Quantum defect and common fractions.pdf Значения главного квантового числа n состояний атома водорода определяются непосредственно из формулы для энергии электрона [1] (1) Однако «похожие» на водород атомы с одним внешним электроном имеют очень сложные спектры. В частности, в [1] (§ 68) относительно состояний, напоминающих водородные, сказано следующее: «У других атомов существуют состояния, по своим свойствам напоминающие водородные. Речь идет о сильно возбужденных состояниях, в которых один из электронов обладает большим главным квантовым числом и потому находится в основном на больших расстояниях от ядра. Движение такого электрона можно рассматривать, в некотором приближении, как движение в кулоновом поле «атомного остатка» с эффективным зарядом равным единице. Получающиеся, таким образом, значения уровней энергии оказываются, однако, слишком неточными, и в них надо внести поправку, учитывающую отклонение поля на малых расстояниях от чисто кулонового». «… мы можем заключить, что для уровней энергии получится выражение, отличающееся от водородного заменой радиального, или, что то же, главного квантового числа n на (n+Δi), где Δi - некоторая постоянная (так называемая поправка Ридберга): (2) Поправка Ридберга не зависит (по самому своему определению) от n, но является, конечно, функцией азимутального квантового числа l возбужденного электрона (которое мы приписываем к Δ в виде индекса), а также от моментов L и S атома в целом. При заданных L и S Δi быстро убывает с увеличением l. Чем больше l, тем меньше времени электрон проводит вблизи ядра, а потому уровни энергии должны все больше приближаться к водородным». Поправка Ридберга (квантовый дефект) определяется эмпирически, а теоретический расчет наталкивается на большие трудности. Однако в последние несколько лет анализ накопленных за многие десятилетия экспериментальных данных показал [2], что эффективные главные квантовые числа внешнего электрона n* = = (n+Δi), т.е. с учетом квантового дефекта, оказываются близкими к величинам некоторых простых дробей n* ≈ N1/N2, где N1 и N2 - небольшие целые числа. Рассмотрим подробнее эту экспериментальную закономерность, используя характеристики атомов и ионов с единственным внешним электроном в невозбужденном состоянии. В этом случае внешний электрон находится наиболее близко к атомному остатку и его влияние на движение электрона особенно велико. Фактические (эффективные) значения n* «водородоподобных» атомов, исходя из (2), выражаются через потенциалы ионизации: (3) Здесь φi - потенциал ионизации рассматриваемого атома; 13.6 эВ - потенциал ионизации атома водорода. В более общем случае «водородоподобного» иона с зарядом атомного остатка ze формула (3) приобретает вид (4) Результаты расчетов n* по формуле (3) с использованием известных экспериментальных значений φi [3] сведены в табл. 1. Там же показаны наиболее близкие к этим числам простые дроби: (5) где N1, N2 - небольшие целые числа, полученные путем подбора. Представленные в табл. 1 данные характеризуют невозбужденное состояние единственного внешнего электрона атомов. Таблица 1 Атом Li Na K Cs Rb Ag Pt Nb Fr φi, эВ 5.39 5.138 4.339 3.893 4.176 7.574 8.96 6.88 3.98 n* 1.588 1.627 1.770 1.869 1.805 1.340 1.232 1.406 1.849 n* ≈ N1/N2 19/12 (1.583) 13/8 (1.625) 23/13 (1.769) 15/8 (1.875) 9/5 (1.80) 4/3 (1.333) 16/13 (1.231) 7/5 (1.40) 24/13 (1.846) Для подбора конкретных значений числителя и знаменателя простых дробей (5) удобно воспользоваться вспомогательной табл. 2, где введено ограничение на N2 до 13 включительно. Под каждым значением знаменателя N2 (от 2 до 13) в столбцах находятся все значения дробей N1/N2 в пределах от 1 до 2, используемые для определения простой дроби, ближайшей к каждому конкретному экспериментальному значению главного квантового числа. В качестве примера в табл. 2 полужирным шрифтом выделены значения простых дробей, которые оказались наиболее близкими к величинам эффективных главных квантовых чисел n*, представленных в табл. 1. Таблица 2 Значения простых дробей n = N1 / N2 в пределах 1 ≤ n ≤ 2 при N2 ≤ 13 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1.333333 1.25 1.2 1.166667 1.142857 1.125 1.111111 1.1 1.090909 1.083333 1.076923 2 1.666667 1.5 1.4 1.333333 1.285714 1.25 1.222222 1.2 1.181818 1.166667 1.153846 2 1.75 1.6 1.5 1.428571 1.375 1.333333 1.3 1.272727 1.25 1.230769 2 1.8 1.666667 1.571429 1.5 1.444444 1.4 1.363636 1.333333 1.307692 2 1.833333 1.714286 1.625 1.555556 1.5 1.454545 1.416667 1.384615 2 1.857143 1.75 1.666667 1.6 1.545455 1.5 1.461538 Окончание табл. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.875 1.777778 1.7 1.636364 1.583333 1.538462 2 1.888889 1.8 1.727273 1.666667 1.615385 2 1.9 1.818182 1.75 1.692308 2 1.909091 1.833333 1.769231 2 1.916667 1.846154 2 1.923077 2 Аналогичные характеристики «водородоподобных» ионов с зарядом атомного остова, равным двум и трем зарядам электрона (z = 2, z = 3), вычисленные по формуле (4), представлены в табл. 3 и 4. Несмотря на то, что некоторые значения n* в табл. 3 и 4 превышают 2, вспомогательная табл. 2 также может быть использована, так как при увеличении числителя N1, очевидно, происходит периодическое увеличение величины дроби N1/N2 на единицу, а соответствующие цифры после запятой повторяются. Таблица 3 Ион (z = 2) Be+ Mg+ Ca+ Sr+ Ba+ Cd+ Ra+ Fe+ La+ φi, эВ 18.21 15.03 11.87 11.026 10 16.904 10.144 16.18 11.43 n* 1.728 1.902 2.141 2.221 2.332 1.794 2.316 1.834 2.182 n* ≈ N1/N2 19/11 (1.727) 19/10 (1.9) 15/7 (2.143) 20/9 2.222 7/3 (2.333) 9/5 (1.8) 30/13 (2.308) 11/6 (1.833) 24/11 (2.182) Таблица 4 Ион (z = 3) B++ Al++ Sc++ Y++ In++ φi, эВ 37.92 28.44 24.75 20.5 28 n* 1.797 2.075 2.224 2.444 2.091 n* ≈ N1/N2 9/5 (1.8) 27/13 (2.077) 20/9 (2.222) 22/9 (2.444) 23/11 (2.091) Вместе с тем возникает вполне закономерный вопрос: не слишком ли плотно на числовой оси располагаются числа, представленные в табл. 2, и поэтому, не имеем ли мы здесь дело со случайными совпадениями дробных чисел с соответствующими экспериментальными значениями n*? Чтобы проверить это предположение, вся совокупность дробных чисел табл. 2 была рассортирована в порядке возрастания. Далее, эта последовательность чисел была представлена в виде возрастающей кривой с маркерами, соответствующими этим числам, а экспериментальные значения главных квантовых чисел были изображены в виде горизонтальных линий, пересекающих эту кривую. На рис. 1 показано такое наглядное представление характеристик атомов с единственным внешним электроном в невозбужденном состоянии, приведенных в табл. 1. Наглядное представление данных, действительно, оказалось эффективным инструментом для доказательства неслучайного характера обнаруженной экспериментальной закономерности. С другой стороны, стало ясно, что ограничения N2 ≤ 13 вполне достаточно для такого анализа. Так как именно ограничение на знаменатель N2 определяет плотность расположения значений дробей на числовой оси, а увеличение N1 только периодически увеличивает значение дроби на единицу, то на рис. 2, 3 и последующих рисунках изображены только дробные части чисел (целые части чисел отброшены). Рис. 1. Эффективные главные квантовые числа водородоподобных атомов (табл. 1) показаны в виде горизонтальных линий. Простые дроби (N2 ≤ ≤ 13) помечены маркерами на возрастающей кривой (табл. 2) Рис. 2. Эффективные главные квантовые числа водородоподобных ионов (z = 2, табл. 3) показаны в виде горизонтальных линий. Значения простых дробей (N2 ≤ 13) помечены маркерами на возрастающей кривой. Целые части чисел отброшены Рис. 3. Эффективные главные квантовые числа водородоподобных ионов (z = 3, табл. 4) показаны в виде горизонтальных линий. Значения простых дробей (N2 ≤ 13) помечены маркерами на возрастающей кривой. Целые части чисел отброшены Заметим, что графическое представление материала и использование вспомогательной табл. 2 позволили также уточнить величины некоторых простых дробей, сопоставляемых в более ранней работе [2] главным квантовым числам «водородоподобных состояний». Для дополнительной проверки обнаруженной экспериментальной закономерности были проанализированы характеристики ряда других «водородоподобных» ионов, в том числе с большой степенью ионизации. Результаты этих расчетов представлены в табл. 5, 6 и рис. 4, 5. Как и предыдущие данные, характеристики «водородоподобных» ионов с самыми разными степенями ионизации подтверждают близость эффективных главных квантовых чисел единственного внешнего электрона к величинам простых дробей N1/N2 (с ограничением знаменателя относительно небольшим числом N2 ≤ 13). Графическое представление характеристик этих ионов на фоне последовательности простых дробей со всей очевидностью подтвердило неслучайный характер исследуемой экспериментальной закономерности. Таблица 5 Ион Si+++ P++++ S+++++ Cl++++++ J++++++ Ar+++++++ z 4 5 6 7 7 8 φi, эВ 45.13 65.01 88 114.2 104 143.4 n* 2.196 2.287 2.359 2.416 2.531 2.464 n* ≈ N1/N2 11/5 (2.2) 16/7 (2.286) 26/11 (2.364) 29/12 2.417 33/13 (2.538) 32/13 (2.462) Таблица 6 Ион Hg+ Sn +++ Pb+++ Sb ++++ Bi++++ Te +++++ Po+++++ Xe +++++++ z 2 4 4 5 5 6 6 8 φi, эВ 18.751 46.4 39 63.8 56 83 73 126 n* 1.703 2.166 2.362 2.308 2.464 2.429 2.59 2.628 n* ≈ N1/N2 17/10 (1.7) 13/6 (2.167) 26/11 (2.364) 30/13 (2.308) 32/13 (2.462) 17/7 (2.429) 31/12 (2.583) 21/8 (2.625) Рис. 4. Эффективные главные квантовые числа водородоподобных ионов (табл. 5) с разной степенью ионизации показаны в виде горизонтальных линий. Значения простых дробей (N2 ≤ 13) помечены маркерами на возрастающей кривой. Целые части чисел отброшены Рис. 5. Эффективные главные квантовые числа водородоподобных ионов (табл. 6) с разной степенью ионизации показаны в виде горизонтальных линий. Значения простых дробей (N2 ≤ 13) помечены маркерами на возрастающей кривой. Целые части чисел отброшены Следует особо подчеркнуть, что, как и любая закономерность, наблюдаемая в природе, обнаруженное свойство «водородоподобных состояний» может иметь исключения (как это, например, имеет место в периодической системе элементов), также как и различную степень точности при экспериментальной проверке. Но такого рода отдельные «отклонения» не отменяют самой закономерности, а лишь являются стимулом для дальнейших исследований, как это собственно всегда и происходило в физике на протяжении многих столетий ее развития. Обнаруженная экспериментальная закономерность вызвала множество предположений относительно ее физической природы, а также дискуссии о следствиях для развития теории атома. Мы намеренно не приводим здесь каких-либо соображений о возможном физическом механизме описанного явления и следствиях для развития теории, а ограничиваемся только анализом экспериментальных данных с тем, чтобы не отвлекать читателя от фактической стороны вопроса. Однако уже сам факт обнаружения ранее неизвестного свойства атомов и ионов, связанного с особенностями взаимодействия внешнего электрона с атомным остатком, несомненно, является одним из наиболее значимых открытий в атомной физике за последние десятилетия.

Скачать электронную версию публикации