Analytical account for off-axis effects in X-ray radiation of free electron lasers.pdf Введение Идея об излучении зарядов в пространственно-периодическом магнитном поле и генерации ондуляторного излучения (ОИ) была предложена Гинзбургом [1]; ОИ было впервые получено Мотцом [2]. Развитие техники позволило реализовать предложенную Гинзбургом идею лазеров на свободных электронах (ЛСЭ); в этих устройствах когерентное излучение генерируется в ондуляторах электронами, сгруппированными в микробанчи, разделенные длиной волны излучения. В последнее время особый интерес представляет генерация когерентного излучения в рентгеновском диапазоне с длиной волны порядка нанометров и менее [3-9], где синхротронное излучение (СИ) долгое время было основным источником [10-13]. Когерентное рентгеновское излучение открывает новые возможности исследования быстрых процессов на наномасштабе. Для его генерации требуются электроны высоких энергий E с большим релятивистским фактором , где m - масса электрона, c - скорость света, высокое качество электронных пучков с малым эмиттансом и разбросом энергий и высокое качество ондуляторов, где необходимо минимизировать отклонения поля от идеально периодического и отклонения пучка от оси. В реальных установках всегда присутствуют все вышеперечисленные факторы, которые могут нарушить группировку электронов. Кроме того, в ондуляторах присутствуют гармоники поля, которые влияют на спектр излучения [14-20]. В отличие от идеального спектра ОИ, в реальном спектре присутствуют четные гармоники, которые достигают ~ 0.1% мощности основного тона (см., например, [21-23]). Описание генерации и эволюции гармоник излучения в ЛСЭ представляет сложную и трудоемкую задачу. Обычно она решается с использованием специально разработанных численных программ; из последних исследований отметим [24-27], где c помощью различных программных кодов было смоделировано излучение целого ряда ЛСЭ. Из этих работ следует, что результаты численных моделей в целом хорошо, но часто приблизительно и с ощутимым разбросом описывают экспериментальные значения мощности гармоник ЛСЭ. Кроме того, практически отсутствует анализ причин того или иного поведения гармоник излучения. Феноменологическое моделирование излучения гармоник ЛСЭ [15-19] согласуется с численными моделями [28, 29], но не проясняет физическую причину генерации тех или иных гармоник. В настоящей работе мы проведем аналитическое исследование поведения гармоник излучения ЛСЭ с реальными пучками и предложим ясное объяснение экспериментальных значений гармоник, включая четные, в нескольких реальных установках ЛСЭ с учетом их параметров. 1. Излучение плоского ондулятора с учетом угла расходимости и постоянного поля Для анализа ОИ нужно рассчитать коэффициенты Бесселя соответствующего ондулятора. Корректный учет отклонения траекторий электронов от оси ондулятора, учет конечного сечения и расходимости пучка и разброса энергий электронов в нем позволяют с высокой точностью предсказать характеристики спонтанного ОИ. Излучение различных плоских, спиральных и эллиптических ондуляторов с гармониками поля рассматривалось в [15-19], где были получены соответствующие коэффициенты Бесселя для каждого ондулятора. Однако магнитное поле реального ондулятора не является идеально периодическим и в нем, наряду с гармониками поля, также присутствуют непериодические компоненты. Рассмотрим наиболее часто встречающийся в установках плоский ондулятор с бигармоническим магнитным полем по оси z , (1) где - основной период ондулятора; H0 - амплитуда основного периодического поля; dH0 - амплитуда гармоники поля. Резонансные длины волн записываются как обычно в теории ОИ: . (2) Здесь n - номер гармоники излучения; ; - ондуляторный параметр; е - величина заряда электрона; для поля (1) , а излучение под углом к оси описывается эффективным углом , который включает угол отклонения от оси θ, угол поворота вокруг оси φ и индуцированный постоянными магнитными компонентами и угол изгиба траектории [30-33] θH: , (3) который накапливается по длине ондулятора, состоящего из N периодов. Интенсивность гармоник ОИ без учета постоянных компонент поля и имеет привычный вид , (4) где функция sinc описывает форму линии излучения; - параметр расстройки рассматриваемой длины волны λ от резонансов ОИ λn; - коэффициенты Бесселя x- и y-поляризаций излучения, имеющие для (1) с учетом углов отклонения от оси следующий вид: (5) В реальных устройствах необходимо учитывать разброс энергий электронов в пучке σе. Для спонтанного излучения его можно точно аналитически учесть с помощью следующей свертки: . Для вынужденного излучения необходимо учитывать движение и взаимодействия всех электронов в поле волны. Обычно для этого используют численный счет или феноменологическое описание, которые позволяют достаточно хорошо смоделировать ЛСЭ. В отличие от предыдущих наработок в [15-19, 28, 29], формула (5) содержит зависимость излучения от углов θ и φ, которые входят в как явно (см. и последний член в ), так и неявно в интегральной форме функций Бесселя . Это позволяет аналитически изучить зависимость излучения ЛСЭ с реальными пучками конечного размера. Добавим также, что при d > 0 и h = 3 в (1) при k > 1.5 несколько усиливаются высшие гармоники ОИ на фоне ослабления основного тона. Данный эффект максимален при d ≈ +0.5 и усиливается с увеличением ондуляторного параметра k (см. [17, 18]); это может повысить мощность гармоник в ЛСЭ. Формулы (5) исправляют и дополняют предыдущие результаты в [34-38]. Постоянное магнитное поле в ондуляторе крайне нежелательно: уводя электрон с оси, оно приводит к расстройке когерентности осцилляций электрона по длине ондулятора и искажает форму спектральной линии ОИ; последняя описывается не функцией sinc, а обобщенной функцией типа Эйри с ее аргументами νn, η, β, зависящими от θH, θ, φ [31]: , (6) . (7) Более того, постоянное магнитное поле в ондуляторе приводит к появлению четных гармоник ОИ на оси, и интенсивность излучения записывается следующим образом (ср. (4)): . (8) В отсутствие постоянной магнитной компоненты функция сводится к функции sinc: . Особенности поведения обобщенной функции Эйри S и ее производных, их связь с обобщенными полиномами Эрмита и экспоненциальным дифференциальным оператором обсуждались в [39]. Форма спектральной линии ОИ, задаваемая функцией S и ее производной ∂S/∂νn, показана на рис. 1. Рис. 1. Абсолютное значение функции S (а) и ее производной ∂S/∂νn (б) в зависимости от νn и β для η = 0 Постоянное магнитное поле влияет через отклоняющий угол в параметре β (7), а расходимость в угол θ от оси влияет через параметр η функции S; максимум S равен единице (рис. 1). Производная обобщенной функции Эйри определяет форму четных гармоник ОИ, возникающих на счет постоянного поля и имеющих поляризацию, перпендикулярную основному излучению ондулятора; максимальное значение равно 1/2. При отличных от нуля углах θ в непериодическом поле, , максимум интенсивности спектральной линии достигается не как обычно в теории ОИ при νn = 0, а при , . (9) Более того, индуцированный полем угол изгиба и угол отклонения от оси θ могут частично компенсировать друг друга в их влиянии на спектр ОИ. Из (9) следует, что под углом к оси ондулятора спектр ОИ в присутствии постоянной магнитной компоненты не меняется и νn = 0. При ρ = 0 выражения упрощаются, но физическая суть остается неизменной, под углом имеем νn = 0. Длины волн резонансов ОИ с учетом постоянного поля и отклонения от оси определяются формулой (2). С учетом значений максимумов , и численного множителя получаем следующее выражение для коэффициента Бесселя четных гармоник за счет постоянного поля (см. (8)): . (10) Оно напоминает вклад второго слагаемого в обычных коэффициентах Бесселя : (см. (5)), которые возникают за счет угла отклонения от оси θ, с той разницей, что в (10) зависимость от θH, а в (5) от θ. Таким образом, роль угла изгиба , индуцированного постоянным полем , в формировании излучения гармоник ОИ похожа на роль угла отклонения от оси θ. Для того чтобы эффект был ощутимым, достаточен угол ; в длинном ондуляторе его может вызвать даже слабое постоянное поле. Например, в ЛСЭ LEUTL [23] для этого требуется поле Гс, в ЛСЭ LCLS [21, 22] с ондулятором длины L = 3.4 м для этого достаточно напряженности Гс; в ЛСЭ PAL-XFEL [27] с длинным ондулятором L ~ 5.5 м - поля Гс. Таким образом, в однопроходных ЛСЭ, где используются длинные ондуляторы, магнитное поле Земли может индуцировать заметный угол изгиба. Поэтому в ЛСЭ всегда тщательно оцениваются интегралы поля, экранируются внешние поля и компенсируются даже незначительные неоднородности и отклонения намагниченности полюсов магнитов. 2. Вклад бетатронных колебаний в излучение ЛСЭ Хорошо известно, что модельное синусоидальное поле лишь приблизительно описывает поле реального плоского ондулятора и не удовлетворяет уравнениям Максвелла во всем сечении электронного пучка. Поле реального ондулятора содержит дополнительные компоненты. В пучке конечного размера к движению электрона с начальным расстоянием y0 от оси добавляются так называемые бетатронные колебания, хорошо изученные для обычных [40-44] и двухчастотных [45] ондуляторов. В результате возникает расщепление линий спектра на гармоники, отстоящие друг от друга на величину бетатронной частоты [40-45] , , (11) где d - параметр второго периодического поля в (1), δ = 1 в обычном плоском ондуляторе. Из формулы для бетатронной частоты (11) следует, что величина расщепления линии спектра обратно пропорциональна релятивистскому фактору γ. Очевидно, что в рентгеновских ЛСЭ расщепление линий спектра крайне мало даже для высших гармоник, так как электроны имеют фактор γ ~ 103-104 и . Бетатронные гармоники находятся очень близко друг к другу, и взаимодействие электрона с излучением в ЛСЭ происходит практически со всеми гармониками p линии спектра n. С учетом бетатронного расщепления коэффициенты Бесселя fn (5) факторизуются функциями Бесселя бетатронных колебаний: , , (12) со следующими аргументами, зависящими от начального расстояния y0 электрона от оси и от угла отклонения траектории от оси θ: (13) На практике в рентгеновских ЛСЭ основной вклад обычно дают несколько первых гармоник p. Но даже если доля бетатронных гармоник p велика, электромагнитная волна ЛСЭ взаимодействует с ними как с одной линией спектра, так как расщепление очень мало: . Суммарный вклад первых гармоник с р = 0, ±1, ±2, ±3 в большинстве случаев близок к единице. Примеры для конкретных ЛСЭ приведем в п. 3. Бетатронные колебания рождают слабые четные гармоники излучения с поляризацией, перпендикулярной основному излучению ондулятора, как и в случае постоянного магнитного поля (см. (10)). Излучение этих гармоник присутствует и на оси ондулятора, в отличие от четных гармоник, вызванных отклонением на угол θ от оси (см. fn в (5)). Четным гармоникам излучения, порожденным бетатронными колебаниями, соответствуют следующие коэффициенты Бесселя: , (14) где n - номер гармоники ОИ; p - номер бетатронной гармоники; определены в (12); определены в (13); определены в (5). Результат при этом мало отличается от бетатронного вклада в обычном ондуляторе, где вместо функций присутствуют (12) и , , . В современных ЛСЭ с пучками релятивистских электронов с релятивистским фактором γ ~ 103 и более вклады бетатронных колебаний и соответствующие коэффициенты Бесселя четных гармоник малы, ~ 10-2. Ими можно пренебречь по сравнению с обычными коэффициентами Бесселя (5): ~ 0.8, 0.3, 0.15 для n = = 1, 3, 5 соответственно. Некоторые примеры мы приведем далее. 3. Генерация гармоник в экспериментах ЛСЭ Гармоники излучения, включая четные, были зарегистрированы в различных экспериментах ЛСЭ. Их исследование проведено нами в аналитической форме с применением феноменологической модели ЛСЭ [18, 46], где учтена зависимость излучения от сечения пучка, его расходимости, разброса энергий электронов, дифракции и повышенной чувствительности к этим факторам электрон-фотонного взаимодействия на длинах волн высших гармоник. В отличие от предыдущих исследований [17-19, 28, 29], в настоящей работе мы используем выражения для коэффициентов Бесселя (5), (10), (12), (14), содержащие исчерпывающую явную зависимость от всех перечисленных выше основных параметров. Рассмотрим рентгеновское излучение в эксперименте ЛСЭ LCLS [21, 22] с длиной волны λ1 = 1.5 нм и сравним с ультрафиолетовым излучением в эксперименте LEUTL [23] с длиной волны λ1 = 385 нм. Результаты моделирования мощности гармоник по длине магнитов ондуляторов показаны на рис. 2. Отметим, что все смоделированные значения мощностей гармоник находятся в пределах измеренных значений, длины усиления и насыщения также точно соответствуют экспериментам, что говорит о правильном учете всех параметров установок при моделировании. Однако причины появления четных гармоник в спектрах излучения ЛСЭ в каждом случае разные. В эксперименте LCLS [21, 22] размер пучка составлял ≈ 20 мкм, расходимость ≈ ≈ 2 мкрад, размер фотонного пучка ≈ 15 мкм. Бетатронное расщепление линий спектра на дает ничтожное отклонение δλ ≈ 0.0002 нм от резонанса λ1 = 1.5 нм и от гармоник n по сравнению с их длинами волн λ1/n. Вклад бетатронных колебаний (14) оказывается пренебрежимо мал: ~ 210-3; коэффициенты Бесселя 2-й гармоники ЛСЭ, возникающие за счет эмиттанса, оказываются на порядок больше: f2;y ~ 210-2. Кроме того, по данным [21, 22], траектории электронов с энергией Ee = 4.3 ГэВ уходят от оси на расстояние ~ 12-15 мкм на длине усиления Lgain = 1.6 м, что сопоставимо с размером фотонного пучка. Образуется угол θ ≈ 9 мкрад, θγ ≈ 0.075, с осью ондулятора, сравнимый со средним углом электрон-фотонного взаимодействия на длине усиления ЛСЭ. Ввиду малого расщепления линий электроны взаимодействуют со всеми бетатронными гармониками р = 0, ±1, ±2, ±3, … n-й гармоники ЛСЭ; излучение гармоники n воспринимается как одна спектральная линия, в которой коэффициенты Бесселя (5) факторизуются функцией Бесселя (12). Получаем расщепление на пять основных гармоник и величины . С учетом всех описанных явлений получаем значения мощности гармоник ЛСЭ, соответствующие измеренным, как показано на графике рис. 2, б. Отметим, что изгиб траектории электронов за счет магнитного поля Земли ~ 0.5 Гс привел бы к появлению 2-й гармоники ЛСЭ сравнимой мощности. Итак, четные гармоники в рентгеновском ЛСЭ возникают, в основном, за счет ухода пучка с оси ондулятора. Рис. 2. Рост мощности гармоник излучения по длине ондуляторов ЛСЭ в экспериментах LEUTL с λ1 = 385 нм [23] (а) и LCLS с λ1 = 1.5 нм [22] (б). Гармоники обозначены линиями: n = 1 - сплошная, n = 2 - штрихпунктирная, n = 3 - штриховая, n = 5 - пунктирная. Экспериментальные значения обозначены точками и серыми зонами справа В эксперименте LEUTL [23] генерировалось излучение в диапазоне UV-A на длине волны λ1 = 385 нм; размер пучка электронов, = 0.26 мм, угол расходимости, ≈17 мкрад, и размер пучка фотонов, ≈ 0.2 мм, были больше на порядок, чем в ЛСЭ LCLS. Здесь можно было бы ожидать существенного влияния бетатронных эффектов и расходимости на излучение. Однако вычисление коэффициентов Бесселя (5) с учетом расходимости дает следующие значения для x- и y-поляризаций: ≈ {0.750, 0.070, 0.336, 0.070, 0.225} и ≈ {0, 0.015, 0, 0.015, 0}. Расщепление линий малозаметно, так как γ = 500 >> 1, и излучается в основном бетатронная гармоника с р = 0 и . Для второй гармоники ЛСЭ, n = 2, за счет бетатронных колебаний получаем коэффициенты Бесселя (14) ; их суммарный вклад невелик: ~ 0.014. Он больше вклада расходимости θ в y-поляризации, ≈ 0.015, но меньше вклада расходимости θ в основной x-поляризации: ≈ 0.044. Однако, даже с учетом бетатронных колебаний и расходимости, теоретическая мощность 2-й гармоники получается меньше измеренной в эксперименте. Для объяснения экспериментальной мощности 2-й гармоники ЛСЭ LEUTL нужно учесть угол взаимодействия электронов с излучением. В широком пучке размером ≈ 0.2 мм на длине усиления Lgain = 0.87 м формируется эффективный угол электрон-фотонного взаимодействия ≈ 2.310-4 рад, который превосходит расходимость и дает . С учетом угла появляются гармоники с , , но расщепление линий ОИ происходит на малую величину δλ, так как γ >> 1. Коэффициенты Бесселя ≈{0.745, 0.153, 0.298, 0.165, 0.154} и ≈{0.008, 0.034, 0.015, 0.020, 0.017} для четных гармоник несколько больше, а для n = 3, 5 несколько меньше, по сравнению со случаем, когда учитывается только расходимость. Вклад бетатронных колебаний (14) в излучение четных гармоник остается по-прежнему мал и сравним с угловым вкладом в y-поляризации в (5): ~ ≈ 0.03; в основной x-поляризации излучения имеем значительно больший коэффициент Бесселя 2-й гармоники: ≈ 0.15 >> ~ ≈ 0.03. С учетом этих значений получаем мощность гармоник в ЛСЭ LEUTL в соответствии с экспериментальными данными, как показано на графике рис. 2, а. Итак, 2-я гармоника в ЛСЭ LEUTL генерируется за счет широких пучков электронов и фотонов, а в рентгеновском ЛСЭ LCLS она во многом возникает из-за отклонения пучка от оси. Заключение Проведено аналитическое исследование генерации гармоник в ЛСЭ с точным учетом влияния гармоник поля ондулятора, постоянных компонент магнитного поля, конечного размера пучка электронов, его расходимости и разброса энергии электронов на интенсивность и спектр ОИ. Полученные аналитические выражения для коэффициентов Бесселя, таким образом, учитывают все основные потери в реальных установках. Это позволяет учесть, выделить и проанализировать все вклады в генерацию каждой гармоники ОИ. С использованием феноменологической модели проанализирована эволюция мощности гармоник излучения однопроходных ЛСЭ. В частности, исследованы эксперименты ЛСЭ LEUTL и LCLS. Результаты моделирования мощности всех гармоник в этих экспериментах полностью согласуются с измерениями. Исследована генерация гармоник в рентгеновском ЛСЭ LCLS на длине волны λ1 = 1.5 нм и в ЛСЭ LEUTL в UV-A-ультрафиолетовом диапазоне на длине волны λ1 = 385 нм. В обоих ЛСЭ экспериментально зарегистрированы довольно сильные вторые гармоники излучения. Полученная нами аналитическая форма выражений для интенсивности ОИ позволила исследовать отдельно вклады каждой составляющей коэффициентов Бесселя для каждой гармоники ОИ и выявить физические причины генерации четных гармоник в рассмотренных ЛСЭ. Показано, что в рентгеновских и ультрафиолетовых ЛСЭ вклад бетатронных колебаний в генерацию четных гармоник оказывается малым и соответствующее расщепление линий спектра не влияет на работу рентгеновских ЛСЭ. В указанных диапазонах излучения в реальных условиях бетатронные колебания не оказывают существенного влияния на генерацию нечетных гармоник, а их влияние на генерацию четных гармоник меньше, чем влияние ширины пучка, эмиттанса и отклонения пучка электронов. Проведен подобный анализ излучения в эксперименте LEUTL в UV-A-диапазоне с использованием аналитических выражений для коэффициентов Бесселя и эволюции мощности. Установлено, что, несмотря на большие размеры пучка, бетатронные колебания и расходимость не являлись главным фактором, вызвавшим излучение 2-й гармоники. Нами аналитически показано, что 2-я гармоника в ЛСЭ LEUTL вызвана взаимодействием широких пучков электронов и фотонов, ~ 0.25 мм, на длине усиления ЛСЭ Lgain ~ 1 м; при этом формируется значительный угол электрон-фотонного взаимодействия, , который и вызывает генерацию второй гармоники. Электронный пучок в установке LCLS имел на порядок меньшие размеры, чем в LEUTL. Показано, что размер и эмиттанс пучка электронов в установке LCLS сами не могут вызвать 2-ю гармонику ЛСЭ с измеренной в эксперименте мощностью. Проведенный нами аналитический расчет объясняет генерацию 2-й гармоники в ЛСЭ LCLS зарегистрированным в эксперименте отклонением траекторий пучка электронов от оси примерно на 15 мкм. Это отклонение сравнимо с размером пучка и вызывает угловые вклады, сопоставимые с углом электрон-фотонного взаимодействия на длине усиления ЛСЭ Lgain ≈ 1.6 м. Аналитический учет этих явлений показывает, что они вызывают 2-ю гармонику излучения с мощностью, измеренной в эксперименте. Данное нами аналитическое описание линий спектра и интенсивности ОИ позволяет проанализировать и сравнить физические причины генерации гармоник в ЛСЭ в рентгеновском и видимом диапазонах. Использование полученных результатов и феноменологической модели ЛСЭ позволяет аналитически исследовать влияние различных характеристик пучков и полей на генерацию гармоник вынужденного излучения. Это может быть использовано для определения качества пучков, их центровки и исследования излучения строящихся и планируемых ЛСЭ. Автор выражает благодарность проф. А.В. Борисову и гл. науч. сотр. А.Е. Лобанову за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации