Algebras of symmetry operators of Klein-Gordon-Fock equation for groups acting transitively on two-dimensional subspaces.pdf Введение Уравнение Клейна - Гордона - Фока описывает релятивистскую динамику скалярной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. В последнее время интерес к скалярным уравнениям значительно вырос в связи с проблемой тёмной материи и её возможным описанием в рамках скалярно-тензорной теории. Точные решения уравнения Клейна - Гордона - Фока используются для построения реалистичных моделей релятивистских квантово-механических систем. Возможность осуществления точного или надёжного приближённого интегрирования одно-частичных уравнений движения заряженных пробных частиц даёт метод полного разделения переменных. Этот метод долгое время оставался единственно известным. В работах [1-6] можно найти подробную библиографию статей, посвященных теории полного разделения переменных. После появления работ [7-11] начали развиваться методы некоммутативного интегрирования, в том числе для уравнения Дирака - Фока [12, 13]. Отметим следующее обстоятельство. В [1-4] найдены все внешние электромагнитные поля, в которых допускает полное разделение переменных уравнение Гамильтона - Якоби для пробного заряда. В работе [6] осуществлена полная классификация допустимых электромагнитных полей для просто транзитивных групп движений . При этом группа действует на неизотропных гиперповерхностях пространственно-временного многообразия. В обоих случаях под допустимыми понимаются поля, для которых существует соответствующая алгебра операторов симметрии уравнений Гамильтона - Якоби и Клейна - Гордона - Фока первого (для группы ) или не выше второго (для полного набора) порядка. Таким образом, настоящая работа является продолжением этих статей. Окончательная цель - классификация всех допустимых внешних электромагнитных полей как для операторов симметрии из полного набора, обеспечивающего полное разделение переменных, так и для операторов группы . 1. Условия существования алгебры операторов симметрии Рассмотрим пространственно-временное многообразие , на двумерном подпространстве которого действует транзитивно группа , . Координатные индексы переменных локальной координатной системы пространства будем обозначать малыми буквами латинского алфавита: . Координатные индексы переменных локальной координатной системы подпространства выразим малыми буквами греческого алфавита: . Буквами , обозначим индексы, пробегающие значения от 1 до 3. Предметом нашего изучения являются условия существования алгебры операторов симметрии (интегралов движения) классического и квантового уравнений движения для заряженной скалярной пробной частицы во внешнем электромагнитном поле для случая, когда в пространстве действует описанная выше группа. В книге Александра Зиновьевича Петрова [14], изданной в 1961 г., перечислены все пространственно-временные метрики, в которых действуют группы движений , и приведены все операторы этих групп. Мы используем эти результаты с небольшими изменениями в обозначениях. Уравнение Гамильтона - Якоби для заряженной пробной частицы во внешнем электромагнитном поле с потенциалом имеет вид (1) Интегралы движения свободного уравнения Гамильтона - Якоби задаются векторными полями Киллинга : (2) Как известно [6, 8-10], при ненулевом электромагнитном поле уравнение (1) допускает интегралы движения вида (2), если коммутируют c относительно скобок Пуассона: (3) Необходимое и достаточное условие этого имеет вид (4) Таким образом, в отличие от свободного уравнения Гамильтона - Якоби, в общем случае уравнение (1) интегралов движения первого порядка не имеет. Система уравнений (4) определяет множество допустимых электромагнитных полей, в которых такие интегралы, задаваемые группой , существуют. Заметим, что условие (4) справедливо и в случае -мерного пространства. В работах [6, 10] было доказано, что система уравнений (4) задаёт допустимое электромагнитное поле и для уравнения Клейна - Гордона - Фока: (5) Здесь - поле скалярной частицы с массой ; - оператор ковариантной производной со связностью, согласованной с метрикой; отвечает оператору частной производной . Таким образом, алгебра операторов действующей в пространстве группы является алгеброй операторов симметрии для уравнений Гамильтона - Якоби и Клейна - Гордона - Фока в допустимых электромагнитных полях. Заметим, что линейные по импульсам интегралы движения вида не обязательно образуют алгебру группы . Более того, их может быть меньше r. При этом условия существования допустимого электромагнитного поля будут менее жесткими (см. [6-10]). Согласно классикации Бианки по вещественным неизоморфным структурам, в зависимости от набора структурных постоянных имеются следующие структуры двухпараметрических и трёхпараметрических групп: (6) Используя результаты работы [14], исследуем систему уравнений (4) для случая, когда группа действует на двумерных пространствах транзитивности. При этом выбрана калибровка потенциала, при которой 2. Группа 2.1. Группа 1) Если группа действует на неизотропном подпространстве транзитивности или, имея особый оператор, на изотропном, то векторные поля Киллинга принимают вид (7) Из уравнений Киллинга следует (8) Здесь и далее В случае изотропной поверхности транзитивности, дополнительно к этому, Подставим (7) в систему (4). В результате получим потенциал допустимого электромагнитного поля: (9) 2) Пусть теперь группа не имеет особого оператора и действует на изотропном подпространстве транзитивности. В этом случае векторное поле Киллинга можно записать в виде (10) Данная группа действует на двух пространствах, задаваемых метриками (11) Система уравнений (4) распадается на две подсистемы: ; (12) (13) где Решение этих систем имеет вид (14) Выражая функции через , получим окончательно (15) 2.2. Группа 1) Если группа действует на неизотропном подпространстве транзитивности или, имея особый оператор, на изотропном, то векторные поля Киллинга принимают вид (16) Из уравнений Киллинга следует В случае изотропной поверхности транзитивности 2) Если группа не содержит особого оператора, решение уравнения Киллинга имеет вид Система (4) после подстановки (16) распадается на две подсистемы: ; (17) (18) где Решение этих систем запишем как (19) Выражая функции через , окончательно получим (20) 3. Группа 3.1. Группы действующие транзитивно на Все допустимые электромагнитные поля для групп, действующих транзитивно на неизотропных гиперповерхностях пространственно-временного многообразия, найдены в работе [6]. Если группа действует транзитивно на подпространстве , то она является максимальной группой для и поэтому имеет постоянную кривизну. В книге [14] перечислены все такие группы и метрики всех пространств, имеющих двумерные подпространства постоянной кривизны. A. Группы , Метрика: (21) Операторы группы: (22) B. Группа действующая транзитивно на 1) Метрика: (23) Операторы группы: (24) (25) 2) Метрика: (26) Операторы группы: (27) (28) Найдём потенциалы допустимых электромагнитных полей. Рассмотрим группу с операторами (24). Из системы уравнений (4) получаем С учётом этого, из оставшихся уравнений системы (4) следует Таким образом, потенциал допустимого электромагнитного поля выразим так: (29) Проводя аналогичные расчёты для остальных наборов операторов группы, убеждаемся, что во всех этих вариантах потенциал допустимого электромагнитного поля имеет тот же вид (29). 3.2. Группа , действующая транзитивно на Существует только одна трёхпараметрическая группа движений, действующая на изотропном двумерном подпространстве пространственно-временного многообразия: . Метрика пространства и операторы этой группы имеют вид (30) (31) Найдём допустимые электромагнитные поля. Для этого подставим (31) в (4). В результате получим (32) Таким образом, и в этом случае окончательное решение запишем в форме (33) Заключение В заключение отметим следующие возможности использования полученных результатов. 1. Рассмотренные метрики могут найти применение в космологии, особенно при изучении процессов, происходящих на ранних этапах эволюции Вселенной и при построении моделей взаимодействия аксионного поля с электромагнитным, что представляет интерес при изучении проблемы тёмной материи (см., например, [15-17]). 2. Результаты можно использовать при получении точных самосогласованных решений в общей теории относительноси, в скалярно-тензорной теории гравитации, в проблеме Вайдья, а также при интегрировании полевых уравнений в других гравитационных теориях (см., например, [18-20]). 3. Результаты могут применяться при построении теории некоммутативного интегрирования квантовых уравнений движения в сильном гравитационном поле в присутствии полей калибровочной природы.

Скачать электронную версию публикации