Possible quantitative ratios in the system of atoms with two or three spatial configurations.pdf Введение В настоящее время весьма актуальной является проблематика, связанная с экспериментально подтвержденным и весьма вероятным существованием атомов с пространственно-одномерными и двумерными электронными структурами [1-4]. Но общее теоретическое обоснование одновременного и вытекающего из экспериментов существования атомов в различных пространственных конфигурациях до недавнего времени отсутствовало. В предыдущей работе [5] одного из авторов на основании общих принципов квантовой механики [6] была предпринята подобная попытка. Следует заметить, что при условии симметрии (а также и эквивалентности) пространственных конфигураций относительно «выделенной» в системе атомов с двумя , или тремя их возможными конфигурациями в работе [5] был рассмотрен лишь частный случай: считалось, что вероятность переходов равна единице. Это отвечало одной из наиболее вероятных при проведении экспериментов в ситуации, когда среднее число атомов в имело максимальное значение , а в - минимальное: . В данной работе на основании вероятностных представлений, излагаемых, например, в классическом курсе квантовой механики [6], мы находим возможные значения средних чисел атомов в системах , или , в том числе и в общем случае при , с сохранением симметрии (и эквивалентности) конфигураций относительно . Предварительные результаты, касающиеся самой возможности существования такой системы с вероятностными переходами между различными пространственными конфигурациями атомов, были приведены в нашей работе [7] (и далее см. ссылки в ней). В разд. 2 данной работы в целях полноты изложения мы приводим и используем некоторые необходимые для дальнейшего результаты этой работы [7]. В разд. 3 найдены также средние числа атомов в этой системе , соответствующие физическому диапазону значений параметра z: c определением его минимального значения zmin и диапазонов средних чисел атомов в Приложении. Принципиальное отличие от работы [7] состоит в представлении фигурирующих в данной работе физических величин в функции от вероятностного параметра z, который играет роль «свободного», что и позволяет найти указанные диапазоны (а также и диапазоны других вероятностных параметров). Системы же , в этом аспекте (т.е. для общего случая значений ) в данной работе вообще рассматриваются впервые (разд. 1). 1. Вероятности переходов и относительные числа атомов в системах 1+3, 2+3 Как указано выше, в целях обобщения соответствующих результатов [5] и при неизменном общем числе атомов в системах , в данной работе полагаем (1) с включением значения [5] в качестве частного случая. C использованием общего результата работы [5] для относительных чисел атомов в , , (2а) , (2б) а также фундаментального для этих конфигураций и полученного в [5] соотношения (3) можно найти следующие выражения для относительных чисел атомов в функции от параметра z (1): , (4а) , (4б) определяющие связь между , в параметрической форме, и возможные значения этих величин при изменении z в физическом, согласно (3), диапазоне . Как видно из (4а), (4б), в соответствии с постоянством общего числа атомов = имеет место равенство . (5) При этом значения и совпадают с результатами работы [5], а при имеем: , , следовательно, , . Для установления же конкретных значений , в случае, например, простейшего водородоподобного атома необходимо вычисление вероятности (1), играющей в данном случае роль «свободного параметра», стандартными методами квантовой механики [6]. Это может быть предметом дальнейшего развития нашего метода (в случае же многоэлектронных или двухэлектронных атомов, с которыми проводились упомянутые выше эксперименты [1-4], такое вычисление, по-видимому, вряд ли возможно). Стоит отметить также, что поскольку эти эксперименты [1-4] проводились «в нашем» трехмерном пространстве, то применительно к ним естественным выглядит условие: . Тогда с использованием (4а), (4б) можно указать вероятный диапазон возможных значений «вероятностного параметра» z в таких экспериментах: , причем , а нижняя граница этого более узкого («частного» по сравнению с указанным выше физическим ) диапазона отвечает значениям в соответствии с (5), а верхняя - упомянутому выше случаю , . В области же имеем , что вряд ли может быть реализовано в экспериментах «в нашем» трехмерном пространстве. Заметим также, что находимые при более дифференцированном подходе конкретные (и формально одинаковые в нашем случае) значения (4а) для состояний могут быть и разными, так что эти состояния будут тогда принципиально различными. Однако такого подхода к проблеме мы пока не нашли. 2. Вероятности переходов в системе 1 + 2 + 3 Аналогично разд. 1 в целях обобщения результатов [5] (а также отчасти дублируя результаты работы [7]) в системе мы полагаем с включением значения [5]* в качестве частного случая. Кроме того, введем обозначения , , (6) т.е., следуя работе [7], мы «меняем местами» обозначения по сравнению с [5]. При этом определяемые далее общей системой уравнений (7а), (7б) или при численном расчете системой (9а), (9б) (а с возможностью аналитического расчета - системой (10а), (10б)) величины будут являться функциями : , . Это означает, что решение упомянутой системы (7а), (7б) может быть представлено в параметрической форме (при численном расчете - неявной). В последующем, как и в работе [7], мы выясняем, имеет ли эта система (7а), (7б) решение в соответствующей области изменения всех «вероятностных переменных» . Если имеет, то это будет означать возможность существования конфигурации и при , ; при этом результаты работы [5], т.е. и значения при (с учетом упомянутой перестановки обозначений), будут, разумеется, фиксированными, а значения , должны получаться из более общих результатов данной работы в разд. 3 (предварительный положительный ответ на этот вопрос на основании исследования аналитических решений системы (10а), (10б) и частично численных решений системы (9а), (9б) был дан и в [7]). С учетом предыдущих замечаний относительно изменения обозначений по сравнению с [5] и с некоторой модификацией произведенных в этой работе выкладок на случай значений можно получить следующую систему уравнений: , (7а) , (7б) приведенную и в [7]. Здесь для удобства введены также функции , , аналогичные функциям в [5] и совпадающие с ними при с указанной перестановкой обозначений : , (8а) . (8б) Как и в аналогичной ситуации в работе [5], следует рассмотреть два варианта решения системы (7а), (7б). В первом из них равен нулю фактор в (7а). При этом имеем систему уравнений , (9а) . (9б) Результат численного расчета зависимостей с достаточной для наших целей точностью и в физической области : в одном из допустимых вариантов значений (см. по поводу наличия «нижнего» значения Приложение) представлен в табл. 1 и на рис. 1. Стоит также отметить, что в физических областях значений всех трех параметров вероятность перехода при таком выборе в этом варианте 1 оказывается максимально возможной ( ), когда вероятность переходов является минимально возможной ( ) (что заранее не очевидно), как и вероятность y переходов ( ), что согласуется со здравым смыслом. Это относится и к другому возможному случаю значения , указанному в Приложении. Как и в разд. 1, можно показать, что для обоих рассмотренных в Приложении значений в принципе существует определяемое в данном случае численным расчетом значение (знак равенства имеет место в одном из двух рассмотренных вариантов выбора в Приложении), такое, что в наиболее вероятном диапазоне значений : выполняется соотношение , а для указанного выше значения можно найти, что в соответствии с приведенным ниже в разд. 3 соотношением (14). В отличие от разд. 1, в конфигурации в этом варианте 1 и при указанных в Приложении двух допустимых значениях имеем , так что физический диапазон является частью наиболее вероятного (в системах - наоборот). Как показано непосредственным вычислением в разд. 3, в обоих случаях варианта 2 имеет место эта же закономерность. Таким образом, согласно используемой терминологии, в системе мы рассматриваем два диапазона значений : физический с «нижней» границей , и наиболее вероятный с «нижней» границей , и в котором , поэтому физический диапазон, обоснование которому дано в Приложении, также соответствует наиболее вероятным значениям z. Таблица 1 z 0.563 0.57 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1 x 0.298 0.29 0.29 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.206 y 0.326 0.32 0.31 0.30 0.28 0.2666… 0.25 0.24 0.23 0.22 0.215 Рис. 1. Зависимость вероятности x (6) и вероятности y (6) от вероятности (1), играющей роль «свободного параметра», при выборе значения zmin в соответствии с п. I Приложения, и при численном расчете с системой уравнений (9а), (9б) Во втором варианте равен нулю фактор в квадратных скобках в (7а) с системой уравнений , (10а) . (10б) Эта система допускает аналитическое решение. Именно при и, разумеется, конечном оба уравнения (10а), (10б) эквивалентны одному: , которое с учетом вида (8а) сводится к квадратному уравнению для вероятности (6): c решением в физической области . Совершенно аналогично при получим это же уравнение для . В первом случае параметр может принимать любые значения в физической области , а во втором - это же относится к параметру : . Таким образом, формально решениями системы (10а), (10б) могут быть наборы , (11а) (11б) (относительно возможных «нижних» значений в (11а) см. Приложение - совпадение одного из этих значений с в разд. 1 может быть в известной степени случайным), а набор (11б) со значением невозможен, так как при этом и обсуждаемой системы фактически нет (в работе [7] это утверждение о невозможности набора (11б) отсутствовало). С другой стороны, при оба уравнения (10а), (10б) опять эквивалентны одному: . В этом случае с учетом вида (8а), (8б) получается квадратное уравнение для комбинации : . Его решение в физической области таково: . (12) Отсюда при известных «граничных» значениях : и можно, очевидно, найти и значения и (см. также Приложение) в случае аналитического решения системы (10а), (10б). 3. Относительные числа атомов в системе 1 + 2 + 3 «в подпространствах» 1, 2 и «в пространстве» 3 при наличии симметрии относительно перестановки 1 2 Как и в [5], полагаем, что конфигурация атомов «в нашем пространстве» является «выделенной» по отношению к конфигурациям «в подпространствах» ; как уже было указано ранее, это совершенно естественно, так как в перспективе эксперименты будут проводиться, естественно, в . Аналогично [5], в силу симметрии в этом случае общих (т.е. при с частным случаем [5]) уравнений относительно перестановки , будем считать, что относительные числа атомов «в » и одинаковы: . С другой стороны, для величин , обобщением соответствующих формул работы [5] на случай можно получить следующие значения: , (13) (соответствующие формулы работы [5], как отмечено, получаются из (13) при с учетом упомянутого выше переопределения величин и соответственно функций ). Заметим также, что в силу уравнения , отражающего постоянство числа атомов в системе, а также из условия симметрии по индексам 1, 2 следует, что должно выполняться соотношение . (14) Это условие (14) должно соблюдаться во всех рассмотренных ниже и введенных в разд. 2 вариантах решения основной в данной работе системы (7а), (7б). Именно: 1. В варианте 1, определяемом уравнениями (9а), (9б) в разд. 2, результаты численного расчета величин , в функции от «свободного параметра» с приведенным в разд. 2 и полученным в Приложении одним из его минимально возможных значений представлены в табл. 2 и на рис. 2, причем из табл. 2 видно, что при любых соотношение (14) выполняется почти точно, несмотря на численный характер расчетов для значения в этом варианте 1. Таблица 2 z 0.563 0.57 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1 0.285 0.28 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.23 0.22 0.215 0.430 0.43 0.45 0.46 0.48 0.50 0.52 0.53 0.54 0.56 0.570 Рис. 2. Зависимость относительных чисел атомов , (13) от «вероятностной переменной» z (1), играющей роль «свободного параметра», при выборе значения zmin в соответствии с п. I Приложения, и при численном расчете с системой уравнений (9а), (9б) 2. В варианте 2, определяемом соотношениями (10а), (10б), в единственно возможном случае с набором (11а) и со значениями функций (8а), (8б) , (а также при ) получаем: , (15а) (15б) и опять с параметром в качестве «свободного». Как видно, и здесь выполняется соотношение (14), на этот раз точно. Из условия , как и в варианте 1, находим в этом случае вероятный диапазон значений параметра в будущих экспериментах: , причем для одного из двух возможных вариантов выбора имеем ( ) (см. также Приложение); при этом можно проверить, что , , как и должно быть в соответствии с (14). Как показано ранее в разд. 2 (абзац после формул (9а), (9б), в варианте 1 эти соотношения в рамках численного расчета также приближенно выполняются. 3. В этом же варианте 2 при использовании решения , (12) системы (10а), (10б) со значениями , аналогично получаем , (16а) (16б) и опять с точным выполнением соотношения (14) с параметром в качестве «свободного». Как и ранее в п. 2, из условия имеем для вероятного диапазона значений : , причем опять для одного из двух возможных вариантов выбора ( ) имеем . Заметим также, что, используя соотношение (12), при необходимости можно выразить величины (16а), (16б) через параметр с определением его физического диапазона через диапазон параметра (см. также замечание в конце разд. 2 и Приложение). Стоит отметить также, что в варианте 1, как и в обоих случаях варианта 2, является убывающей функцией параметра ( ), а - возрастающей ( ). Это, как и должно быть, согласуется с определением параметра : . Полученные в разд. 2, 3 результаты означают, что существование «вероятностных переменных» в диапазоне их значений (а значит, и всей системы атомов в целом) в совокупности пространственных конфигураций возможно не только «в предельном» варианте с максимальным и минимальным числом атомов в отдельных пространственных конфигурациях [5]. Именно этому последнему варианту соответствует значение вероятности (1) в нашем более общем подходе, а вероятности (6) при этом являются фиксированными [5] (с учетом вышеуказанной перестановки обозначений в данной работе по сравнению с [5]). При этом относительные числа атомов в пространственных конфигурациях 1, 2: и 3: принимают не произвольные значения, а во всех рассмотренных в разд. 2, 3 возможных вариантах решения общих уравнений (7а), (7б) являются однозначно связанными. ПРИЛОЖЕНИЕ Диапазоны изменения «свободного параметра» z и относительных чисел атомов E1,2, E3 в системе 1 + 2 + 3 Процедура определения значения не является однозначной, а допускает ряд вариантов, два из которых рассмотрены ниже. I. Во всех рассмотренных случаях «1, 2, 3» должны удовлетворяться следующие из (14) равенства: , (А1а) , (А1б) , . (А1в) Отсюда, в частности, следует простое соотношение, справедливое при любых : . (А2) При уменьшении от максимально допустимого значения до упомянутого ранее минимального функция уменьшается от максимального значения до минимального , а растет от минимального значения до максимального , так что при обе части уравнения (А2) обращаются в нуль, и тогда находим следующую связь между минимально и максимально возможными значениями относительных чисел атомов в состояниях с пространственными размерностями и : = , . (А3) Эти соотношения (А3) следуют и из аналогии с разд. 1, когда в системах или имело место соотношение с дополнительным условием (5). В системе же и в нашем подходе к проблеме это условие имеет вид (14), откуда формально и следует первое равенство (А3). Аналогичные рассуждения применимы и ко второму равенству (А3). При этом в системах или находимое из ограничения (3) значение удовлетворяло уравнению , т.е. упомянутому выше соотношению . Таким образом, равенство , (А3а) как и эквивалентное ему первое соотношение (А3), должно иметь место либо при отсутствии других ограничений на значение с меньшим его значением, либо при равенстве значений , находимых этими двумя способами, как это имело место в аналогичной ситуации в системах или , когда находимая из (3) «нижняя» граница (разд. 1) совпадает со значением из приведенного выше уравнения . В варианте 1 и в случае варианта 2 эти ограничения типа соотношения (3) в системах или отсутствуют, и в этих случаях значение действительно может быть найдено из уравнения (А3а), причем определяющее наиболее вероятный диапазон, введенный в разд. 3, значение , а физический диапазон включен, следовательно, в этот наиболее вероятный, как и в варианте 1. В случае же такое ограничение типа (3) в системах или существует - это соотношение (12), однако формально следующее из него при значение , меньшее, чем находимое из (А3а) ( - см. ниже), на самом деле нереализуемо, как и значение ; за основу следует взять это последнее значение , а тогда , так что значение в этом случае действительно невозможно, как и значение . В варианте 1 численный расчет по формулам (13) и с использованием определяемых численным же расчетом (разд. 2) зависимостей дает значения , , , и с учетом значения [5] последнее соотношение согласуется с уравнением (А3а). Далее, используя значение , из уравнения (А3а) с учетом вида функции (15б) находим минимально возможное значение вероятностного параметра в случае 2 варианта 2 в разд. 3 (т.е. при ): ; в случае же 3 варианта 2 в этом же разд. 3 (т.е. при ) и с учетом вида находим . Соответствующие значения и с учетом также и вида при и при могут быть найдены по формулам (А3). Обозначая тогда в каждом из рассмотренных выше случаев «абсолютное» минимальное значение символом , а «абсолютное» максимальное - символом , получаем следующие диапазоны значений и : = , . (А4) Как видно, эти диапазоны попадают в «абсолютный» диапазон , причем в физическом диапазоне значений : выполняется упомянутое ранее и очевидное при проведении экспериментов в неравенство , подтверждающее адекватность общих соотношений (А1в), (А2), (А3), (А3а), (А4). II. Представляется разумной еще одна процедура определения значения , в рамках которой можно положить с совпадением физической области значений параметра с вероятной . В этом случае, очевидно, (со знаком равенства при ), что, как и в п. I, также является естественным при экспериментах в . В этом случае «физическая ветвь графиков» находится «справа» от «виртуальной» точки их пересечения на рис. 1, получающейся, в свою очередь, продолжением этих графиков «влево» в область . Как следует их этого замечания и с учетом рис. 1, в данном случае II значения , «по определению» попадают в тот же «абсолютный» диапазон , который фигурирует в п. I. Итак, выбор значения , как и следует, не влияет на данный физический результат - диапазон значений , . Обсуждение Таким образом, для систем атомов мы получили точные аналитические результаты (4а), (4б) для относительных чисел атомов в такой системе из двух пространственных конфигураций в функции от «свободного параметра» . Конкретные же и зависящие от экспериментальной ситуации их значения могут быть получены при независимом расчете величины (1), т.е. вероятности обнаружения, например, простейшего одномерного или двумерного водородоподобного атома в трехмерной конфигурации стандартными методами квантовой механики [6]. Этот вопрос пока неясен. На данном этапе мы не можем привести аргументы в пользу реализации на эксперименте какого-либо из рассмотренных вариантов решения исходной системы уравнений (7а), (7б), описывающих систему атомов , поскольку и сами эти эксперименты находятся в предварительной стадии обсуждения. Тем не менее, из проведенного анализа следует, что соотношение между величинами , во всех рассмотренных пространственных конфигурациях не является произвольным; в конфигурациях оно определяется соотношениями (4а), (4б), а в конфигурации - одним и их рассмотренных в работе вариантов. Именно в варианте 1 с системой уравнений (9а), (9б) обе величины , фактически являются функциями «свободного» параметра в установленной физической области его изменения. Это же относится к варианту 2 (при ) с тем же параметром в качестве «свободного» со значениями (15а), (15б), а также к случаю и опять с тем же параметром со значениями , (16а), (16б). В свете вышеизложенного необходимость проведения соответствующих экспериментов с одновременным существованием двух или трех пространственных конфигураций атомов является очевидной (как мы понимаем, в ранее проведенных экспериментах [1-4] с системами атомов в конфигурациях задача определения относительных чисел атомов или не ставилась). Возможность же проведения экспериментов в конфигурации , как упоминалось, вообще не является очевидной. Подобные эксперименты с подтверждением найденных диапазонов значений могли бы установить адекватность нашего подхода к проблеме.

Скачать электронную версию публикации