Examples of asymptotic solutions obtained by the complex growth method for the one-dimensional nonlocal Fischer - Kolmog.pdf Введение В работах [1, 2] и в ряде других работ авторов теория квазиклассического приближения В.П. Маслова [3, 4] систематически применялась к нелокальному обобщению классического популяционного уравнения Фишера [5] - Колмогорова - Петровского - Пискунова (КПП) [6], которое в (1+1)-мерном случае без учета конвективных членов в безразмерных обозначениях можно записать в виде (1) Здесь и являются гладкими функциями, возрастающими при не быстрее, чем полином; параметр диффузии играет роль асимптотического параметра, ; вещественный параметр нелинейности ; ; . Выражение имеет смысл нелокальных конкурентных потерь с функцией влияния . В [2] были построены в явном аналитическом виде семейства асимптотических решений задачи Коши для уравнения (1) с учетом конвективных членов в классе траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ), а также в классе функций, сосредоточенных на кривой [7], однако свойства построенных асимптотик подробно не изучались. Класс ТСФ, , задается общим элементом следующим образом: , (2) где , вещественная функция принадлежит пространству Шварца по переменной , гладким образом зависит от и регулярно зависит от при . Вещественные функции , характеризуют класс вида (2) и определяются в процессе построения асимптотик. В данной работе основное внимание уделяется исследованию особенностей поведения асимптотических решений, полученных с точностью в рамках комплексного метода ВКБ - Маслова [1, 2] для частных случаев уравнения (1). Выявление особенностей построенных асимптотик отражает наиболее характерные свойства квазиклассических решений уравнения (1) и позволяет оценить наиболее подходящие области применимости найденных асимптотик. Из соображений замкнутости работы далее кратко приводятся необходимые сведения, позволяющие составить представление о методе квазиклассических асимптотик для уравнения (1). Детали подробно описаны в [2]. Построение квазиклассических асимптотик Зададим условие Коши для уравнения (1) в классе ТСФ (2): . (3) В классе справедливы следующие оценки: , , (4) где , . В частности, , . Здесь есть оператор такой, что , , представляет норму в пространстве . Оценки (3), (4) позволяют провести разложение коэффициентов в уравнении (1) с заданной точностью, получить динамическую систему моментов искомой функции и построить асимптотические решения уравнения (1). Моменты функции в уравнении (1) определяются выражениями , , (5) , (6) где и являются моментами нулевого и первого порядка соответственно; , , - центральный момент -го порядка. Наложим также условие , (7) которое ограничивает функциональный параметр класса (2). Моменты (5), (6) для функций класса в соответствии с (2) и с учетом (7) имеют оценки , , . (8) Формальные ряды функций , , в (1) в окрестности , можно записать в виде , . (9) Здесь , - краткое обозначение коэффициентов разложения. Из уравнения (1) в соответствии с данными [1, 2] выводятся динамические уравнения для моментов (5), (6) ; (10) ; (11) , (12) где коэффициенты разложения даются выражениями (9). Введем агрегированный вектор моментов (13) и запишем систему (10) - (12) с учетом (13) в компактной форме . (14) Правая часть уравнения (14) состоит из функций , , , , …, вид которых непосредственно задается правыми частями уравнений (10) - (12). Система (14) формально состоит из неограниченного числа уравнений. Используя оценки моментов (8), можно редуцировать систему (14) к системе с конечным числом уравнений с точностью, например, . В систему будут входить моменты , при фиксированном . Редуцированную систему запишем в виде , (15) где ; (16) . (17) В функциях сохраняются слагаемые порядка не выше, чем , причем используются оценки Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений , (18) в которой представляет собой вектор зависимых переменных, а берется из (15) - (17). Следуя [1, 2], назовем (18) системой Эйнштейна - Эренфеста (ЭЭ) порядка для нелокального уравнения Фишера - КПП (1) в классе ТСФ (2). Обозначим общее решение системы (18) следующим образом: , (19) где есть набор произвольных постоянных интегрирования системы (18). Обозначим посредством совокупность значений постоянных интегрирования в (19), полученных из наложением алгебраического условия , (20) так, что тождественно по . Здесь есть совокупность начальных значений моментов (5), (6) для некоторой начальной функции : , , . Для простоты обозначений мы не указываем явную зависимость от в и в моментах. Отметим, что представляют собой функционалы на классе функций . Построим асимптотическое решение задачи Коши (3) для уравнения (1), используя введенные выше конструкции. Для этого подставим общее решение (19) системы ЭЭ (18) в нелокальное уравнение Фишера - КПП (1) с разложенными коэффициентами (9) - (12) и учтем оценки (4) - (8). В результате получим линейное дифференциальное уравнение с частными производными , (21) где , (22) , . Следуя [1, 2], уравнение (21) с коэффициентами (22) назовем ассоциированным линейным уравнением (АЛУ) порядка , соответствующим нелокальному уравнению Фишера - КПП (1). Рассмотрим задачу Коши (3) для линейного уравнения вида (21) , . (23) Заменим произвольные постоянные в уравнении (21) на функционалы , полученные из алгебраического условия (20). Тогда в соответствии с [1, 2] справедлива Теорема 1. Решение задачи Коши (3) для нелокального уравнения Фишера - КПП (1) с точностью и решение задачи Коши с тем же начальным условием (3) для ассоциированного линейного уравнения (21) связаны условием . (24) Исследование частных асимптотических решений нелокального уравнения Фишера - КПП Используя результаты предыдущего раздела, построим в явном виде семейства асимптотических решений для частного случая нелокального уравнения Фишера - КПП (1) при = = const и и исследуем свойства построенных решений. В рассматриваемом случае уравнение (1) запишется в виде (25) Функция влияния берется в гауссовом виде . (26) Главный член квазиклассической асимптотики в рамках изложенного в предыдущем разделе формализма находится с точностью . Для нахождения главного члена запишем систему ЭЭ (18), ограничившись моментами порядка : , , , (27) где ; . Интегрирование этих уравнений дает , , , где . Используя общее решение системы ЭЭ (27) с произвольными постоянными интегрирования , можем записать ассоциированное линейное уравнение (21) так: , (28) где для нахождения главного члена асимптотики ограничимся точностью оператора в уравнении . Далее мы построим в явном виде семейство частных асимптотических решений уравнения (25), (26) с помощью решений ассоциированного линейного уравнения (28), ограничившись главными членами асимптотики. Будем искать частное решение уравнения (28) в виде . (29) Здесь есть нормировочная константа; и определяются при построении решения, - из уравнения , (30) где имеет вид (22). Подставим (29) в (28) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим следующие уравнения: , . (31) Функция получается интегрированием . Представим как , тогда из (31) получим , . (32) Уравнения (32) образуют систему в вариациях для уравнения (31). С помощью решений системы (32) образуем вектор . Введем векторы и , для которых решения системы в вариациях удовлетворяют условиям , , (33) соответственно. Семейство частных решений, которые получаются из (29) и решений системы в вариациях (32), построено на основе комплексного ростка В.П. Маслова [1-4], связанного с парой . Здесь представляет собой 0-мерное многообразие (точку на фазовом пространстве системы ЭЭ), движущееся вдоль фазовой траектории решений динамической системы моментов искомой функции, а росток в точке многообразия в момент есть 1-мерное линейное пространство, порожденное касательным вектором. Комплексный росток естественно возникает в квантовой механике, однако в частном случае нелокального уравнения Фишера - КПП (1) росток оказывается вещественным. В рассматриваемом случае росток есть линейное 1-мерное пространство с базисным вектором . Из системы (32) и условий (33) получим , . (34) Ниже мы представим в явном виде примеры квазиклассических асимптотических с точностью (главные члены асимптотик) решений уравнения (25), построенные в соответствии с формализмом, описанным в предыдущем разделе. Эти асимптотики (обозначим их ) обладают следующими свойствами: , а даются выражениями , (35) где ; (36) , , (37) где имеют вид (34), постоянные определяются из условий ; (38) , , . (39) Прейдем к исследованию асимптотических решений нелокального уравнения Фишера - КПП вида (25), определяемых выражениями (35) - (39). Приведенные ниже графики представлены в безразмерных обозначениях и отражают качественное поведение рассматриваемых решений. На рис. 1 и 2 показаны графики асимптотических решений (36) для следующих значений параметров уравнения (25): , , , , (40) на временном интервале . Значения выбираются четными, так как для нечетных значений . Рис. 1. Асимптотическое решение, задаваемое выражениями (35) - (39) при : a - для ; б - для ; в - для Рис. 2. Асимптотическое решение, задаваемое выражениями (35) - (39) при : a - для ; б - для ; в - для В качестве косвенной проверки соответствия асимптотических решений (35) - (39) уравнения (25) были построены численные решения уравнения (25) с помощью программного пакета Comsol Multiphysics с параметрами (40) и начальным условием , (41) таким же, как и для асимптотических решений, представленных на рис. 1 и 2. Здесь дается выражением (36) при . Решения, построенные с помощью Comsol Multiphysics, показаны на рис. 3 и 4. Рис. 3. Численное решение уравнения (25) с начальным условием вида (41): a - при ; б - при ; в - при Рис. 4. Численное решение уравнения (25) с начальным условием вида (41): a - при ; б - при ; в - при Заметим, что асимптотические решения, представленные на рис. 1 и 2, при имеют нефизические отрицательные значения функции концентрации , которые со временем исчезают. Эта ситуация более подробно обсуждается в заключении. Здесь отметим, что если изменить начальные условия (41) так, чтобы , если , и , если , (42) то численные решения с этими начальными данными, приведенные на рис. 5, показывают, что они качественно соответствуют асимптотикам, представленным на рис. 2, и численному решению на рис. 4. Рис.5. Численное решение уравнения (25) с начальным условием вида (42) при : a - при ; б - при ; в - при Мы также построили численное решение уравнения (25) с начальным условием (43) для . Результат показан на рис. 6. Рис. 6. Численное решение уравнения (25) с начальным условием (43): a - при ; б - при ; в - при Заключение В работе представлен краткий обзор метода квазиклассических асимптотик и элементов метода ВКБ - Маслова для одномерного нелокального уравнения Фишера-КПП при отсутствии конвекции (1). Для частного случая (25) в явном виде построено семейство квазиклассических асимптотик с точностью и исследовано их качественное поведение. Из рассмотренных частных случаев выявляются некоторые общие свойства построенных асимптотик, которые обсуждаются ниже. По поведению асимптотик, представленных на рис. 1 и 2 на временном интервале , можно наблюдать преобразование начального распределения с несколькими начальными пиками ( ) в распределение, близкое по форме гауссову распределению. Численное решение уравнения (25) с начальным условием , полученное с применением пакета Comsol Multiphysics, демонстрирует поведение, представленное на рис. 3 и 4, аналогичное поведению асимптотик на рис. 1 и 2. Это наблюдение может служить аргументом в пользу справедливости полученных асимптотических решений на временном интервале и позволяет оценить временные интервалы , на которых справедлива построенная квазиклассическая асимптотика путем сравнения аналитических и численных решений. Косвенная аналитическая оценка интервала может быть получена путем анализа невязки асимптотического решения. Отметим, что прямая оценка временного интервала в рамках метода комплексного ростка для нелинейных уравнений представляет собой сложную математическую задачу, которая пока остается открытой. Поэтому компьютерное моделирование по-прежнему является единственным способом прямой оценки. В случае численного моделирования уравнения (25) с начальным условием (43) наблюдается картина начального этапа создания паттерна на рис. 6, т.е. один локальный пик разбивается на две популяционные волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях по оси . Этот пример показывает, что описанный выше метод построения квазиклассических асимптотик «не видит» развернутой стадии появления паттерна в нелокальной нелинейной модели Фишера - КПП. Это также дает представление о временном интервале справедливости построенной асимптотики. Что касается «нефизических» отрицательных значений при асимптотических решений, показанных на рис. 1-3, которые со временем исчезают, отметим, что в целом с математической точки зрения аналитические решения априори не обязаны удовлетворять каким-либо дополнительным условиям. Тем не менее мы можем избежать этого неудобства несколькими способами. Во-первых, сравнивая аналитические и численные решения, представленные на рис. 4 и 5, мы видим, что отрицательные значения существуют в течение относительно короткого времени и не оказывают существенного влияния на общее поведение эволюции плотности . Во-вторых, мы можем выбрать начальный момент , начиная с которого отсутствуют отрицательные значения плотности . В-третьих, представленная выше теория квазиклассических асимптотик обладает специальным нелинейным принципом суперпозиции [1, 2], который позволяет нам построить подходящую линейную комбинацию приведенных выше асимптотик - положительную при , а отрицательные значения не появятся в процессе эволюции.

Скачать электронную версию публикации