отклонения одной траектории от другой зависит от массы гравитона. Поэтому, измеряя отклонение одной траектории от другой в фоновом плоском пространстве-времени, можно, в принципе, измерить массу гравитона. Анализ полученного решения Из выражения (10) непосредственно следует, что при функция неограниченно возрастает. Это означает, что аналитический переход полученного решения в решение соответствующей задачи общей теории относительности невозможен, так как структура метрического тензора (отличные от нуля компоненты) для данной задачи в теории Эйнштейна не совпадает со структурой метрического тензора (11) в теории гравитации Виссера. Поскольку то полученное решение автоматически удовлетворяет принципу причинности: из условия сразу же следует, что Таким образом, световой конус псевдориманова пространства-времени не выходит за пределы светового конуса псевдоевклидова пространства-времени, и полученное нами решение является физическим. Однако тензор кривизны пространства-времени с метрическим тензором и функцией вида (10) оказывается тождественно равным нулю. Это означает, что метрический тензор является метрическим тензором плоского пространства-времени, который записан в некоторой неинерциальной системе отсчета, зависящей от конкретного выбора функции . Если совершить преобразование координат и времени и перевести метрический тензор в инерциальную систему отсчета, то метрический тензор псевдоевклидова пространства-времени окажется записанным в неинерциальной системе отсчета. Следовательно, распространение плоской скалярной волны, согласно системе уравнений для скалярного поля (2) и теории гравитации Виссера (3), приводит к появлению эффективной неинерциальности в метрике , в то время как метрика соответствует инерциальной системе отсчета. После прохождения скалярной волны функция обращается в нуль и в этой области пространства . Поэтому эффект создания неинерциальности в метрике при прохождении плоской скалярной волны можно назвать эффектом возмущения системы отсчета в псевдоримановом пространстве-времени плоской скалярной волной. Таким образом, основной результат работы можно сформулировать следующим образом: в теории гравитации Виссера с массивным гравитоном произвольный волновой пакет плоской скалярной волны, распространяющийся в заданном направлении, индуцирует гравитационное поле, которое вызывает переменное ускорение системы отсчета наблюдателя относительно инерциальной системы отсчета пространства Минковского.

Скачать электронную версию публикации