Космологические модели с полиномиально меняющимся параметром замедления в f(R)- и f(R,T)-гравитации | Известия вузов. Физика. 2021. № 10. DOI: 10.17223/00213411/64/10/44

ГлавнаяАрхивКосмологические модели с полиномиально меняющимся параметром замедления в f(R)- и f(R,T)-гравитации | Известия вузов. Физика. 2021. № 10. DOI: 10.17223/00213411/64/10/44

Космологические модели с полиномиально меняющимся параметром замедления в f(R)- и f(R,T)-гравитации

Предлагаются новые космологические модели с идеальной жидкостью в f ( R )- и f ( R , T )-гравитации. Используется полиномиально меняющийся параметр замедления. Ранее подобные модели были получены без каких-либо ограничений на параметр в полевых уравнениях. Рассматриваются динамические особенности модели, в том числе поведение параметра состояния. Обсуждаются энергия, давление, параметр рывка и другие параметры модели. Предлагаемые космологические модели отвечают ожиданиям того, что может произойти после Большого разрыва (Big Rip), следующим из некоторых астрономических наблюдениий. Первая модель с линейно меняющимся параметром замедления, кроме прочего, охватывает закон Бермана. Вторая модель представляет собой модель Большого сжатия (Rip-Crunch). Полиномиально меняющийся параметр замедления позволяет создать несколько космологических моделей для объяснения эволюции Вселенной.

Cosmological models with a varying polynomial deceleration parameter in f(R) and f(R,T Введение Феномен ускоряющегося расширения Вселенной привлекает особое внимание космологов, астрономов и астрофизиков. Описание текущего поведения Вселенной стало главной задачей со-временной космологии. Для объяснения этого явления многие исследователи предлагают различ-ные теории и концепции. Возможно, теория Эйнштейна в больших масштабах не может объяснить эволюцию Вселенной. Существуют более общие теории, описывающие гравитационное поле. Для построения с целью описания текущего ускорения Вселенной альтернативы традиционной космо-логии были использованы модифицированные теории гравитации, такие как , , гравитация и др. В работе Мырзакулова [1] была предложена -гравитация как одна из фун-даментальных гравитационных теорий, описывающих эволюцию Вселенной. -гравитация отличается тем, что она содержит, в качестве частных случаев, такие хорошо известные модифи-цированные теории гравитации, как -гравитацию и -гравитацию, являясь их прямым обобщением и унифицированным описанием. Связь энергии и материи в -гравитации иг-рает важную роль в обеспечении теоретического описания ускорения Вселенной в поздние време-на без определения существования темной энергии. В 1998 г., в соответствии с наблюдениями Сверхновой Ia (SNIa), космический микроволновый фон (CMB) и барионные акустические колебания (BAO) показали, что Вселенная ускоренно рас-ширяется. С тех пор исследователи изучают космологические модели с переменным параметром замедления, например, [2-7]. Некоторые из этих моделей предсказывали Большой разрыв Вселен-ной в ее конце. С другой стороны, Бревик и др. [8] предложили описать ускорение Вселенной, введя модель двух связанных жидкостей. Условия существования инфляции Вселенной обсужда-ются в [8, 9]. Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы найти общую космологическую модель в и -гравитации, которая соответствует наблюдениям. Более того, ожидается, что эволюцию Вселенной можно будет рассматривать за рамками момента Большого разрыва. В рам-ках -гравитации было проведено несколько исследований космологических моделей с раз-личными физическими диффузиями, например [6, 10-13]. В большинстве приведенных исследо-ваний модели уравнений поля в -гравитации были проанализированы с использованием метода специального закона изменения параметра Хаббла, предложенного Берманом [14, 15]. Данная статья построена следующим образом: в разделе 1 представлен краткий обзор теории -гравитации и космологических параметров. Раздел 2 посвящен обсуждению полиноми-ально меняющегося параметра замедления в -гравитации. В подразделе 2.1 выведена кос-мологическая модель с линейно меняющимся параметром замедления в -гравитации. В подразделе 2.2 содержится обсуждение динамических свойств космологической модели с линейно изменяющимся параметром замедления в -гравитации. В подразделе 2.3 приводится кос-мологическая модель с квадратично меняющимся параметром замедления в -гравитации. Обсуждение динамических свойств космологической модели с полиномиально меняющимся па-раметром замедления в -гравитации приведено в подразделе 2.4. Полученные результаты настоящей работы обобщены в разделе 3. Наконец, в заключении изложены основные итоги. 1. Уравнение поля f(R,T)-гравитации и космологические параметры Краткий обзор теории -гравитации будет представлен следующим образом. В -гравитации, предложенной авторами [16], уравнения поля этой теории выводятся из вариационного принципа Гильберта - Эйнштейна, согласно которому действие имеет вид , (1) где - плотность материи Лагранжа; - скаляр Риччи; - след энергии-импульса, тензор энергии-импульса материи; и - компоненты метрического тензора. Тензор энергии-импульса в материи определяется, как дается авторами [6], следующим обра-зом: . (2) Если лагранжиан материи зависит только от метрического тензора и его производных, то получаем . (3) Предполагая, что материи зависит только от компонентов , можно получить уравне-ния поля в -гравитации в виде , (4) где , , является ковариантной производной и . (5) Тензор энергии-импульса материи идеальной жидкости задается как , (6) где - плотность; - давление жидкости; - 4-вектор скорости жидкости. Из выражения (5) следует , (7) где , и . Рассматрим функцию в виде , (8) где - функция от следа тензора энергии-импульса, является положительной по-стоянной. Уравнения поля -гравитации были даны авторами [17] , (9) где - тензор Риччи, а штрих обозначает частичную производную по от . Полевое уравнение (9) сводится к уравнению поля -гравитации, когда В сопутствующей системе координат метрика Вселенной задается трехмерно-плоской метри-кой Фридмана - Робертсона - Уокера (FRW) [18] , (10) где - масштабный фактор. Решения уравнений гравитационного поля (9) для метрики (10) приведены в [6]: ; (11) (12) где - функция Хаббла. Можно переписать уравнения (11) и (12), следуя форме Sahoo и др. [6], в виде ; (13) . (14) Эта система состоит из двух уравнений с тремя неизвестными: параметром Хаббла , плотностью и давлением жидкости . Поэтому необходимо еще одно уравнение. Для этой цели рассмотрим уравнение состояния, например, уравнение состояния с параметром . В результате получим . (15) Уравнения (13), (14) и (15) сводятся к уравнениям -гравитации при 2. Полиномиально меняющийся параметр замедления В данном разделе используется закон обобщения изменения параметра Хаббла. Рассмотрим следующий тестовый закон [19]: , , (16) где А, n, k и являются константами. Уравнение (16) задает параметр замедления . (17) Кроме того, параметр рывка определен Виссером [20] как . (18) Подставляя уравнения (16) и (17) в уравнение (18), находим (19) Теперь, подставляя уравнение (16) в уравнения (13), (14) и (15), можно получить параметр плотности, давления и состояния следующим образом: ; (20) ; (21) . (22) Параметр замедления, приведенный в уравнении (10), может помочь нам вывести ряд космо-логических моделей. Эти модели обладают множеством атрибутов и одновременно соответствуют космическим наблюдениям. При полиномиально меняющийся параметр замедления стано-вится постоянным. В следующем подразделе будет отображена модель Вселенной при . 2.1. Космологические модели с линейно изменяющимся параметром замедления в -гравитации В данном разделе будет использоваться полиномиально меняющийся параметр замедления. В случае уравнения (16) - (22) можно переписать следующим образом. Параметр Хаббла: , (23) где . Параметр замедления: . (24) Параметр рывка: . (25) Теперь плотность энергии, давление и параметр состояния могут быть представлены в виде ; (26) ; (27) . (28) Решая (23), можно получить , (29) где - константа интегрирования. Красное смещение определяется через отношение . Разрешая уравнение (29) относительно времени, найдем , (30) где - текущее значение масштабного фактора. Можно также, используя уравнение (30), напрямую выразить в терминах красного смещения параметр замедления (24) и параметр рывка (25). Выбор параметров m и a влияет на эволюцион-ное поведение линейно изменяющегося параметра замедления в -гравитации . Далее представлен набор диаграмм, описывающих временную зависимость некоторых важ-ных параметров. Значения выбираются в соответствии с наблюдаемой кинематикой Вселенной, как указано авторами [21], следующим образом: m = 1.6 и a = 0.097. Параметр замедления (рис. 1), по-видимому, был положительным во время Большого взрыва . Это означает, что Вселенная началась с замедления расширения. Затем он начинает уско-ряться (де-Ситтер) , потом входит в ускоренное расширение в , далее переходит к остановке и, наконец, достигает момента Большого разрыва . Заметим, что ди-намическое поведение может быть измерено во всех значениях параметра замедления в отрица-тельной области. Между тем расширение де-Ситтера происходит в точке , для которой мо-жет быть достигнуто ускорение расширения по степенному закону . Сильное экспонен-циальное расширение Вселенной происходит как Данные наблюдений для этого параметра находятся в диапазоне . При рассмотрении кинематического анализа [22] выбирается взаимосвязь между параметрами замедления и красным смещением (рис. 2), см., например, [21]. Переходное красное смещение ус-коряющегося расширения задается . В нашей модели это значение согласуется с моделью. Параметр космического рывка (рис. 3) в становится . Это значение показыва-ет, что параметр рывка в этой модели значительно меняется при переходе от замедления к ускоре-нию. Кроме того, можно заметить, что параметр рывка внезапно меняется при J = 0.78 и в момент перехода от замедления к ускорению (рис. 4). Рис. 1. Эволюция параметра замедления в зависимо-сти от космического времени Рис. 2. Зависимость параметра замедления от красного смещения при с учетом кинематического анали-за [22] Рис. 3. Эволюция параметра рывка в зависимости от космического времени Рис. 4. Зависимость рывка от красного смеще-ния при с учетом кинематического анализа [22] 2.2. Динамические свойства космологических моделей с линейно изменяющимся параметром замедления в -гравитации Уравнения (23) - (28) помогают изучить динамику космологических моделей с линейно изме-няющимся параметром замедления в - и -гравитации следующим образом. Масштабный фактор строится как функция космического времени (рис. 5). Как видно, Все-ленная начинается с Большого взрыва в с и заканчивается в с . Можно заметить, что масштабный фактор увеличивается с космическим временем. Он расходится в мо-мент Большого разрыва. Плотность энергии жидкости в зависимости от космического времени приведена на рис. 6. Кривая плотности энергии строится путем выбора для -гравитации, для . Можно заметить, что наша модель возможна, так как положительность плотности энергии удовлетворяется этой моделью для всех значений параметра . Кроме того, плотность энергии жидкости расходится в начале (момент Большого взрыва) и в конце Вселенной (момент Большого разрыва). Условием для параметров и получения положительной плотности энергии при периодическом изменении параметра замедления в -гравитации является (например, см. [6]). На рис. 7 давление жидкости отображается в зависимости от космического времени при для -гравитации, для . Давление также расходится в начале и в конце Вселенной для всех значений параметра . Оно уменьшается от больших положительных значе-ний в начале до больших отрицательных значений в конце жизни Вселенной. Вселенная началась с замедляющегося расширения, потом медленно расширялась с ускорением, затем перешла к бо-лее быстрому расширению с ускорением в . Отметим, что как плотность энергии (рис. 6), так и давление (рис. 7) в и в ведут себя одинаково. На рис. 8 показана зависимость параметра состояния жидкости от космического времени. Он уменьшается с положительного значения , затем приближается к , потом переходит к отрицательным значениям после пересечения фантомного разделения и заканчивается Большим разрывом с . Параметр состояния де-монстрирует разное поведение для и , но сходится к одному и тому же значению при Можно заметить, что Вселенная в этой модели имеет конечное время жизни. Все начинается с Большого взрыва и заканчивается Большим разрывом. В следующем подразделе рассматривается эволюция Вселенной с ее переменным параметром замедления второй степени . Рис. 5. Масштабный коэффициент в зависимо-сти от космического времени Рис. 6. Зависимость плотности энергии от космиче-ского времени ; - сплошная кривая, - пунктирная Рис. 7. Зависимость давления от космического вре-мени ; - сплошная кривая, - пунктирная Рис. 8. Параметр состояния в зависимости от косми-ческого времени ; - сплошная кривая, - пунктирная 2.3. Космологические модели с квадратично меняющимся параметром замедления в -гравитации В этом подразделе будет изучаться влияние квадратично меняющегося параметра замедления на интерпретацию эволюции Вселенной. Рассматривается случай . В соответствии с уравне-нием (16) параметр Хаббла принимает следующий вид: , (31) где Используя уравнение (17), параметр замедления представим в виде . (32) Из уравнения (31) можно получить масштабный фактор , (33) где - константа интегрирования. Красное смещение определяется через отношение . Обращая уравнение (33), можно найти . (34) Эквивалентная современная эпоха может быть получена из (34) при , сопоставляя с , как . (35) Параметр рывка задается уравнением (19) (36) Чтобы продемонстрировать, как квадратично меняющийся параметр замедления в -гравитации соответствует наблюдаемой кинематике Вселенной, космологические параметры стро-ятся выбирая и На рис. 9 параметр замедления показан в зависимости от космического времени . Пара-метр изначально равен при , проходит через при и достигает при . Затем он входит в расширение де-Ситтера при и далее входит в Большой разрыв с при . Вселенная снова возвращается к расширению де-Ситтера при и достигает при . Затем она входит в расширение с посто-янной скоростью при и достигает конца Вселенной с Большим сжатием ( при ). Можно отметить , что Вселенная вступает в фазу ускоряющегося расширения в и в настоящее время ( ), где значение параметра замедления равно . Это значение согласуется с результатами наблюдений [22]. На рис. 10 параметр замедления отображается в зависимости от красного смещения. Можно заметить, что параметр перемещается из положительной области в отрицательную при красном смещении . Между тем космологические наблюдения дают [23]. Параметр рывка отображается на рис. 11 в зависимости от космического времени. Этот параметр говорит о моментах изменения в поведении Вселенной. Установлено, что параметр рыв-ка менял свой путь на трех этапах космического времени. Когда Вселенная переходит от замедле-ния к ускорению , в момент Большого разрыва и когда Вселенная переходит от ускорения к замедлению в . Рис. 9. Зависимость параметра замедления от кос-мического времени и Большой разрыв в Рис. 10. Зависимость параметра замедления от красного смещения при с уче-том кинематического анализа [22] Рис. 11. Параметр рывка в зависимости от кос-мического времени . Большой разрыв в Рис. 12. Параметр рывка в зависимости от красного смещения Параметр рывка показан на графике на рис. 12. Видно, что параметр рывка изменяется в , более того, на при . 2.4. Динамические свойства космологических моделей с квадратично меняющимся параметром замедления в -гравитации Как видно из уравнений (20), (21) и (22), плотность энергии, давление и параметр состояния могут быть выражены следующим образом: ; (37) ; (38) (39) Подставляя (32) в уравнение (39), можно получить (40) Ожидаемая динамика Вселенной, где - и -гравитация имеют квадратично ме-няющийся параметр замедления, помогает изучать другие динамические эффекты модели. Масштабный фактор показан в зависимости от космического времени на рис. 13. Видно, что Вселенная начинается с Большого взрыва . Затем она начинает расходиться, пока не достигнет бесконечности в момент Большого разрыва . Затем расши-рение Вселенной постепенно отступает, пока не достигнет точки Большого сжатия и . Квадратично меняющийся параметр замедления в -гравитации дает возможность предположить, что ожидает Вселенную после момента Большого разрыва. На рис. 14 показана зависимость плотности энергии жидкости от космического времени . Можно заметить, что эта модель возможна для всех значений в , поскольку положи-тельность плотности энергии удовлетворяется без каких-либо ограничений . Плотность энергии расходится при Большом взрыве , Большом разрыве и при Большом сжатии . Эволюционное поведение давления показано на рис. 15, где давление уменьшается от боль-ших положительных значений при Большом взрыве до больших отрицательных значений при Большом разрыве, далее оно отражает свое поведение до тех пор, пока не достигнет своего перво-начального состояния при Большом сжатии. Например, в первой модели можно отметить, что из рис. 14 и 15 видно, что плотность энергии и давление в и имеют одинаковое физи-ческое поведение. На рис. 16 показана эволюция параметра состояния в зависимости от космического време-ни . Параметр уравнения состояния имеет эволюционное поведение со временем. Он начинается с Большого взрыва (случай излучения), затем переходит в в (случай пыли), потом входит в в , более того, достигает в (фантомный случай). Кроме того, Вселенная достигает момента Большого разрыва ( ), после этого момента Вселенная отступает, как это было в момент Большого Взрыва ( ). Более того, параметр состояния демонстрирует различное поведение для и , но схо-дится к одному и тому же значению при Зависимости между параметром состояния и параметром замедления изображены на рис. 17. Рис. 13. Масштабный коэффициент в зависи-мости от космического времени и Большой разрыв при Рис. 14. Плотность энергии в зависимости от космического времени ; - сплош¬ная кривая, - пунктирная Рис. 15. Зависимость давления от космического времени ; сплош¬ная кривая, - пунктирная Рис. 16. Уравнение параметра состояния в зависи-мости от космического времени , Большой разрыв ; - сплошная кри-вая, - пунктирная Рис. 17. Уравнение параметра состояния в зависи-мости от параметра замедления ; - сплош¬ная кривая, - пунктирная Можно заметить, что параметр состояния из-меняется с положительного значения на отрица-тельное при для и для , а «встреча» при 3. Результаты и их обсуждение Основные полученные результаты можно обобщить следующим образом. В разделе 1 приводится краткое описание моделей уравнений поля в -гравитации. Связь между космологическими параметрами и предлагаемым параметром Хаббла представлена в разделе 2. Эти соотношения используются для создания конкретных космологических моделей. В под-разделе 2.1 полиномиально меняющийся параметр замедления в случае используется для изучения эволюции Вселенной. Космологическая модель с линейно изменяющимся параметром замедления под действием - и -гравитации обобщается как частный случай в . Космологическая модель с квадратично меняющимся параметром замедления в -гравита¬ции и в -гравитации получена при . Эта модель получена без каких-либо критериев по параметру , что отличает ее от других моделей, зависящих от значения . Модель может быть выражена как модель большого разрыва, а модель выражается как модель Большого сжатия. Из проведенного анализа можно отметить, что при увеличении степени параметра замедления получается периодическая Вселенная. Она начинается с Большого взрыва, затем проходит через Большой разрыв, а потом возвращается в свое первоначальное состояние при повторном действии. Кроме того, стоит отметить, что полиномиально меняющийся параметр замедления позволяет соз-давать несколько космологических моделей, каждая из которых имеет свои собственные характе-ристики для объяснения эволюции Вселенной. Заключение Показано, что полиномиально меняющийся параметр замедления может продуцировать Все-ленную, которая не расширяется и постоянна, если , как показано в модели Бермана [14]. На-против, если модель соответствует первой степени , то это дает ограниченную Вселенную, которая начинается с Большого взрыва и заканчивается Большим разрывом, как в линейно изме-няющейся модели параметров замедления (например, [3]). Когда изменяющийся параметр поли-номиального замедления имеет вторую степень , жизнь Вселенной состоит из двух фаз. Пер-вая из них очень похожа на предыдущий случай - начинается с Большого взрыва и достигает Большого разрыва. Во второй фазе отрицательное давление уменьшается, а ускорение Вселенной уменьшается до тех пор, пока оно не достигнет первоначального с положительным давлением и положительным параметром замедления. Наконец, в каждой из предложенных двух моделей мож-но обнаружить, что нет существенной разницы в их физическом поведении, когда они изучаются в - или -гравитации.

Ключевые слова

параметр замедления, космологическая модель, Большой разрыв, f(RT)-гравитация

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Bakry M.A.Ain Shams UniversityDr., Department of Mathematics, Faculty of Educationmohamedbakry928@yahoo.com
Eid A.M.College of Science, Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University (IMSIU); Cairo UniversityProf., Department of Physics; Cairo Universityamaid@imamu.edu.sa
Khader M.M.College of Science, Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University (IMSIU)Dr., Department of Mathematics and Statisticsmmkhader@imamu.edu.sa
Всего: 3

Ссылки

Myrzakulov R. // Gen. Relativ. Grav. - 2012. - V. 44. - P. 3059.
Grøn G., Øyvind H. Sigbjorn, Einstein’s General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology. - N.Y.: Springer, 2007.
Akarsu Ö., Dereli T. // Int. J. Theor. Phys. - 2012. - V. 51. - P. 612.
Mishra R.K., Chand A. // Astrophys. Space Sci. - 2016. - V. 361.
Sahoo P. K., Sivakumar M. // Astrophys. Space Sci. - 2015. - V. 357(1).
Sahoo P.K., Tripathy S.K., Sahoo P. // Mod. Phys. Lett. A. - 2018. - V. 33. - P. 1850193.
Bakry M.A., Shafeek A.T. // Astrophys. Space Sci. - 2019. - V. 364. - P. 135.
Brevik I., Elizalde E., Obukhov V.V., Timoshkin A.V. // Ann. Phys. - 2017. - V. 529(1-2). - P. 1600195.
Brevik I., Obukhov V.V., Timoshkin A.V. // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. - 2018. - V. 15(9). - P. 1850150.
Reddy D.R.K., et al. // Astrophys. Space Sci. - 2013. - V. 346. - P. 261.
Reddy D.R.K., Santikumar R., R Naidu. L. // Astrophys. Space Sci. - 2012. - V. 342. - P. 249.
Reddy D.R.K., Kumar R.S. // Inter. J. Theor. Phys. - 2013. - V. 52. - P. 1362.
Nagpal R., Pacif S.K.J., Singh J.K., et al. // Eur. Phys. J. C. - 2018. - V. 78(11). - P. 1-17.
Berman M.S. // Nuovo Cimento B. - 1983. - V. 74. - P. 182.
Berman M.S., de Mello G.F. // Gen. Relativ. Gravit. - 1988. - V. 20. - P. 191.
Harko T., et al. // Phys. Rev. D. - 2011. - V. 84. - P. 024020.
Ramesh G., Umadevi S. // Astrophys. Space Sci. - 2016. - V. 361.
Robertson H.P. // Ann. Math. - 1932. - V. 496.
Bakry M.A., Moatimid G.M., Shafeek A.T. // Indian J. Phys. - 2021. - P. 1-18.
Visser M. // Class. Quan. Grav. - 2004. - V. 21 (15 p.).
Cunha J.V., Lima J.A.S. // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2008. - V. 390. - P. 210.
Cunha J.V. // Phys. Rev. D. - 2009. - V. 79. - P. 047301.
Frieman J., Turner M., Huterer D. // Annu. Rev. Astron. Astrophys. - 2008. - V. 46. - P. 385.
Космологические модели с полиномиально меняющимся параметром замедления в <i>f</i>(<i>R</i>)- и <i>f</i>(<i>R</i>,<i>T</i>)-гравитации | Известия вузов. Физика. 2021. № 10. DOI: 10.17223/00213411/64/10/44

Космологические модели с полиномиально меняющимся параметром замедления в f(R)- и f(R,T)-гравитации | Известия вузов. Физика. 2021. № 10. DOI: 10.17223/00213411/64/10/44