Convergence analysis of carey nonconforming finite element for the second-order elliptic problem with the lowest regular.pdf Введение Проведено множество исследований по анализу сходимости и оценкам погрешностей для знаменитой NFEM Кэри [1, 2], когда точное решение или . Например, в [3] обсуждается анализ сходимости для класса нелинейных параболических интегродифференци¬альных задач в 2D и представлены оценки погрешностей оптимального порядка для -нормы и -нормы. В [4, 5] рассмотрено анизотропное поведение для эллиптической задачи второго порядка и задачи вариационного неравенства со смещением препятствия соответственно. В [6] проведен анализ с более высокой точностью и выполнена экстраполяция этого элемента для задач соболевского типа на анизотропных сетках. Кроме того, в [7] сконструирован новый элемент квазикари путем модификации элемента ухода. Показано, что погрешность согласованности этого нового элемента имеет порядок , который на порядок выше ошибки интерполяции. Это свойство очень похоже на четырехугольный квазивильсонский элемент [8-10]. В [10-12] авторы исследовали эллиптическую задачу второго порядка при минимальной регулярности точного решения . Однако результаты базируются на предположении о регулярности на сетках разбиения [13], т.е. существует постоянная , такая, что , где и обозначают диаметр элемента и наибольшие содержащиеся в окружности соответственно. Это ограничивает применение методов конечных элементов. Основная цель данной работы - изучить поведение сходимости треугольного неконформного конечного элемента Кэри для эллиптической задачи второго порядка с наинизшей регулярностью . Используя новый анализ, те же результаты, что и в [11-13], были получены для анизотропных сеток. Представленные в настоящей работе результаты ранее не встречались. Элемент Кэри и некоторые леммы Пусть - треугольник с вершинами (i = 1, 2, 3), - координата площади, соответствующей вершине , являются тремя краями . Пусть - площадь треугольника и сделаем следующие замечания: Пусть - выпуклая связная область; - семейство разложения с , и , . Для данного элемента , пусть - самый длинный край . Обозначим как его длину. Пусть - толщина , перпендикулярная к , где - квадрат . Мы полагаем, что элемент удовлетворяет условию максимального угла и условию системы координат [14], и нет необходимости подтверждать вышеуказанное регулярное предположение. Пусть - связанное пространство конечных элементов Кэри, определяемое как . (1) Здесь , . Тогда для любого , которое содержит (2) где - константы; и - линейная и нелинейная части соответственно, т.е. . Рассмотрим следующую проблему Пуассона: (3) Пусть , тогда слабая форма (3): (4) Здесь Аппроксимация (4) выглядит следующим образом: (5) где , Легко заметить, что - это норма, определенная в пространстве . По теореме Лакса - Мильграма уравнения (4) и (5) имеют единственные решения и соответственно. Чтобы получить оценки погрешностей , введем следующую полезную лемму. Лемма 1 [4, 5]. Предположим, что определено в (1). Пусть , а может быть записана как в (2). Для анизотропных сеток: (6) ; (7) (8) Лемма 2 [10]. Пусть - единичный круг в , и , где является решением (4), т.е. (9) тогда - прекомпакт в . Лемма 3 [10]. Пусть - фиксированное компактное подмножество , тогда существует конечное открытое покрытие , такое, что , и , где - открытый круг с центром и ε - радиус в смысле -нормы. Анализ сходимости и оценки погрешностей Предложим три теоремы в качестве основных результатов. Сначала анализ неоднородной сходимости обсуждается в теореме 1, то есть решение конечного элемента сводится к точному решению u как h→0. Теорема 1. Предположим, что u и - решения (4) и (5) соответственно и что , , тогда решение сводится к как , т.e. для любого существует , такое, что (10) содержится, когда . Доказательство. По второй лемме Стренга [14] (11) где . (12) Пусть - соответствующее линейное треугольное пространство конечных элементов, тогда . В [11] доказано, что существует , так что для каждого первое слагаемое в правой части (11) можно оценить как . (13) Далее оценим член в (11). Поскольку , то для любого существует функция , такая, что (14) Так, (15) Из леммы 1 и (14) следует (16) Теперь воспользуемся следующим новым приемом, чтобы оценить член для анизотропных сеток. Определим как Пусть , тогда из леммы 1 имеем (17) Воспользовавшись (15), (16) и (17), получим (18) Здесь и далее обозначает постоянную, не зависящую от и , и функцию при рассмотрении. Таким образом, существует , удовлетворяющее . Теперь выбираем такое, что , и (18) уменьшает (19) Пусть , и желаемый результат может быть получен из (11) - (19). Анализ однородной сходимости приведем в теореме 2. Теорема 2. В предположении теоремы 1 и при данном существует , такое, что для всех (20) Доказательство. Для Тогда Следовательно, из (11) имеем (21) Для в [11] также показано, что существует так, что для , где Таким образом, (22) Что касается оценки второго слагаемого в правой части (21), то из доказательства теоремы 1 с учетом леммы 3 получаем . Для следует (23) Таким образом, из (21) - (23), когда , имеем , т.e. Доказательство завершено. Итак, мы сделаем оценку -нормы в теореме 3. Теорема 3. В условиях теоремы 1 существует , так что для имеем (24) Доказательство. Согласно аргументу Обена - Нитше, выполняется (25) где - решение Пусть является приближением Кэри NFE из , для любого Тогда (26) (27) . (28) Используя те же аргументы, что и в теореме 1, пусть , и являются решениями соответственно. Тогда также предварительно компактен в . Так как связано c , то существует конечное открытое покрытие , такое, что где Аналогично, пусть Тогда ; (29) ; (30) ; (31) (32) Таким образом, (33) Из теоремы 1 видно, что существуют и , такие, что (34) (35) (36) где будет определено ниже. Таким образом, когда , имеем (37) Выберем и отмечая, что ; (38) (39) завершим доказательство теоремы 3. Заключение Проверено, что подходы, используемые в теоремах этой работы, действительно сильно отличаются от подходов [12, 13], которые значительно упрощают доказательства. Тем более методы, использованные в [11-13], не могут быть применены непосредственно к анизотропным сеткам. В теореме 1 означает, что она зависит не только от u, но и от f. То есть сходится к u как неравномерно. Итак, необходимые доказательства результатов равномерной сходимости можно найти в теореме 2. В итоге равномерные оценки сходимости с -нормой даны в теореме 3. Приведенные выше результаты справедливы и для некоторых других NFEs, таких, как анизотропный квазиэлемент Кэри [7], анизотропный элемент Уилсона [15], квазиэлемент Уилсона [8] и т.д. Однако вопрос распространения результатов настоящей работы на неконформные прямоугольные элементы, изученные в работах [16-34], до сих пор остается открытым.

Скачать электронную версию публикации